三明市尤溪一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年福建省三明市尤溪一中高二（上）期中数学试卷(理科)
一、选择题：（共11小题，每小题5分,共60分）
1．已知一组数据为1、5、6、2、6，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（）A．中位数＞平均数＞众数 B．众数＞中位数＞平均数
C．众数＞平均数＞中位数 D．平均数＞众数＞中位数
2．设a∈R,则a＞1是＜1的（)条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（）
A．20 B．25 C．30 D．35
4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是（) A．B．C．D．
5．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3)2+y2=1和圆(x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM｜+｜PN｜的最小值为（）
A．5 B．7 C．13 D．15
6．已知A（﹣1,0）和圆x2+y2=2上动点P，动点M满足2=,则点M的轨迹方程是（）A．（x﹣3）2+y2=1 B．（x+）2+y2=1 C．(x+）2+y2= D．x2+（y+）2=
7．下列选项中，说法正确的是（）
A．“∃x0∈R,x02﹣x0≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0"
B．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角
C．若am2≤bm2，则a≤b
D．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）
A．［﹣6，﹣2］ B．[﹣5，﹣1］C．［﹣4，5］D．[﹣3，6］
9．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0)，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）
A．B．
C．D．
10．已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1，设(a，b)是区域,内的随机点，则函数f（x)在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（）
A．B．C．D．
11．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．6
二、填空题:（共4小题，每小题4分，共16分）
12．若“x∈[2，5］或x∈｛x｜x＜1或x＞4｝"是假命题，则x的取值范围是．
13．若直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是:．
14．设正项等差数列{a n}的前2011项和等于2011,则+的最小值为．
15．若以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆与该椭圆有四个交点,则该椭圆的离心率的取值范围为:．
三、解答题:(共6小题，第22题14分，其余各题12分，共74分）
16．某电视台举办青年歌手大奖赛，有10名评委打分，已知甲、乙两名选手演唱后的打分情况如茎叶图所示：
（Ⅰ）从统计的角度，你认为甲与乙比较，演唱水平怎样?
（Ⅱ）现场有3名点评嘉宾A、B、C，每位选手可以从中选2位进行指导,若选手选每位点评嘉宾的可能性相等，求甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人的概率．
17．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0;若￢p是￢q的必要不充分条件,求a的取值范围．
18．已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,且长轴为8，离心率为,求：
（1）椭圆的标准方程；
（2)求椭圆上的点到直线的最大距离．
19．已知函数f（x)=x2﹣2ax+1，g（x）=x﹣a，其中a＞0，x≠0．
（1）对任意x∈[1,2],都有f（x)＞g(x）恒成立，求实数a的取值范围;
(2)对任意x1∈［﹣2,﹣1]，x2∈［2，4]，都有f（x1）＞g(x2）恒成立，求实数a的取值范围;
(3）存在x1∈[﹣2，﹣1］，x2∈[2，4]，使f（x1）＞g(x2）成立，求实数a的取值范围．
20．已知数列｛a n｝的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）．
（1）求{a n}的通项公式；
(2)等差数列{b n｝的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列，求T n；
（3）求数列｛a n•b n}的前n项和．
21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0)的离心率为，其左、右焦点分别为F1,F2，点P（x0,y0）是坐标平面内一点，且x02+y02=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S(0，﹣）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，问：在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在,求出M的坐标和△MAB面积的最大值；若不存在，说明理由．
2015-2016学年福建省三明市尤溪一中高二(上）期中数学试卷
(理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（共11小题，每小题5分，共60分）
1．已知一组数据为1、5、6、2、6,则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（) A．中位数＞平均数＞众数 B．众数＞中位数＞平均数
C．众数＞平均数＞中位数 D．平均数＞众数＞中位数
【考点】众数、中位数、平均数．
【专题】计算题;转化思想；定义法；概率与统计．
【分析】分别求出这组数据的众数、中位数、平均数，由此能求出结果．
【解答】解：一组数据为1、5、6、2、6中,
众数为6，
平均数==4,
从小到大排：1,2，5，6,6，中位数为5,
∴众数＞中位数＞平均数．
故选:B．
【点评】本题考查一组数据的众数、中位数、平均数的大小关系的判断，是基础题,解题时要认真审题，注意数据的众数、中位数、平均数的计算公式的合理运用．
2．设a∈R，则a＞1是＜1的()条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题．
【分析】判断充要条件，即判断“a＞1⇒”和“⇒a＞1”是否成立,可结合y=的图象进行判断【解答】解:a＞1时，由反比例函数的图象可知，反之若，如a=﹣1，不满足a＞1，
所以a＞1是的充分不必要条件
故选A
【点评】本题考查充要条件的判断,属基本题型的考查，较简单．
3．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（）
A．20 B．25 C．30 D．35
【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．
【专题】计算题．
【分析】由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值,再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数
【解答】解:由图知，（0.035+a+0。

020+0。

010+0.005）×10=1，解得a=0.03
∴身高在[120，130]内的学生人数在样本的频率为0.03×10=0.3
故身高在[120，130］内的学生人数为0。

3×100=30
故选C
【点评】本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力
4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,则恰有一个红球的概率是（）A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】利用组合、乘法原理及古典概型的概率计算公式即可得出．
【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，共有=6种方法；其中恰有一个红球的方法为=4．
因此恰有一个红球的概率P==．
故选C．
【点评】熟练掌握组合、乘法原理及古典概型的概率计算公式是解题的关键．
5．已知P为椭圆上的一点，M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则｜PM|+｜PN|的最小值为（）
A．5 B．7 C．13 D．15
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆(x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心,再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案．
【解答】解:依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心，
所以根据椭圆的定义可得:（｜PM｜+|PN｜）min=2×5﹣1﹣2=7，
故选B．
【点评】本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义,解题时要认真审题，仔细解答,注意公式的合理运用．
6．已知A（﹣1，0）和圆x2+y2=2上动点P,动点M满足2=，则点M的轨迹方程是（）A．（x﹣3）2+y2=1 B．（x+）2+y2=1 C．（x+）2+y2=D．x2+（y+)2=
【考点】轨迹方程；向量数乘的运算及其几何意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法;平面向量及应用;直线与圆．
【分析】设出动点坐标，利用向量条件确定坐标之间的关系，利用P在圆上，可得结论．
【解答】解：设点M的坐标为（x，y),点P(m,n），则m2+n2=2 ①．
∵动点M满足2=，∴2（﹣1﹣x，﹣y）=（m+1，n）
∴m=﹣2x﹣3，n=﹣2y
代入①,可得（﹣2x﹣3)2+（﹣2y）2=2
∴(x+）2+y2=
故选：C．
【点评】本题考查点的轨迹方程、相等向量的性质、代入法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
7．下列选项中，说法正确的是(）
A．“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0”
B．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角
C．若am2≤bm2，则a≤b
D．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】A．根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02﹣x0≤0"的否定是“∀x∈R,x2﹣x＞0”,即可判断出；B．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角或平角．
C．当m=0时，满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；
D．命题“p∨q为真”可知:p或q为真，命题“p∧q为真"则，p和q都是真命题，即可判断出．
【解答】解：A．根据命题的否定可得：“∃x0∈R,x02﹣x0≤0”的否定是“∀x∈R,x2﹣x＞0"，因此A不正确;
B．若向量,满足•＜0，则与的夹角为钝角或平角,因此不正确．
C．当m=0时,满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正确；
D．命题“p∨q为真”可知：p或q为真,命题“p∧q为真"则，p和q都是真命题，因此命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件的必要不充分条件,故正确．
故选:D．
【点评】本题综合考查了命题之间的关系、数量积与夹角的关系,属于中档题．
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2］，则输出的S属于（)
A．［﹣6，﹣2］ B．[﹣5,﹣1］C．［﹣4，5]D．[﹣3，6]
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．
【解答】解:若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈［﹣3，﹣1],
若﹣2≤t＜0，则满足条件,此时t=2t2+1∈（1，9］，此时不满足条件,输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，
综上：S=t﹣3∈［﹣3,6]，
故选：D
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础．9．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B 两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）
A．B．
C．D．
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设A（x1,y1）,B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得
．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=,即
可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．
【解答】解:设A（x1,y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程得，
相减得，
∴．
∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．
∴,
化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E的方程为．
故选D．
【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．
10．已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1，设(a，b）是区域，内的随机点，则函数f(x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是(）
A．B．C．D．
【考点】几何概型；二次函数的性质．
【专题】概率与统计．
【分析】由题意求出使二次函数在区间［1，+∞）上是增函数的满足条件，求出区域面积，利用几何概型解答．
【解答】解：关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间［1，+∞)上是增函数，则，即，满足条件的如图阴影部分，直线x+y﹣8=0与x+2y=0的交点为（），
已知区域面积为=32，阴影部分面积为,
所以函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是；
故选C．
【点评】本题考查了几何概型的概率求法;关键是求出区域面积，由公式解答．
11．设P，Q分别为圆x2+(y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P,Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．6
【考点】椭圆的简单性质;圆的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．
【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则
∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0,6），半径为,
∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6)的距离为
==≤5，
∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
二、填空题：(共4小题，每小题4分,共16分）
12．若“x∈［2，5]或x∈｛x｜x＜1或x＞4｝”是假命题，则x的取值范围是[1,2）．
【考点】元素与集合关系的判断；四种命题的真假关系．
【专题】计算题．
【分析】原命题是假命题可转化成它的否命题是真命题进行求解，求出满足条件的x即可．
【解答】解：若“x∈[2，5]或x∈{x｜x＜1或x＞4｝”是假命题
则它的否命题为真命题即{x|x＜2或x＞5}且{x｜1≤x≤4}是真命题
所以的取值范围是［1，2）,
故答案为［1，2)．
【点评】本题主要考查了四种命题的真假，以及元素与集合的关系的判断，所以基础题．
13．若直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是：m≥1，且m≠2010．【考点】椭圆的简单性质．
【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得直线恒过定点(0，1)，由直线与椭圆恒有公共点，可得（0，1)在椭圆上或在椭圆内．代入椭圆方程，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：直线y=kx+1即为y﹣1=k(x﹣0），
则直线恒过定点（0，1)，
由直线与椭圆恒有公共点，
可得(0，1）在椭圆上或在椭圆内．
即有+≤1，
解得m≥1，又m＞0，且m≠2010，
即有m≥1，且m≠2010，
故答案为：m≥1，且m≠2010．
【点评】本题考查椭圆和直线的位置关系，注意运用直线恒过定点,定点在椭圆上或椭圆内，是解题的关键．
14．设正项等差数列{a n｝的前2011项和等于2011,则+的最小值为2．
【考点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的前n项和公式及其性质、基本不等式即可得出．
【解答】解：∵正项等差数列{a n}的前2011项和等于2011，
∴==2011，
得到a2+a2010=2．
∴+==
=2．
当且仅当a2=a2010=1时取等号．
故答案为：2．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式及其性质、基本不等式，属于基础题．
15．若以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆与该椭圆有四个交点,则该椭圆的离心率的取值范围为：（,1)．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】分析法；不等式的解法及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0)，与圆方程为x2+y2=c2，联立方程组,解得x，y，由题意可得c＞b，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．
【解答】解：设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0）,
以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆方程为x2+y2=c2,
联立两方程，可得y2=，x2=，
由题意可得x2＞0，y2＞0，
结合a＞b＞0，a＞c＞0，可得c2＞b2，
即有c2＞a2﹣c2，即为a＜c，
则离心率e=＞，由0＜e＜1，可得
＜e＜1．
故答案为：（，1)．
【点评】本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用圆与椭圆方程联立，通过方程组有解，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题：(共6小题，第22题14分，其余各题12分，共74分）
16．某电视台举办青年歌手大奖赛，有10名评委打分,已知甲、乙两名选手演唱后的打分情况如茎叶图所示：
（Ⅰ)从统计的角度，你认为甲与乙比较，演唱水平怎样？
（Ⅱ）现场有3名点评嘉宾A、B、C，每位选手可以从中选2位进行指导,若选手选每位点评嘉宾的可能性相等，求甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人的概率．
【考点】茎叶图；古典概型及其概率计算公式．
【专题】综合题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由茎叶图可得：，，,即可得出结论；
（Ⅱ)求出所有基本事件,其中，甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人包含6个基本事件，即可求出甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图可得:，，,
所以甲演唱水平更高一点，但甲的方差较大，即评委对甲的水平认可存在较大的差异…（Ⅱ）依题意，共有9个基本事件：
其中,甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人包含6个基本事件．
所以，所求概率为．…
【点评】本题考查概率的计算，考查茎叶图，确定基本事件的个数是关键．
17．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用．
【专题】计算题．
【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a 的不等式，从而求解出a的取值范围．
【解答】解:x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；
由于a＜0，
则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），
故命题p成立有x∈（3a，a）；
由x2﹣x﹣6≤0得x∈［﹣2，3］,
由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）,
故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪［﹣2,+∞）．
若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，
因此有（3a，a）⊊（﹣∞，﹣4)或（3a，a）⊊[﹣2，+∞)，
又a＜0，解得a≤﹣4或；
故a的范围是a≤﹣4或．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．
18．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴为8，离心率为，求：
（1）椭圆的标准方程；
（2）求椭圆上的点到直线的最大距离．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0）,由题意可得a=4,运用离心率公式和a，b，c的关系,解得b，进而得到椭圆方程；
(2）将已知直线平移，可得当直线与椭圆相切时，距离最大．设与直线平行的直线方程为x+2y+m=0，联立椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0,解方程可得m，再由两直线平行的距离公式计算即可得到所求值．
【解答】解:（1)设椭圆方程为+=1（a＞b＞0)，
由题意可得2a=8，即a=4，
又e==,解得c=2,
b==2，
所以椭圆的方程为；
（2）将已知直线平移,可得当直线与椭圆相切时，距离最大．
设与直线平行的直线方程为x+2y+m=0，
由，得8y2+4my+m2﹣16=0，
由△=0,即为16m2﹣32（m2﹣16）=0，
解得,显然时距离最大，
且为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用待定系数法，结合椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆的距离的最大值，注意运用直线和椭圆相切的条件，属于中档题．
19．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1，g（x）=x﹣a，其中a＞0,x≠0．
（1）对任意x∈［1,2]，都有f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2)对任意x1∈［﹣2，﹣1］，x2∈［2，4]，都有f(x1)＞g(x2）恒成立，求实数a的取值范围；(3）存在x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈［2,4]，使f(x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．
【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．
【专题】综合题；函数思想；综合法;函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】（1)可以采用分离参数法，导数法研究恒成立问题；
（2)对任意x1∈［﹣2，﹣1]，x2∈[2,4],都有f(x1）＞g(x2）恒成立,f（x1)min＞g(x2）max，分别根据函数的单调性求出最值即可，
（3）存在x1∈［﹣2,﹣1]，x2∈[2，4］，使f（x1）＞g（x2）成，则f（x1)max＞g（x2)min，分别根据函数的单调性求出最值即可．
【解答】解：(1))∵x∈［1，2]，都有f（x）＞g（x）恒成立,∴x2﹣2ax+1＞x﹣a,
即a＜，
设h（x）=，
则h′(x)=，
令h′(x）=0，解得x=,
当h′（x)＞0时，即1≤x＜，函数递增，
当h′（x）＜0时，即＜x≤2，函数递减,
∴h（x）min=h（）=
∴0＜a＜，
故a的取值范围为（0，)，
(2）f（x)=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a＞0，即f（x）在[﹣2，﹣1]单调递减，f（x1)min=f（﹣1)=2+2a 当x2∈［2，4］时g（x2）为增函数，g(x2）max=g(4)=4﹣a，
∵对任意x1∈[﹣2,﹣1］,x2∈[2，4］，都有f（x1)＞g（x2）恒成立，
∴f（x1）min＞g（x2）max，
∴2+2a＞4﹣a，解得a＞，
故a的取值范围为（，+∞），
（3）存在x1∈[﹣2，﹣1］，x2∈［2,4］，使f（x1）＞g(x2）成立，
∴f（x1）max＞g（x2)min，
∴5+4a＞2﹣a，
解得a＞﹣，
即a＞0
故a的取值范围为(0,+∞)．
【点评】本题主要考查了函数的极值,以及利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．
20．已知数列{a n｝的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1)．
（1）求｛a n}的通项公式；
(2）等差数列{b n｝的各项为正,其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列，求T n;
（3）求数列｛a n•b n｝的前n项和．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
+1（n≥2），所以a n+1﹣a n=2a n,即a n+1=3a n（n≥2）,又因为a2=3a1,【分析】(1)由题意可得：a n=2S n
﹣1
故{a n｝是等比数列，进而得到答案．
（2)根据题意可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，所以结合题意可得(5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）
2，进而求出公差得到等差数列的前n项和为T
n；
(3）求出数列｛a n•b n}的通项，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求前n项和．【解答】解：（1）因为a n+1=2S n+1，…①
+1（n≥2),…②
所以a n=2S n
﹣1
所以①②两式相减得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2)，
又因为a2=2S1+1=3，
所以a2=3a1，
故{a n}是首项为1,公比为3的等比数列
∴a n=3n﹣1．
(2）设｛b n｝的公差为d，
由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，
故可设b1=5﹣d，b3=5+d，
又因为a1=1，a2=3,a3=9，并且a1+b1,a2+b2，a3+b3成等比数列，
所以可得（5﹣d+1）(5+d+9）=（5+3）2，
解得d1=2，d2=﹣10，
∵等差数列{b n｝的各项为正，
∴d＞0，∴d=2，b1=3，
∴T n=3n+n（n﹣1）•2=n2+2n;
(3）a n•b n=（2n+1)•3n﹣1．
前n项和R n=3•1+5•3+7•32+…+(2n+1）•3n﹣1，
3R n=3•3+5•32+7•33+…+(2n+1）•3n．
两式相减可得,﹣2R n=3+2（3+32+…+3n﹣1)﹣（2n+1）•3n
=3+2•﹣(2n+1）•3n．
化简可得前n项和为R n=n•3n．
【点评】本题主要考查求数列通项公式和求和的方法,以及等比数列与等差数列的有关性质与求和，属于中档题．
21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0)的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2,点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且x02+y02=．
（1）求椭圆C的方程；
（2)过点S（0，﹣)且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，问：在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和△MAB面积的最大值；若不存在,说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】转化思想；分析法；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设F1（﹣c，0）,F2（c，0），运用向量的数量积的坐标表示，结合条件，可得c=1，再由离心率公式,可得a，由a，b,c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2)设动直线l的方程为y=kx﹣，代入椭圆方程，运用韦达定理，假设在y轴上存在定点M（0，m)，满足题设，求得向量MA，MB的坐标，再由数量积为0，化简整理，可得m=1，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点；求得M到AB的距离，弦长AB，由△MAB的面积公式，化简整理,再设1+2k2=t（t≥1），转化为t的式子，配方即可得到所求最大值．
【解答】解：(1）设F1（﹣c，0）,F2(c，0），
由•=,即为（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0,﹣y0）=，
即有x02+y02﹣c2=，又x02+y02=，
解得c=1，又e==，则a=，b=1，
因此所求椭圆的方程为：+y2=1;
（2）动直线l的方程为y=kx﹣，
由，得(1+2k2）x2﹣kx﹣=0，
设A（x1，y1），B(x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=﹣,
假设在y轴上存在定点M（0，m）,满足题设,则
=(x1,y1﹣m），=（x2，y2﹣m)，
•=x1x2+（y1﹣m）(y2﹣m）=x1x2+y1y2﹣m（y1+y2)+m2
=x1x2+（kx1﹣)（kx2﹣）﹣m(kx1﹣+kx2﹣)+m2
=(1+k2）x1x2﹣k（+m）（x1+x2）+m2+m+
=﹣﹣k（+m）•+m2+m+
=，
由假设得对于任意的k∈R，•=0恒成立，
即,解得m=1．
因此，在y轴上存在定点M,使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）这时,点M到AB的距离d=，|AB｜=，
S△MAB=|AB|d==
==，
设1+2k2=t则k2=得t∈［1，+∞)，∈（0,1]，
所以=≤，
当且仅当=1时，上式等号成立．因此，△MAB面积的最大值是．
【点评】通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力,通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力,并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．。