浙江省绍兴市上虞区2022届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浙江省绍兴市上虞区2022届高三数学上学期期末考试试题（含解析）
参考公式：球的表面积公式 ；球的体积公式 ，其中 表示球的半径.
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
13.某几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其体积为______，表面积为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由三视图还原几何体,可知该几何体为四棱锥 ,底面 是边长为2的正方形,侧面 是等腰直角三角形,且 ,侧面 底面 ,据此结合棱锥的体积和表面积计算公式求解即可.
8.若函数 的最小值3，则实数 的值为（ ）
A. 5或8 B. 或5 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，①当 时，即 ， ，则当 时， ，解得 或 （舍）；②当 时，即 ， ，则当 时， ，解得 （舍）或 ；③当 时，即 ， ，此时 ，不满足题意，所以 或 ，故选D.
9.已知数列 中， ，若 ，设 ，若 ，则正整数 的最大值为（ ）
【详解】(1)
由图像可知 的 边上高为 ,
可得 ,故 ,
即 ,
由不等式 , .
所以 的单调增区间为 , .
(2)由 ,
当 时, ,
故当 ,即 时, 有最小值 ,
即 在 有最大值 .
【点睛】本题考查了三角函数的化简与求值,结合了函数图像求值,求单调区间,属于函数图像与性质的综合应用题.此题求单调区间时,需要注意这是一个复合函数求单调性问题,不要将区间求反.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ,得 ,所以 ,结合条件 ,可知 为等腰直角三角形,从而可以根据椭圆的基本定义列出等式求离心率.
【详解】由 ,得 ,
所以 ,即 ,
又 ,所以 为等腰直角三角形,
所以 ,
所以离心率 ,
故选:C.
【点睛】本题主要考查椭圆的基本性质,涉及了解三角形的相关知识,属于综合题型.一般解决圆锥曲线与平面几何相结合的题型时,一要注意圆锥曲线基本定义的应用,二要注意平面图形的基本性质.
∴函数在（﹣ ），（ ）递减，在（ ）递增．
且x=0时，y=0，排除B，x=-1时，y=0，x=-2时，y>0,排除C，
故选A．
【点睛】本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力，属于中档题，
7.已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ， 为坐标原点， 为第一象限内椭圆上的一点，且 ，直线 交 轴于点 ，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
【详解】由题知,在正四面体 中, 为 中点,
,
平面 ,
设 中点为 ,连 ,
为 中点,
,且 ,
平面 ,
即为 在平面 上的射影,
沿 展开平面 ,使之与平面 重合,
此时, 的最小值即为点 到 的距离,
故过点 作 于点 ,
又 ,
,
,
,
,
故选:A.
【点睛】本题考查空间几何体中的距离最值问题,需要学生有较强的空间想象和思维能力,综合性较强.在解决此类最值问题时,一般采用侧面展开的形式,将立体问题转化为平面问题解决.
故答案为: .
【点睛】本题主要运用了向量的运算法则和数量积的定义及几何意义去求解向量的最值,综合性较强.对于求数量积的最值问题,一般而言有两种解决思路,一是利用坐标转化为代数求最值,二是利用数量积的定义或几何意义求最值.
17.若关于 的方程 恰有三个不同的解，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意,先确定 的范围,再确定 的范围即可.
【详解】 ,
,
故选:C.
【点睛】本题考查集合的运算,属于简单题.
2.已知双曲线 ： 的离心率为 ，且其实轴长为6，则双曲线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线 的离心率为 ,实轴长为6,解出 ,从而计算出 ,得到双曲线方程.
故答案为:5;405.
【点睛】本题主要应用赋值法求二项式的系数和及常数项,需要学生对二项展开式比较熟悉.
15.已知集合 ， ： 为从集合 到集合 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.
【答案】15
【解析】
【分析】
根据函数的定义可知值域中元素个数可能有1,2,3,4,四种情况,再结合组合数即可求出结果.
19.已知斜三棱柱 ， ， ， ， ， .
（1）求 的长；
（2）求 与面 所成的角的正切值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)方法一:由 , ,推出 面 ,故 ,则可利用勾股定理解出 ;方法一:如图所示以 为原点,以 为 轴, 为 轴,竖直向上为 轴,建立空间直角坐标系,因为 面 ,即 平面等同于 平面,因而可以利用坐标求出 ;
因为圆关于直线 对称,
所以圆心 在直线 上,
所以 ,圆半径 ,
设圆心为 ,则 ,所以 ,
所以 ,
故答案为:3; .
【点睛】本题考查圆的标准方程,利用其求半径,切线长等,属于基础题.此类题一般会利用圆的一些基本性质,例如:过圆心的直线平分圆,切点与圆心的连线与该切点处的切线垂直等,要求学生对圆的知识掌握熟练.
【详解】因为 : 为从集合 到集合 的一个函数,
所以该函数的值域可能包含1个,或2个,或3个,或者4个元素,
因此值域的不同情况有: 种,
故答案为:15.
【点睛】本题主要考查映射定义以及组合数的应用,属于基础题,难度不大,但需要学生熟练掌握基础知识并融会贯通.
16.如图，已知圆 ： ， 为圆 的内接正三角形， 为边 的中点，当 绕圆心 转动，同时点 在边 上运动时， 的最大值是______.
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.
11.已知复数 （ 为虚数单位），则 ______， ______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先化简 ,所以 .
【详解】 ,
,
故答案为: ; .
【点睛】本题考查复数的基本运算,求其共轭和模,属于简单题.
(2)方法一:延长 ,过 作 于 ,因为 面 ,所以面 面 ,所以 面 ,所以 为 与面 所成角,等价于 与面 所成的角,最后结合数据解三角形即可；方法二:建系后可以利用向量法求出 与面 所成的角的正切值.
【详解】解:方法一:(1)因为 , , ,
所以 面 ,
故 ,所以 ,
于是 ;
(2)延长 ,过 作 于 ,
【答案】A
【解析】
【分析】
由题知: ,结合余弦定理,可推出 为锐角,反之无法推出,因此“ ”是“ 为锐角”的充分非必要条件.
【详解】①在 中,若 ,
则 ,即 ,
,
,
为锐角,
即“ ” “ 为锐角”,
②若 为锐角,则 ,即 ,
无法推出 ,
所以“ 为锐角” “ ”,
综上所述:“ ”是“ 为锐角”的充分非必要条件,
故答案为: .
【点睛】本题主要考查函数图像的运用,将方程解的问题转变为两个简单函数交点的问题,应用了数形结合的思想.一般将零点问题变成两个函数交点的问题时,选择的函数要尽可能简单.
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知函数 的图象如图所示，其中 为图象的最高点， ， 为图象与 轴的交点，且 为等腰直角三角形.
【详解】由双曲线 的离心率为 ,实轴长为6,
可得 ,解得 ,
从而 ,
所以双曲线 的方程为: ,
故选:A.
【点睛】本题考查双曲线的标准方程和基本性质,属于简单题.答题注意分清椭圆与双曲线之间的区别联系,不要混淆.
3.已知随机变量 的分布列（下表）， ，则 （ ）
1
0
-1
A. B. C. D. 2
【答案】B
由图可知,当直线 过点 时截距最大,
联立 ,解得 ,
所以 的最大值为: ,
故选:D.
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,运用了数形结合思想,属于简单题.
5. 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则“ ”是“ 为锐角”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的三角形法则,将 拆分成 ,运用向量数量积的定义和几何意义分别对 和 取最值,从而得到 的最大值.
【详解】由题可知:圆 半径为1,圆心为 ,
所以 边长为 , ,
,
而 ,
当且仅当 ,即 反向时, 取得最大值 ,
又 ,
当且仅当 与 点重合时, 取得最大值 ,
所以 的最大值是 ,
【答案】 (1). 5 (2). 405
【解析】
【分析】
对二项式中的 赋值,令 ,可得展开式的各项系数之和为 ,解得 ,从而得到二项式的通项公式,再令通项公式中 的幂指数为0,即可求出常数项.
【详解】在 中,令 ,可得展开式的各项系数之和为: ,解得 ,
所以 的通项公式为: ,
令 ,得 ,
所以常数项为: ,
10.在棱长均为 的正四面体 中， 为 中点， 为 中点， 是 上的动点， 是平面 上的动点，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
在正四面体 中,由 平面 ,找出 在平面 上的射影 ,再沿 展开平面 ,使之与平面 重合,此时, 的最小值即为点 到 的距离,最后,结合数据解三角形即可.
【详解】由三视图还原几何体如下:
该几何体为四棱锥 ,底面 是边长为2的正方形,
侧面 是等腰直角三角形, ,
侧面 底面 ,
取 中点为 ,则 底面 ,
所以 ,
表面积 ,
故答案为: ; .
【点睛】本题考查还原三视图求几何体的表面积与体积,要求学生有一定的空间思维想象能力,属于中档题.
14.若 展开式中的各项系数之和为1024，则 ______，常数项为______.
（1）求 的值及 的单调递增区间；
（2）设 ，求函数 在区间 上 最大值及此时 的值.
【答案】（1） ，单调增区间为 ， .（2） ，最大值为 .
【解析】
【分析】
(1)化简 后,利用等腰直角 计算出 长,从而得到周期,计算出 和 ,再求出单调递增区间即可;
(2)代入 化简 ,再利用整体代入法求出 的最大值.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出满足条件的目标区域,将目标函数化为斜截式 ,由直线方程可知,要使 最大,则直线 的截距要最大,结合可行域可知当直线 过点 时截距最大,因此,解出 点坐标,代入目标函数,即可得到最大值.
【详解】画出满足约束条件 的目标区域,如图所示:
由 ,得 ,
要使 最大,则直线 的截距要最大,
A. 1009 B. 1010 C. 2022 D. 2022
【答案】B
【解析】
【分析】
由 可得 ,则 .再结合 ,可化简 ,
从而可以求出正整数 的最大值.
【详解】 ,
∴ ,∴ ,即数列 为单调增数列,
,即 ,
,
,
,即 ,
正整数 的最大值为1010,
故选:B.
【点睛】本题考查了数列的递推关系,运用了裂项相消法,放缩法等方法,属于数列的综合应用题,对学生的计算及推理能力有一定要求.
【解析】
【分析】
原题等价于方程 恰有三个不同的解,作出
的图像,观察图像即可得解.
【详解】原题等价于方程 恰有三个不同的解,
设 ,作出ห้องสมุดไป่ตู้像如下:
则 是一个“V”型分段函数,其顶点 在直线 上运动,
将 分别与 联立,
可得直线 与 相切与点 ,与 相切与点 ,
因此,当且仅当点 在线段 上运动时, 与 有三个交点,
故选:A.
【点睛】本题考查了充分必要条件的判定,结合了基本不等式及余弦定理等相关知识,综合性较强.
6.函数 大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数求出单调区间，及x=0时，y=0，即可求解．
【详解】函数y= 的导数为 ，
令y′=0，得x= ，
时，y′＜0， 时，y′＞0， 时，y′＜0．
12.已知方程为 的圆关于直线 对称，则圆的半径 ______.若过点 作该圆的切线，切点为 ，则线段 长度为______.
【答案】 (1).3(2).
【解析】
【分析】
将圆方程整理成标准形式得到圆心与半径,由圆关于直线对称,得到直线过圆心,从而解出 ,求出半径,再根据 ,利用勾股定理求解即可.
【详解】圆的标准方程为: ,
【解析】
【分析】
由变量 分布列的性质,解得 ,从而可以计算出 ,进而计算出 .
【详解】由题可知 ,所以 ,
所以 ,
因此 ,
故选:B.
【点睛】本题主要考查期望的计算,属于简单题.有一定关系的两个变量,其期望与方差之间也有对应关系,其中 .
4.若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A. 0 B. 3 C. 4 D. 5
参考公式：球的表面积公式 ；球的体积公式 ，其中 表示球的半径.
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
13.某几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其体积为______，表面积为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由三视图还原几何体,可知该几何体为四棱锥 ,底面 是边长为2的正方形,侧面 是等腰直角三角形,且 ,侧面 底面 ,据此结合棱锥的体积和表面积计算公式求解即可.
8.若函数 的最小值3，则实数 的值为（ ）
A. 5或8 B. 或5 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，①当 时，即 ， ，则当 时， ，解得 或 （舍）；②当 时，即 ， ，则当 时， ，解得 （舍）或 ；③当 时，即 ， ，此时 ，不满足题意，所以 或 ，故选D.
9.已知数列 中， ，若 ，设 ，若 ，则正整数 的最大值为（ ）
【详解】(1)
由图像可知 的 边上高为 ,
可得 ,故 ,
即 ,
由不等式 , .
所以 的单调增区间为 , .
(2)由 ,
当 时, ,
故当 ,即 时, 有最小值 ,
即 在 有最大值 .
【点睛】本题考查了三角函数的化简与求值,结合了函数图像求值,求单调区间,属于函数图像与性质的综合应用题.此题求单调区间时,需要注意这是一个复合函数求单调性问题,不要将区间求反.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ,得 ,所以 ,结合条件 ,可知 为等腰直角三角形,从而可以根据椭圆的基本定义列出等式求离心率.
【详解】由 ,得 ,
所以 ,即 ,
又 ,所以 为等腰直角三角形,
所以 ,
所以离心率 ,
故选:C.
【点睛】本题主要考查椭圆的基本性质,涉及了解三角形的相关知识,属于综合题型.一般解决圆锥曲线与平面几何相结合的题型时,一要注意圆锥曲线基本定义的应用,二要注意平面图形的基本性质.
∴函数在（﹣ ），（ ）递减，在（ ）递增．
且x=0时，y=0，排除B，x=-1时，y=0，x=-2时，y>0,排除C，
故选A．
【点睛】本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力，属于中档题，
7.已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ， 为坐标原点， 为第一象限内椭圆上的一点，且 ，直线 交 轴于点 ，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
【详解】由题知,在正四面体 中, 为 中点,
,
平面 ,
设 中点为 ,连 ,
为 中点,
,且 ,
平面 ,
即为 在平面 上的射影,
沿 展开平面 ,使之与平面 重合,
此时, 的最小值即为点 到 的距离,
故过点 作 于点 ,
又 ,
,
,
,
,
故选:A.
【点睛】本题考查空间几何体中的距离最值问题,需要学生有较强的空间想象和思维能力,综合性较强.在解决此类最值问题时,一般采用侧面展开的形式,将立体问题转化为平面问题解决.
故答案为: .
【点睛】本题主要运用了向量的运算法则和数量积的定义及几何意义去求解向量的最值,综合性较强.对于求数量积的最值问题,一般而言有两种解决思路,一是利用坐标转化为代数求最值,二是利用数量积的定义或几何意义求最值.
17.若关于 的方程 恰有三个不同的解，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意,先确定 的范围,再确定 的范围即可.
【详解】 ,
,
故选:C.
【点睛】本题考查集合的运算,属于简单题.
2.已知双曲线 ： 的离心率为 ，且其实轴长为6，则双曲线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线 的离心率为 ,实轴长为6,解出 ,从而计算出 ,得到双曲线方程.
故答案为:5;405.
【点睛】本题主要应用赋值法求二项式的系数和及常数项,需要学生对二项展开式比较熟悉.
15.已知集合 ， ： 为从集合 到集合 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.
【答案】15
【解析】
【分析】
根据函数的定义可知值域中元素个数可能有1,2,3,4,四种情况,再结合组合数即可求出结果.
19.已知斜三棱柱 ， ， ， ， ， .
（1）求 的长；
（2）求 与面 所成的角的正切值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)方法一:由 , ,推出 面 ,故 ,则可利用勾股定理解出 ;方法一:如图所示以 为原点,以 为 轴, 为 轴,竖直向上为 轴,建立空间直角坐标系,因为 面 ,即 平面等同于 平面,因而可以利用坐标求出 ;
因为圆关于直线 对称,
所以圆心 在直线 上,
所以 ,圆半径 ,
设圆心为 ,则 ,所以 ,
所以 ,
故答案为:3; .
【点睛】本题考查圆的标准方程,利用其求半径,切线长等,属于基础题.此类题一般会利用圆的一些基本性质,例如:过圆心的直线平分圆,切点与圆心的连线与该切点处的切线垂直等,要求学生对圆的知识掌握熟练.
【详解】因为 : 为从集合 到集合 的一个函数,
所以该函数的值域可能包含1个,或2个,或3个,或者4个元素,
因此值域的不同情况有: 种,
故答案为:15.
【点睛】本题主要考查映射定义以及组合数的应用,属于基础题,难度不大,但需要学生熟练掌握基础知识并融会贯通.
16.如图，已知圆 ： ， 为圆 的内接正三角形， 为边 的中点，当 绕圆心 转动，同时点 在边 上运动时， 的最大值是______.
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.
11.已知复数 （ 为虚数单位），则 ______， ______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先化简 ,所以 .
【详解】 ,
,
故答案为: ; .
【点睛】本题考查复数的基本运算,求其共轭和模,属于简单题.
(2)方法一:延长 ,过 作 于 ,因为 面 ,所以面 面 ,所以 面 ,所以 为 与面 所成角,等价于 与面 所成的角,最后结合数据解三角形即可；方法二:建系后可以利用向量法求出 与面 所成的角的正切值.
【详解】解:方法一:(1)因为 , , ,
所以 面 ,
故 ,所以 ,
于是 ;
(2)延长 ,过 作 于 ,
【答案】A
【解析】
【分析】
由题知: ,结合余弦定理,可推出 为锐角,反之无法推出,因此“ ”是“ 为锐角”的充分非必要条件.
【详解】①在 中,若 ,
则 ,即 ,
,
,
为锐角,
即“ ” “ 为锐角”,
②若 为锐角,则 ,即 ,
无法推出 ,
所以“ 为锐角” “ ”,
综上所述:“ ”是“ 为锐角”的充分非必要条件,
故答案为: .
【点睛】本题主要考查函数图像的运用,将方程解的问题转变为两个简单函数交点的问题,应用了数形结合的思想.一般将零点问题变成两个函数交点的问题时,选择的函数要尽可能简单.
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知函数 的图象如图所示，其中 为图象的最高点， ， 为图象与 轴的交点，且 为等腰直角三角形.
【详解】由双曲线 的离心率为 ,实轴长为6,
可得 ,解得 ,
从而 ,
所以双曲线 的方程为: ,
故选:A.
【点睛】本题考查双曲线的标准方程和基本性质,属于简单题.答题注意分清椭圆与双曲线之间的区别联系,不要混淆.
3.已知随机变量 的分布列（下表）， ，则 （ ）
1
0
-1
A. B. C. D. 2
【答案】B
由图可知,当直线 过点 时截距最大,
联立 ,解得 ,
所以 的最大值为: ,
故选:D.
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,运用了数形结合思想,属于简单题.
5. 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则“ ”是“ 为锐角”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的三角形法则,将 拆分成 ,运用向量数量积的定义和几何意义分别对 和 取最值,从而得到 的最大值.
【详解】由题可知:圆 半径为1,圆心为 ,
所以 边长为 , ,
,
而 ,
当且仅当 ,即 反向时, 取得最大值 ,
又 ,
当且仅当 与 点重合时, 取得最大值 ,
所以 的最大值是 ,
【答案】 (1). 5 (2). 405
【解析】
【分析】
对二项式中的 赋值,令 ,可得展开式的各项系数之和为 ,解得 ,从而得到二项式的通项公式,再令通项公式中 的幂指数为0,即可求出常数项.
【详解】在 中,令 ,可得展开式的各项系数之和为: ,解得 ,
所以 的通项公式为: ,
令 ,得 ,
所以常数项为: ,
10.在棱长均为 的正四面体 中， 为 中点， 为 中点， 是 上的动点， 是平面 上的动点，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
在正四面体 中,由 平面 ,找出 在平面 上的射影 ,再沿 展开平面 ,使之与平面 重合,此时, 的最小值即为点 到 的距离,最后,结合数据解三角形即可.
【详解】由三视图还原几何体如下:
该几何体为四棱锥 ,底面 是边长为2的正方形,
侧面 是等腰直角三角形, ,
侧面 底面 ,
取 中点为 ,则 底面 ,
所以 ,
表面积 ,
故答案为: ; .
【点睛】本题考查还原三视图求几何体的表面积与体积,要求学生有一定的空间思维想象能力,属于中档题.
14.若 展开式中的各项系数之和为1024，则 ______，常数项为______.
（1）求 的值及 的单调递增区间；
（2）设 ，求函数 在区间 上 最大值及此时 的值.
【答案】（1） ，单调增区间为 ， .（2） ，最大值为 .
【解析】
【分析】
(1)化简 后,利用等腰直角 计算出 长,从而得到周期,计算出 和 ,再求出单调递增区间即可;
(2)代入 化简 ,再利用整体代入法求出 的最大值.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出满足条件的目标区域,将目标函数化为斜截式 ,由直线方程可知,要使 最大,则直线 的截距要最大,结合可行域可知当直线 过点 时截距最大,因此,解出 点坐标,代入目标函数,即可得到最大值.
【详解】画出满足约束条件 的目标区域,如图所示:
由 ,得 ,
要使 最大,则直线 的截距要最大,
A. 1009 B. 1010 C. 2022 D. 2022
【答案】B
【解析】
【分析】
由 可得 ,则 .再结合 ,可化简 ,
从而可以求出正整数 的最大值.
【详解】 ,
∴ ,∴ ,即数列 为单调增数列,
,即 ,
,
,
,即 ,
正整数 的最大值为1010,
故选:B.
【点睛】本题考查了数列的递推关系,运用了裂项相消法,放缩法等方法,属于数列的综合应用题,对学生的计算及推理能力有一定要求.
【解析】
【分析】
原题等价于方程 恰有三个不同的解,作出
的图像,观察图像即可得解.
【详解】原题等价于方程 恰有三个不同的解,
设 ,作出ห้องสมุดไป่ตู้像如下:
则 是一个“V”型分段函数,其顶点 在直线 上运动,
将 分别与 联立,
可得直线 与 相切与点 ,与 相切与点 ,
因此,当且仅当点 在线段 上运动时, 与 有三个交点,
故选:A.
【点睛】本题考查了充分必要条件的判定,结合了基本不等式及余弦定理等相关知识,综合性较强.
6.函数 大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数求出单调区间，及x=0时，y=0，即可求解．
【详解】函数y= 的导数为 ，
令y′=0，得x= ，
时，y′＜0， 时，y′＞0， 时，y′＜0．
12.已知方程为 的圆关于直线 对称，则圆的半径 ______.若过点 作该圆的切线，切点为 ，则线段 长度为______.
【答案】 (1).3(2).
【解析】
【分析】
将圆方程整理成标准形式得到圆心与半径,由圆关于直线对称,得到直线过圆心,从而解出 ,求出半径,再根据 ,利用勾股定理求解即可.
【详解】圆的标准方程为: ,
【解析】
【分析】
由变量 分布列的性质,解得 ,从而可以计算出 ,进而计算出 .
【详解】由题可知 ,所以 ,
所以 ,
因此 ,
故选:B.
【点睛】本题主要考查期望的计算,属于简单题.有一定关系的两个变量,其期望与方差之间也有对应关系,其中 .
4.若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A. 0 B. 3 C. 4 D. 5