河南理工大学弹性力学往年试题

河南理⼯⼤学弹性⼒学往年试题
河南理⼯⼤学弹性⼒学往年试题
⼀、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每⼩题2分，共10分）
1、弹性⼒学建⽴的基本⽅程多是偏微分⽅程，还必须结合（ C ）求解这些微分⽅程，以求得具体问题的应⼒、应变、位移。

A．相容⽅程 B．近似⽅法 C．边界条件 D．附加假定
2、根据圣维南原理，作⽤在物体⼀⼩部分边界上的⼒系可
以⽤（ B ）的⼒系代替，则仅在近处应⼒分布有改
变，⽽在远处所受的影响可以不计。

A．⼏何上等效 B．静⼒上等效 C．平衡D．任意
3、弹性⼒学平⾯问题的求解中，平⾯应⼒问题与平⾯应变问题的三类基本⽅程不完全相同，其⽐较关系为（ B ）。

A．平衡⽅程、⼏何⽅程、物理⽅程完全相同
B．平衡⽅程、⼏何⽅程相同，物理⽅程不同
C．平衡⽅程、物理⽅程相同，⼏何⽅程不同
D．平衡⽅程相同，物理⽅程、⼏何⽅程不同
4、不计体⼒，在极坐标中按应⼒求解平⾯问题时，应⼒函数必须满⾜（ A ）
①区域内的相容⽅程；②边界上的应⼒边界条件；③满⾜变分⽅程；
④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。

A. ①②④
B. ②③④
C. ①②③
D.
①②③④
⼆、简答题（四⼩题，共35分）
1、材料各向同性的含义是什么？“各向同性”在弹性⼒学物理⽅程中的表现是什么？（5分）
答：
材料的各向同性假定物体的物理性质在各个⽅向上均相同。

因此，物体的弹性常数不随⽅向⽽变化。

在弹性⼒学物理⽅程中，由于材料的各向同性，三个弹性常数，包括弹性模量E，切变模量G和泊松系数（泊松⽐）µ都不随⽅向⽽改变（在各个⽅向上相同）。

2、位移法求解的条件是什么？怎样判断⼀组位移分量是否为某⼀问题的真实位移？（5分）
答：
按位移法求解时，u，v必须满⾜求解域内的平衡微分⽅程，位移边界条件和应⼒边界条件。

平衡微分⽅程、位移边界条件和（⽤位移表⽰的）应⼒边界条件既是求解的条件，也是校核u，v是否正确的条件。

3、试述弹性⼒学研究⽅法的特点，并⽐较材料⼒学与弹
性⼒学在研究内容、⽅法等⽅⾯的异同。

答：
弹⼒研究⽅法：在区域V内严格考虑静⼒学、⼏何学和物理学三⽅⾯条件，建⽴平衡微分⽅程、⼏何⽅程和物理⽅程；在边界s上考虑受⼒或约束条件，并在边界条件下求解上述⽅程，得出较精确的解答。

在研究内容⽅⾯：材料⼒学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题；结构⼒学在材料⼒学基础上研究杆系结构（如桁架、刚架等）；弹性⼒学研究各种形状的弹性体，如杆件、平⾯体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。

在研究⽅法⽅⾯：材⼒考虑有限体ΔV的平衡，结果是近似的；弹⼒考虑微分体dV 的平，结果⽐较精确。

4、常体⼒情况下，⽤应⼒函数表⽰的相容⽅程形式为，
请问：相容⽅程的作⽤是什么？两种解法中，哪⼀种解法不需要将相容⽅程作为基本⽅程？为什么？（13分）答：
（1）连续体的形变分量（和应⼒分量）不是相互独⽴的，它们之间必须满⾜相容⽅程，才能保证对应的位移分量存在，相
容⽅程也因此成为判断弹性⼒学问题解答正确与否的依据之⼀。

（2）对于按位移求解（位移法）和按应⼒求解（应⼒法）两种⽅法，对弹性⼒学问题进⾏求解时位移法求解不需要将相容⽅程作为基本⽅程。

（3）（定义）按位移求解（位移法）是以位移分量为基本未知函数，从⽅程和边界条件中消去应⼒分量和形变分量，导出只含位移分量的⽅程和相应的边界条件，并由此解出应变分量，进⽽再求出形变分量和应⼒分量。

5、考虑上端固定，下端⾃由的⼀维杆件，见题七图，只
受重⼒作⽤，（ρ为杆件密度，g为重⼒加速度），并设µ=0。

试⽤位移法求解杆件竖向位移及应⼒。

（14分）
（平⾯问题的平衡微分⽅程：，；⽤位移分量表⽰的
应⼒分量表达式：，，）
解：据题意，设位移u=0，v=v(y)，按位移进⾏求解。

根据将⽤位移分量表⽰的应⼒分量代⼊平⾯问题的平衡微分⽅程，得到按位移求解平⾯应⼒问题的基本微分⽅程如下：
(a)
(b)
将相关量代⼊式(a)、(b)，可见(a) 式（第⼀式）⾃然满⾜，⽽(b) 式第⼆式成为
可由此解出
(c)
本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应⼒边界条件，且
将(c)代⼊，可得
反代回(c)，可求得位移：
6、设有函数，
（1）判断该函数可否作为应⼒函数？（3分）
（2）选择该函数为应⼒函数时，考察其在图中所⽰的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l
>>h）。

（15分）
解：
题九图
（1）将φ代⼊相容⽅程，显然满⾜。

因此，该函数可以作为应⼒函数。

（2）应⼒分量的表达式：
考察边界条件：在主要边界y＝±h/2上，应精确满⾜应⼒边界条件
在次要边界x＝0上，应⽤圣维南原理，可列出三个积分的应⼒边界条件：
在次要边界x＝l上，应⽤圣维南原理，可列出三个积分的应⼒边界条件：
对于如图所⽰的矩形板和坐标系，结合边界上⾯⼒与应⼒的关系，当板内发⽣上述应⼒时，由主边界和次边界上的应⼒边界条件可知，左边、下边⽆⾯⼒；⽽上边界上受有向下的均布压⼒；右边界上有按线性变化的⽔平⾯⼒合成为⼀⼒偶和铅直⾯⼒。

所以,能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均
布荷载q的问题。

2009 ~ 2010学年第⼆学期期末考试试卷（ A
）卷
1．名词解释（共10分，每⼩题5分）
1. 弹性⼒学：研究弹性体由于受外⼒作⽤或温度改变等原因⽽发
⽣的应⼒、应变和位移。

2. 圣维南原理：如果把物体的⼀⼩部分边界上的⾯⼒，变换为分布不同但静⼒等效的⾯⼒（主⽮量相同，对于同⼀点的主矩也相同），那么近处的应⼒分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

2．填空（共20分，每空1分）
1. 边界条件表⽰在边界上位移与约束，或应⼒与⾯⼒
之间的关系式，它可以分为位移边界条件、应⼒边界条
件和混合边界条件。

2. 体⼒是作⽤于物体体积内的⼒，以单位体积⼒来度量，体⼒分
量的量纲为 L-2MT-2；⾯⼒是作⽤于物体表⾯上⼒，以单
位表⾯⾯积上的⼒度量，⾯⼒的量纲为 L-1MT-2；体⼒和⾯
⼒符号的规定为以沿坐标轴正向为正，属外⼒；应⼒是作
⽤于截⾯单位⾯积的⼒，属内⼒，应⼒的量纲为 L-1MT-2
，应⼒符号的规定为：正⾯正向、负⾯负向为正，反之为负。

3. ⼩孔⼝应⼒集中现象中有两个特点：⼀是孔附近的应⼒⾼度
集中，即孔附近的应⼒远⼤于远处的应⼒，或远⼤于⽆孔
时的应⼒。

⼆是应⼒集中的局部性，由于孔⼝存在⽽引
起的应⼒扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔⼝尺⼨的范围内。

4. 弹性⼒学中，正⾯是指外法向⽅向沿坐标轴正向的⾯，负⾯是指外法向⽅向沿坐标轴负向的⾯。

3．绘图题（共10分，每⼩题5分）
分别绘出图3-1六⾯体上下左右四个⾯的正的应⼒分量和图3-2极坐标下扇⾯正的应⼒分量。

图3-1
图3-2
4．简答题（24分）
1. （8分）弹性⼒学中引⽤了哪五个基本假定？五个基本假定在
建⽴弹性⼒学基本⽅程时有什么⽤途？
答：弹性⼒学中主要引⽤的五个基本假定及各假定⽤途为：（答出标注的内容即可给满分）
1）连续性假定：引⽤这⼀假定后，物体中的应⼒、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建⽴弹性⼒学的基本⽅程时就可以⽤坐标的连续函数来表⽰他们的变化规律。

2）完全弹性假定：这⼀假定包含应⼒与应变成正⽐的含义，亦即⼆者呈线性关系，复合胡克定律，从⽽使物理⽅程成为线性的⽅程。

3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。

因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松⽐µ等）就不随位置坐标⽽变化。

4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个⽅向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随⽅向变化。

5）⼩变形假定：研究物体受⼒后的平衡问题时，不⽤考虑物体尺⼨的改变，⽽仍然按照原来的尺⼨和形状进⾏计算。

同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的⼆次幂或乘积略去不计，使得弹性⼒学的微分⽅程都简化为线性微分⽅程。

2. （8分）弹性⼒学平⾯问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹
性体？两类平⾯问题各有哪些特征？
答：弹性⼒学平⾯问题包括平⾯应⼒问题和平⾯应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：
平⾯应⼒问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：⾯⼒、体⼒的作⽤⾯平⾏于xy平⾯，外⼒沿板厚均匀分布，只有平⾯应⼒分量,,存在，且仅为x,y的函数。

平⾯应变问题：所对应的弹性体主要为长截⾯柱体，其特征为：⾯⼒、体⼒的作⽤⾯平⾏于xy平⾯，外⼒沿z轴⽆变化，只有平⾯应变分量,,存在，且仅为x,y的函数。

3. （8分）常体⼒情况下，按应⼒求解平⾯问题可进⼀步简化为
按应⼒函数求解，应⼒函数必须满⾜哪些条件？
答：（1）相容⽅程：
（2）应⼒边界条件（假定全部为应⼒边界条件，）：
（3）若为多连体，还须满⾜位移单值条件。

5．问答题(36)
1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应⽤
圣维南原理列出三个积分的应⼒边界条件。

（板厚）
图5-1
解：在主要边界上，应精确满⾜下列边界条件：
，；，
在次要边界上，应⽤圣维南原理列出三个积分的应⼒边界条件，当板厚时，
，，
在次要边界上，有位移边界条件：，。

这两个位移边界条件可以改⽤三个积分的应⼒边界条件代替：
，，
2. （10分）试考察应⼒函数，，能满⾜相容⽅程，并求出应⼒分
量（不计体⼒），画出图5-2所⽰矩形体边界上的⾯⼒分布，并
在次要边界上表⽰出⾯⼒的主⽮和主矩。

图5-2
解：（1）相容条件：将代⼊相容⽅程，显然满⾜。

（2）应⼒分量表达式：，，
（3）边界条件：在主要边界上，即上下边，⾯⼒为，
在次要边界上，⾯⼒的主失和主矩为
弹性体边界上的⾯⼒分布及在次要边界上⾯⼒的主失量和主矩如解图所⽰。

3. （14分）设有矩形截⾯的长竖柱，密度为，在⼀边侧⾯上受均
布剪⼒q, 如图5-3所⽰，试求应⼒分量。

（提⽰：采⽤半逆解
法，因为在材料⼒学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的
胡克定律，故可认为矩形截⾯竖柱的纵向纤维间⽆挤压，即可
设应⼒分量）
图 5-3
解：采⽤半逆解法，因为在材料⼒学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截⾯竖柱的纵向纤维间⽆挤压，即可设应⼒分量，
(1) 假设应⼒分量的函数形式。

(2) 推求应⼒函数的形式。

此时，体⼒分量为。

将代⼊应⼒公式
有对积分，得，（a）。

（b）
其中，都是的待定函数。

(3)由相容⽅程求解应⼒函数。

将式（b）代⼊相容⽅程，得
这是y的⼀次⽅程，相容⽅程要求它有⽆数多的根（全部竖柱内的y值都应该满⾜），可见它的系数和⾃由项都必须等于
零。

，，两个⽅程要求
， (c)
中的常数项，中的⼀次和常数项已被略去，因为这三项在的表
达式中成为y的⼀次和常数项，不影响应⼒分量。

得应⼒函数
(d)
（4）由应⼒函数求应⼒分量。

， (e)
， (f)
. (g)
(5) 考察边界条件。

利⽤边界条件确定待定系数
先来考虑左右两边的主要边界条件：
，，。

将应⼒分量式(e)和(g)代⼊，这些边界条件要求：
，⾃然满⾜； (h)
(i)
由（h）（i）得（j）
考察次要边界的边界条件，应⽤圣维南原理，三个积分的应
⼒边界条件为
；得
，得
（k）
由（h）（j）（k）得 ,
将所得A、B、C、D、E代⼊式（e）（f）（g）得应⼒分量为：，，
1、填空题（每个1分，共10×1=10分）。

1．弹性⼒学的研究⽅法是在弹性区域内部，考虑静⼒学、⼏何学和物理学⽅⾯建⽴三套⽅程，即⽅程、⽅程以及⽅程；在弹性体的边界上，还要建⽴边界条件，即边界条件和边界条件。

2．弹性⼒学基本假定包括假定、假定、假定、
假定和假定。

1．平衡微分⼏何物理应⼒位移
2．连续均匀各向同性完全弹性⼩变形
2、单项选择题（每个2分，共5×2=10分）。

1. 关于弹性⼒学的正确认识是 A 。

A. 弹性⼒学在⼯程结构设计中的作⽤⽇益重要。

B. 弹性⼒学从微分单元体⼊⼿分析弹性体，因此与材料⼒学不同，
不需要对问题作假设。

C. 任何弹性变形材料都是弹性⼒学的研究对象。

D. 弹性⼒学理论像材料⼒学⼀样，可以没有困难的应⽤于⼯程
结构分析。

2. 所谓“完全弹性体”是指 B 。

A. 材料应⼒应变关系满⾜胡克定律。

B. 材料的应⼒应变关系与加载时间历史⽆关。

C. 本构关系为⾮线性弹性关系。

D. 应⼒应变关系满⾜线性弹性关系。

3. 所谓“应⼒状态”是指 B 。

A. 斜截⾯应⼒⽮量与横截⾯应⼒⽮量不同。

B. ⼀点不同截⾯的应⼒随着截⾯⽅位变化⽽改变。

C. 3个主应⼒作⽤平⾯相互垂直。

D. 不同截⾯的应⼒不同，因此应⼒⽮量是不可确定的。

4．弹性⼒学的基本未知量没有 C 。

A. 应变分量。

B. 位移分量。

C. ⾯⼒分量。

D. 应⼒分量。

5．下列关于圣维南原理的正确叙述是 D 。

A. 边界等效⼒系替换不影响弹性体内部的应⼒分布。

B. 等效⼒系替换将不影响弹性体的变形。

C. 圣维南原理说明弹性体的作⽤载荷可以任意平移。

D. 等效⼒系替换主要影响载荷作⽤区附近的应⼒分布，对于远离
边界的弹性体内部的影响⽐较⼩。

3、计算题（共15分）
如图所⽰的三⾓形截⾯⽔坝，其左侧作⽤着⽐重为的液体，右侧为⾃由表⾯。

试写出以应⼒分量表⽰的边界条件。

解：在平⾯应⼒边界条件下，应⼒须满⾜
（1） (5)
在表⾯处，， (1)
； (1)
， (1)
(1)
代⼊公式（1），得
(1)
在处，， (1)
； (1)
， (1)
(1)
代⼊公式（1），得
(1)
四、计算题（共10分）
试考虑下⾯平⾯问题的应变分量有否可能存在，若存在，需满⾜什么条件？
，，；
解：应变分量存在的必要条件是满⾜形变协调条件，即
(4)
将各分量分别代⼊，得
=0， (2)
=0， (2)
=0 (2)
⽆论A、B、C、D取何值，都满⾜形变协调条件。

5、计算题（共25分）
已知物体中某点的应⼒分量为，，，，，。

试求作⽤在通过此点，且平⾏于⽅程为的平⾯上，沿、、⽅向的三个应⼒分量、、，以及正应⼒和剪应⼒的⼤⼩（若⽤⼩数表⽰，取⼩数点后三位数）。

五、解：， (1)
， (1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
………………………………(1))
………………………………(1))
(2)
(1)
(1)
(2)
(1)
(1)
六、计算题（共30分）
如图所⽰的矩形截⾯柱体，在顶部受到集中⼒和⼒矩的作⽤，试
⽤应⼒函数求解图⽰问题的应⼒，设体⼒为零，在A点的位移和转⾓均为零。

解：应⽤应⼒函数求解：
（1）应⼒函数应满⾜相容⽅程，即
(5)
将代⼊相容⽅程，则满⾜。

（2）求应⼒分量，得
， (3)。

(3)
(3)
（3）考察主要边界条件，
在处，，，均已满⾜。

考察次要边界条件，根据圣维南原理，在上， (2)
，满⾜； (4)
，得 (4)
，得 (4)
代⼊，得应⼒的解答，
， (2)
上述和应⼒已满⾜了和全部边界条件，因⽽是上述问题的解。