1.3.2等比数列复习课件

若 a,G,b 成等比数列，则 G叫作 a 与 b 的等比中项 G2 ab
知识梳理
2．等比数列有关公式
（1） 等比数列的通项公式 an a1qn 1 (a1 0, q 0),
（2） 等比数列前n项和公式
na1，
q1
Sn
a1(1 qn ) a1 anq , q 1
1q
1q
知识梳理
3.等比数列的单调性
3．一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，求前3n项的和． 4．等比数列中，若正整数 m, n, p, q满足 m n p , q
试比较 am an与ap aq 的大小关系．
a1q8 0, a1 q,
由2(an
an 2 )
5an
得
1
an 0, 2(1 q2 ) 5q，
因为数列单调递增 a1 2, q
2an (1 q2 ) 5qan， q 1 ,或q 2， 2 2，
an 2 2n 1 2n.
（3）在各项均为正数的等比数列 an 中，若 a2 1, a8 a6 2a4，
求 a6的值. 解 设公比为 q, 则a8
求公比 q 的值;
（2）单调递增的等比数列 an 中，且 a52
a10 , 2(an
an
）
2
5an 1,
求通项公式 an ;
（3）在各项均为正数的等比数列 an 中，若 a2 1, a8 a6 2a4，
求 a6的值.
练习一
（1）已知等比数列 an 的前n项和为 Sn ，且 a3 7, S3 21,
北师大版 高中数学 必修5 第一章 数 列
§3.2 等比数列（复习课）
知识梳理
1．等比数列有关定义
（1） 等比数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都
等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列. 这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示 (q 0) . （2）等比中项
练习二
设数列 an 的前n项和为 Sn ，满足 6Sn 1 9an (n N*).
求数列 an 的通项公式. 解 当 n 1 时， 由 6S1 1 9a1，
1 得 a1 3
当 n≥ 2 时,
6Sn 1 9an (1)
6Sn 1 1 9an 1 (2)
(1) (2)得 an 3an 1
6(Sn Sn 1) 9(an an 1)
a2q6
q6 , a6
a2 q 4
q4 , a4
a 2q2
q 2，
所以由 a8 a6 2a4 , 得 q6 q4 q2 0， q4 q2 2 0，
解得 q2 2, a6 a2q4 4.
2q2，
例题选讲
二、等比数列的判定
例3．设数列 an 的前n 项和为 Sn ，若 S2 4, an 1 2Sn 1, n N*,
判断该数列是什么数列,并求数列 an 的通项公式.
解 由 a1 a2 4 a2 2a1 1
a1 1 a2 3
当 n≥ 2 时, an 1 2Sn 1 (1)
an
(1) (2)得
an 1 an 2(Sn Sn 1) 2an
2Sn 1 1 (2) an 1 3an
a2 3a1 n 1也成立. 数列 an 为等比数列 an 3n 1.
求公比 q 的值．
解 （方法二）依题意得
a1q2 7 a1 a1q a1q2
21
1 q q2 21
q2
7
q 1, 或q 1 2
7, S3 21,
直接用前3项 避免了讨论
（2）单调递增的等比数列 an 中，且 a52
a10 , 2(an
an
）
2
5an 1,
求通项公式 an.
解：由a52 a10得 (a1q4 )2 a1q9 ,
5 2
,
a2
a4
5, 4
则 Sn ________ .
an
解 设公比为 q, a1 a3
5, 2
a2
a4
(a1 a3)q
5, 4
q
1
, 2
a1
2,
an
2 (1)n 1 2
4 2n
பைடு நூலகம்
Sn
2 [1 (1)n ] 2
11
4(1
1 2n
)
2
Sn 2n 1. an
练习一 （1）已知等比数列 an 的前n项和为 Sn ，且 a3 7, S3 21,
2 ，q 3 4 ,求 a7.
2
得a1
1 2
8.
从上面的解题过程中，能想到更简单的解法吗？
例题选讲
一、等比数列基本量的计算
（1）等比数列 {an} 中，已知 a4 2 ，q
解
a4 a1q3
a7 a1q6
3 4 ,求 a7.
a7 a1q6 q3 a4 a1q3
a7 q3a4 q7 4
能否得到更一般的结论？
5 2
,
a2
a4
5, 4
则 Sn ________ .
an 解 设公比为 q, a1 a3
a1 a1q2
5 2
q
1, 2
a1
a2 a4 (a1 a1q2 )q
2, an
2 (1)n 1 2
4 2n
5, 4
Sn
2 [1 (1)n ] 2
11
4(1 1 ) 2n
2
Sn 2n 1. an
例2 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 a3
an 为递增数列
a1 0或 a1 0 q1 0q1
an 为递减数列 an 为摆动数列
a1 0 或 a1 0 0q1 q1 q0
an 为常数列 q=1
例题选讲
一、等比数列基本量的计算
（1）等比数列 {an} 中，已知 a4
解
a4
a7
问题和思考
a1q3 a1q6
a1( 3 4)3 1 （3 4）6 2
数列 an 为等比数列
6an 9(an an 1) an 3n 2.
1.等比数列有关定义、公式及运用； 2.解题中注意方程思想，分类讨论思想的运用.
课后作业
1．一个各项均为正的等比数列，其中每一项都等于它后面的相邻 两项之和，求这个数列的公比．
2．单摆一次摆动的弧长为36cm，在连续的每一次摆动中，每次摆动 的弧长是前一次的90％，请写出它每次摆动弧长的表达式，并写 出第六次摆动的弧长（结果精确到1cm）．
求公比 q 的值．
注意用前n项和公
式要分类讨论
解 （方法一） 依题意得，① 当 q 1 时，显然成立.
② 当 q 1 时，
a1q2 7 a1(1 q3 ) 21
1q
1 q q2 21
q2
7
q 1, 或q 1 2
q 1 , 或q 1 （舍去） 2
（1）已知等比数列 an 的前n项和为 Sn ，且 a3
a7 4a4 8
问题探究：
等比数列{an}中，等式 an amqn m (q 0, m, n N*) 是否成立？
解
an a1qn 1, am a1qm 1
an am
a1qn 1 a1qm 1
qn m
an amqn m
通项公式的推广： an amqn m
例题选讲
例2 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 a3