湖北省沙市中学、恩施高中、郧阳中学2018-2019学年高一下学期阶段性联考数学(理)试题(解析版)

恩施高中
郧阳中学 三校联合体高一年级第一次联考理数试卷
沙市中学
命题学校：沙市中学
考试时间：2019年5月31日 上午10:30-12:00 试卷满分：100分
一、选择题（每题5分，共60分）
1.已知集合，集合，则（ ） {}2|230A x x x =--<{}1|2
1x B x +=>C B A =A.
B. [3,)+∞(3,)+∞
C.
D. (,1][3,)-∞-⋃+∞(,1)(3,)-∞-+∞ 【答案】A
【解析】
【分析】
首先解得集合，，再根据补集的定义求解即可.
A B 【详解】解：，，{}2|230{|13}A x x x x x =--<=-<< {}1|21{|1}x B x x x +=>=>-，故选A ．
{}C |3[3,)B A x x ∴=≥=+∞【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.
2.已知a ，b ，c∈R ，那么下列命题中正确的是 ( )
A. 若a>b ，则ac 2>bc 2
B. 若，则a>b a b c c
>C. 若a 3>b 3且ab<0，则
11a b
>D. 若a 2>b 2且ab>0，则 11a b <【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，对A 、B 、C 、D 四个选项通过举反例进行一一验证．
【详解】A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2（错），若c=0，则A 不成立；
B ．若，则a ＞b （错），若c ＜0，则B 不成立； a b c c
>C ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则（对），若a 3＞b 3且ab ＜0，则 11a b >00a b >⎧⎨>⎩
D ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则（错），若，则D 不成立． 11a b <00a b <⎧⎨<⎩
故选C ．
【点睛】此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
3.在中，，则角与角的关系为（ ）
ABC ∆22tan tan a B b A =A B A. B.
A B =90A B +=︒C.
D. 90A B A B =+=︒或90A B A B =+=︒且【答案】C
【解析】
∵a 2tanB =b 2tanA ，
∴由正弦定理,得sin 2AtanB =sin 2BtanA ，
∴，即sinAcosA =sinBcosB ， 22sin sin sin sin cos cos B A A B B A
⋅=⋅∴sin 2A =sin 2B ，
∴2A =2B 或2A +2B =π,即A =B 或， 2A B π+=本题选择C 选项.
4.若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） 5sin()cos 36A x A x ππ=+
-=-R a A.
B. C. D. []0,4()0,4[)0,4(]0,4【答案】D
【解析】
不等式的解集为R .
可得：a 2−3a −4<0,且△=b 2−4ac <0，
得：，解得：0<a <4， 14{0
a -<<∆<
当a 2−3a −4=0时，即a =−1或a =4，不等式为−1<0恒成立，此时解集为R .
综上可得：实数a 的取值范围为(0,4].
本题选择D 选项.
5. 下列命题中正确的个数是（ ）
（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等
（2）若直线与平面平行，则直线与平面内的直线平行或异面
（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】
试题分析：（1）这两个角相等或互补；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或异面； 命题（2）（3）正确．
考点：空间点、线、面的位置关系、空间想象能力． 6.已知数列满足，则该数列的前12项和为（ {}n a 221221,2,1cos sin 22n n n n a a a a ππ+⎛⎫===++ ⎪⎝
⎭）
A. 211
B. 212
C. 126
D. 147
【答案】D
【解析】
由题意可得： a 1=1,a 2=2,a 3=a 1+1=2,a 4=2a 2+0=4,a 5=a 3+1=3,a 6=2a 4=8…
即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，
而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，
所以该数列的前2n 项的和：
， ()()
21221211222122n n n n n n n S n +-⎡⎤-+=+⨯+=+-⎢⎥-⎣⎦令可得：.
6n =12147S =本题选择D 选项.
7.如图，一个正四棱锥-底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，
P ABCD ,,,A B C D O P
若，则球的表面积是（ ） 163
P ABCD V -=O
A. B. C. D. 814π16π9π274
π【答案】B
【解析】
如图，正四棱锥P −ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上， ∴PO ⊥底面ABCD ,PO =R ,S ABCD =2R 2,， 163P ABCD V -
=所以， 2116233R R ⋅⋅=
解得：R =2，
球O 的表面积：S =4πR 2=16π.
本题选择B 选项.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
8..在中，所对的边分别是，当钝角三角形的三边是三个连续整数时，ABC ∆,,A B C ∠∠∠,,a b c ,,a b c 则外接圆的半径为（ ） ABC ∆
A. B. C. D. 52【答案】D
【解析】
由题意得：钝角△ABC 的三边分别为x ，x+1，x+2，且x+2所对的角为钝角α，
∴由余弦定理得：，即x<3， ()()()2221230212x x x x cos x x x α++-+-=
=<+∴x=1或x=2，
当x=1时，三角形三边分别为1，2，3，不能构成三角形，舍去；
当x=2时,三角形三边长分别为2,3,4,此时， 14
cos α=-∴
，
sin α==设△ABC 外接圆的半径为R,
，
2
R =解得：. R =本题选择D 选项.
9.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶15︒部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为
（如图所示），则旗杆的高度为（ 60︒30
︒）
A.
B. C. D.
10m 30
m 【答案】B
【解析】 如图，依题意知∠ABC=30°+15°=45°,∠ACB=180°−60°−15°=105°，
∴∠BAC=180°−45°−105°=30°，
由正弦定理知， sin sin BC AC BAC ABC
=∠∠∴
(m) 2
BC AC sin ABC sin BAC =⋅∠==∠在Rt△ACD 中,
(m) 30AD AC =
==即旗杆的高度为30m.
本题选择B 选项.
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
10.
一个几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥而成，它的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A.
B. C. D.
2346【答案】C
【解析】 用三棱柱的体积减去四棱锥的体积，该几何体的体积为：
． 1124224224232V +⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
本题选择C 选项.
11.若，且，则的最小值为（ ） 0,0a b >>11112a a b
+=++2a b +
A.
B. C. D. 25212
【答案】D
【解析】 设，则：， 1,2a x a b y +=+=11,2
y x a x b -+=-=题目转化为已知，求的最小值， 111x y +=()1212y x x -+-+，而： ()1333321222222
y x y x y x x -++-+=+-=-
()1133344x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭
当且仅当时等式成立. x y ==
则()132122y x x -+-+≥-=12.正方形边长为，中心为，直线经过中心，交于，交于，为平面上
ABCD 2O l O AB M CD N P 一点，且则的最小值是（ ）
2(1),OP OB OC λλ=+-PM PN ⋅
A. B. C. D ． 34-1-74
-2-【答案】C
【解析】
由题意可得：
, ()()()
222222114444PM PN PM PN PM PN PO NO PO NO ⎡⎤⋅=+-+=-=-⎢⎥⎣⎦ 设，则三点共线.
2OP OQ = ()()1,11,,,OQ OB OC Q B C λλλλ=+-+-=∴ 当MN 与BD 重合时，最大，且， NO 2max 2NO = 据此： ()min 17244
PM PN ⋅=-=- 本题选择C 选项.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.已知，，，则与的夹角为________
1a = 6b = ()2a b a ⋅-=a b 【答案】
3π
【解析】
设两个向量的夹角为θ，由题意有：
22a b a ⋅-= ∴6cosθ−1=2，∴, 1cos 2θ=∵θ∈[0,π]
∴.
3π
θ=14.已知，则_________. 2sin cos 3
αα+=cos 2=α【答案】【解析】 由题意可得：， 451sin 2sin
299
αα+=
∴=∴cos 2α==15.若，，，，则的大小关系为_______.
()1,1x e -∈ln a x =ln x b e =ln 12x c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,a b c 【答案】
a b c <<【解析】
∵x ∈(,1)，a =lnx
1e -即−1<a <0；
又b =e lnx 为增函数， ∴； 11b e
<<为减函数，
ln 1
ln 1x x c e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴1<c <e ，
∴a <b <c .
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还 是负，从而确定所比值的大小．分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准．
16.已知数列与满足，若且{}n a {}n b ()1122n n n n a b b a n N *+++=+∈()
19,3n n a b n N *==∈对一切恒成立 ，则实数的取值范围是_________.
()33633n n a n λλ>+-+n *∈N λ【答案】 13,18⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【解析】
试题分析：将代入，化简得，故113,3n n n n b b ++==1122n n n n a b b a +++=+143n n n a a +-=⋅.故原不等式()()()()
1211221143339233n n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+=++++=⋅+ 可化为.当时，，当时，()33633n n a n λλ>+-+()18312
3n n λ->+2n ≤()18303n n -<3n =，当时，，当时，，时，单()
18303n n -=4n =()183239n n -=5n =()183423279n n -=<5n ≥()1833
n n -调递减，所以当时为最大值，故. 4n =12132918λ>
+=考点：递推数列及不等式.
【思路点晴】本题主要考查递推数列求通项的方法，考查累加法求通项，考查分离常数法解恒成立问题，考查数列与函数单调性结合等问题.第一步现将的通项公式代入题目给定的方程，由此方程求得的递推n b n a 关系，然后利用累加法求得的通项公式，将通项公式代入不等式，利用分离常数法解得143n
n n a a +-=⋅n a 的取值范围.
λ三、解答题(本大题共6小题，满分70分.)
17.在中，分别是∠A 、∠B 、∠C . ABC ∆,,a b c cos cos A c =（1）求的值；
C ∠
（2）若，边上中线，求的面积． 6B π∠=AC BM =ABC ∆
【答案】(1) ;(2) 6C π=
【解析】
试题分析：
(1)利用题意结合正弦定理求得，. cos C =6C π∴=
(2)由题意得为等腰三角形，结合余弦定理得， 的面积. ABC ∆c =∴ABC ∆S =试题解析：
(1) ， cos cos A c =∴cos cos A c =
，，
2sin cos cos sin B C A C A C =+2sin cos B C A C B =+（
为的内角，. sin 0,cos B C ≠∴=
C ABC ∆6C π∴=(2) ,,得为等腰三角形，在中，由余弦定理得 6B π∠=23A B C ππ∴=--=ABC ∆ABM ∆
，，解得， 22222cos 3BM AB AM AB AM π=+-⋅2121=2222c c c c ⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭c =
的面积. ∴ABC ∆212sin 23
S c π==18.已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.
{}n a 3-8（1）求等差数列的通项公式; {}n a
（2）若成等比数列,求数列的前项和.
231,,a a a {}
n a n 【答案】(1) ,或;(2) .
35n a n =-+37n a n =-24,1,
{31110, 1.22
n n S n n n ==-+>【解析】 试题分析：
(1)由题意列方程组求得首项和公差可得等差数列通项公式为,或.
35n a n =-+37n a n =-(2)结合数列项数的符号分类讨论写为分段函数的形式，则：. 24,1,
{311
10, 1.22
n n S n n n ==-+>试题解析：
(1)设等差数列的公差为,则,,
{}n a d 21a a d =+312a a d =+由题意得 解得或所以由等差数列通项公式可得
()()1111333,{28.a d a a d a d +=-++=12,{3,a d ==-14,
{ 3.
a d =-=,或.
()23135n a n n =--=-+()43137n a n n =-+-=-故,或.
35n a n =-+37n a n =-(2)当时,,,分别为,,,不成等比数列; 35n a n =-+2a 3a 1a 1-4-2当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件. 37n a n =-2a 3a 1a 1-24-故
37,1,2,
37{
37, 3.
n n n a n n n -+==-=-≥记数列的前项和为.
{}
n a n n S 当时,;当时,; 1n =114S a ==2n =2125S a a =+=当时,
3n ≥
234n n S S a a a =++++ ()()()533734737n =+⨯-+⨯-++-. 当时,满足此式. ()()22237311
5102
22
n n n n ⎡⎤-+-⎣⎦
=+
=
-+2n =
综上, 24,
1,
{3
11
10, 1.2
2
n n S n n n ==-
+>19.若的图像与直线
相切，并且切点横坐标依次
2()sin cos (0)f x ax ax ax a =
->(0)y m m =>成公差为的等差数列. π（1）求和的值；
a m （2）中分别是∠A、∠B、∠C 的对边.若点是函数图象的一个对称中心，
且ABC ∆,,a b
c 2
A （()f x =4a ，求周长的取值范围． ABC ∆【答案】(1) ;(2) .
1,a
=1m =+(8,12]a b c ++∈【解析】 试题分析：
(1)由题意结合三角函数的性质可得 ； 1,a
=1m =
+(2)利用题意结合正弦定理有，据此可得周长的取值范围是. 8sin 46b c a B π⎛⎫
++=++ ⎪⎝
⎭
ABC ∆(]8,12试题解析： （1）
()2sin cos f x ax ax ax =
-sin 23ax π⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭由题意，函数的周期为，且最大（或最小）值为，而 ()f x πm 0
m >10-<所以 1,a
=1m =
（2）∵点（
是函数图象的一个对称中心 ∴ 2A ()f x sin 03A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为为的内角，所以
A ABC ∆3
A π
=
中， 则由正弦定理得：
ABC ∆4sin sin sin sin
3
b c a B c A π====
]4sin sin 4sin sin 48sin 436b c a b c B C B B B ππ⎤⎛⎫⎛
⎫∴++=++=
++=+++=++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦
∴. 203
B π
<<
(]8,12a b c ++∈20.已知甲、乙两地相距为千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度每小时不超过千米.已知汽车s 70每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成：固定部分为元，可变部分与速度（单a v 位; ）的平方成正比，且比例系数为.
km
h m （1）求汽车全程的运输成本（单位：元）关于速度（单位; ）的函数解析式；
y v km h （2）为了全程的运输成本最小，汽车应该以多大的速度行驶？
【答案】(1) ;(2) 时，汽车行驶速度2()(070)s y a mv v v =
+<≤70≤
时，汽车行驶速度为. km h 70>70km h 【解析】 试题分析：
(1)由题意写出解析式 ()
2(070)s
y a mv v v
=
+<≤
(2)由(1) 70≤
时，汽车行驶速度为 . /km h 70>70/km h 试题解析：
（1） ()
2(070)s
y a mv v v =
+<≤（2） ()
2(070)s
y a mv v v
=+<≤
时，，当且仅当时，等号成立，当70≤2a y S mv s v ⎛
⎫=+≥⋅= ⎪⎝
⎭v =
∴
时，； 70≤v =
min 2y =
时，证明函数在区间上是减函数，则当时，.
70>y (]0,7070v =min 7070sa y sm =+
答：
；
时，汽车70≤/km h 70>行驶速度为 .
70/km h 点睛：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
21.已知函数满足，定义数列，，
()()y f x x R =∈1(2)21x x f +=+{}n a 11a =，数列的前项和为，
．
1(
)1(*)n n a f a n N +=-∈{}n b n n S 11b =*1()n N =∈（1） 求数列、的通项公式； {}n a {}n b （2）令，求的前项和； ()
*n
n n
b c n N a =
∈{}n c n n T （3）数列中是否存在三项使成等差数列，若存在，求出
{}n a (
)*
,,,,,m n k a a a m n k m n k N
<<∈,,m
n k a
a a 的值，若不存在，请说明理由．
,,m n k 【答案】(1) ,;(2) ;(3)见解析. 1
2n n a -=21,n b n =-1
23
62n n n T -+=-
【解析】 试题分析：
(1)结合题意中的递推关系可得,；
1
2
n n a -=21n b n =-(2)结合(1)的结论错位相减可得； 1
23
62n n n T -+=-
(3)假设存在满足题意的，结合题意讨论可得矛盾，假设不成立，即不存在任三项能构成等差数列． ,,m n k 试题解析：
（1）由题意知：，又
()21f x x =+12,n n a a +
=11,a =
是以1为首项，2为公比的等比数列，故，
{}n a 12n n a -=由可得：
11b
=(
)
*
1n N
=∈ ,当时，满足上式，
,n =2,n S n =()1212n n n b S S n n -=-=-≥1n =11b =
21,n b n ∴=-
（2）， 1
21
2n n n c --=
123n n T c c c c =++++ ……①
23135721
12222
n n n T --=+++++ 两边同乘公比得，……② 122341135721
222222
n n
n T -=+++++ ①②得化简得：. -234112222221112222222n n n n T --⎛⎫-
=++++++- ⎪⎝
⎭1
2362n n n T -+=-（3）假设存在使成等差数列， *
,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈,,m n k a a a 则，，两边同除，得，
2n m k a a a =+1112222n m k ---⋅=+12m -1212n m k m +--=+为偶数，而为奇数，因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．
12n m +-∴12k m -+ ∴假设不成立，故不存在任三项能构成等差数列．
点睛：一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解． 22.已知函数为奇函数. 1()lg(
)1mx
f x x
-=-（1）求的值，并求函数的定义域； m ()f x （2）判断并证明函数的单调性； ()f x （3）若对于任意，是否存在实数，使得不等式恒成立，若存[0,
2π
θ∈λ21
(cos sin )lg 303
f θλθ+-->在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由. λ
【答案】（1）函数的定义域是;（2）见解析;（3）. (1,1)-56λ<<
【解析】
试题分析：（1）由奇函数定义得，根据对数运算性质可得或（舍去）；（2()()f x f x -=-1m =-1m =）利用定义判断并证明函数的单调性，先设任意两数，再作差，根据对数性质，只需比较真数大小即()f x 可，最后根据差的符号确定函数单调性；（3）先利用函数性质等价转化不等式，因为，所以1ln32f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
对于任意恒成立，再令，转化为区间端点值满足不等式即可211cos sin 123θλθ<+-<0,2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
sin t θ=，解不等式即得实数的取值范围. λ试题解析：（1）∵函数为奇函数， ()1lg 1mx f x x -⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
∴在定义域内恒成立， ()()f x f x -=-即，∴在定义域内恒成立，∴或（舍去），即11lg lg 11mx mx x x +-⎛⎫⎛⎫=-
⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭
22211m x x -=-1m =-1m =，
. 1m =-101x
x
+>-故函数的定义域是. ()1,1-（2）（），任取且，则设（）()1lg 1x f x x +⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
11
x -<<()12,1,1x x ∈-12x x <()11x u x x +=-11x -<<，. ()()()()()
1212
1212122111111x x x x u x u x x x x x -++-=
-=----∵，，∴， 1211x x -<<<()()120u x u x -<()()12lg lg u x u x >∴，即在定义域内单调递增. ()()12f x f x <()f x （3）假设存在实数，使得不等式恒成立，即
λ2
1cos
sin ln303
f θλθ⎛⎫
+--> ⎪⎝
⎭
恒成立.
211cos sin ln332f f θλθ⎛⎫⎛⎫
+->= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由（1），（2）知：对于任意，
2
11cos sin 123θλθ<+-<221
1sin 1
30,{1121sin 32
sin sin θλθπθθλθ-+-<⎡⎤
∈⇔⎢⎥⎣⎦-+->当时成立； 0θ=当时，令，
0,
2πθ⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
sin t θ=
2213{{1566
t t t t λλλλ-+<
<⇔⇔-+>->56λ<<点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的()()()()
f g x f h x >单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.
f ()
g x ()
h x。