右端不连续微分方程理论及相关问题研究

右端不连续微分方程理论及相关问题研究近些年来,来源于现实的工程、生物及物理等背景的右端不连续微分方程及相关问题引起了众多研究工作者的关注.此外,右端不连续微分方程所确定的向量场不再是光滑的或全局Lipschitz的,关于右端连续微分方程的众多经典理论不再适用,致使其理论和研究方法的发展还远没有达到完善的程度.因此,从数学上对该方程所存在的问题进行深入的探讨不仅具有重要的理论意义,而且还具有重大的实际意义.本学位论文综合利用集值映射理论、微分包含理论、非光滑分析工具以及不等式技巧等数学理论与方法,特别是右端不连续泛函微分方程理论及非光滑临界点理论,并发展和完善相关的右端不连续泛函微分方程理论,对几类具有不连续激励函数的神经网络模型、具有不连续捕获项的Lasota-Wazewska 模型和Nicholson果蝇模型的动力学性态进行了定性研究,主要包括平衡点、(概)周期解的存在性、耗散性与(渐近、指数、有限时间)稳定性等问题,并分别研究了一类无界区域上具有非光滑位势的Kirchhoff型微分包含问题和一类有界区域上具有参数依赖的p(x)-Kirchhoff型微分包含问题,利用非光滑变分原理,分别获得了所考虑问题新的解的存在性与多重性结果.这些结果既有利于数学学科的进一步发展,又为科学和工程应用提供可靠的理论依据和有效的关键技术与方法.全文内容共分为五章,其主要内容如下:在第一章中,回顾了所研究问题的历史背景、发展现状以及最新进展,并对本文的研究工作进行了简要的陈述,同时也揭示了本论文工作的研究意义和动机.最后,简单阐述了本论文的研究内容.在第二章中,介绍了本文需要用到的一些基本理论知识,主要涉及集值映射理论、微分包含理论、泛函微分方程、非光滑分析及非光滑变分原理等方面的内容,特别是为研究不连续微分方程的耗散性,发展并推广了一类LaSalle不变原理.在第三
章中,利用集值分析理论中的不动点定理,拓扑度理论,并结合非光滑分析技巧、广义Lyapunov函数(泛函)方法,以及不等式技巧,分别研究了两类具有不连续激励函数的神经网络模型及一类忆阻神经网络模型,获得了相关模型平衡点、周期解的存在性、稳定性及耗散性等新结论.同时,本章的部分结果推广并改进了已有文献的结论.在第四章中,提出了两类具有不连续捕获项和时滞的
Lasota-Wazewska模型和Nicholson果蝇模型,给出了不连续捕获项的合理解释,利用非光滑分析技巧,并发展了新的分析技巧和方法,得到了所考虑模型(概)周期解的存在性及稳定性的全新判据,所建立的(概)周期系统下指数稳定性蕴含其(概)周期解的存在性判据,获得了这两类不连续生物数学模型(概)周期解的存在性与指数稳定性问题研究的一般方法.在第五章中,首先,研究了一类全空间上Kirchhoff型微分包含问题,克服全空间上Sobolev嵌入紧性和非线性项可微性的缺失所带来的理论和技术上的困难,利用非光滑版本的山路引理,并结合变分方法,建立了所考察问题解的存在性的新结论.此外,利用非光滑版本的三临界点定理,并结合变指数Lebesgue与Sobolev空间理论,研究了一类p(x)-Kirchhoff 型微分包含系统在有界区域上解的存在性问题,建立了所考虑问题解的存在性和多重性等新结果.。