静电场和恒定电流电场

第二章 静电场和恒定电流电场
§2.1 静电场的基本方程
1 静电场的定义：场的源－电荷，相对于观察者（坐标系）静止。

2 静电场的基本方程：
0=∂∂
t
，因此有 ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=⋅∇==⋅∇==⨯∇=⨯∇0
00
B H
B D E D E H μρε 可以发现电场量（ε,,D E ）与磁场量（μ,,B H
）无耦合，故可以单独研究静电场和静磁
场。

于是静电场的基本方程是
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇==⨯∇ρ
εD E
D E
3 静电场的物理特性；1）场源：电荷，散度源，旋度为零，是保守场，可以定义势能。

2）电力线：非环，始于正电荷或带正电荷的导体或无穷远，终于负电荷或带负电荷的导体或无穷远。

3）与磁场关系：无关。

§2.2 电位
1 为什么需要电位：1）电位作辅助量，简化求解过程，矢量变标量。

2）静电场电位有物理意义：电位是单位正电荷的势能。

3）电位比电场易测量。

2 电位定义：前提是旋度为零。

任何标量梯度的旋度恒等于零：0=∇⨯∇ϕ （梯度的物理解释：最陡）
因此只要让ϕ-∇=E
静电场的旋度方程自然满足。

3 电位的物理意义：
任意一点A 的电位等于把单位正电荷从该点移到电位参考点P （零电位点）电场力所做的功，也就是外力克服电场力把单位正电荷从电位参考点（零电位点）移到该点所做的功。

数值上也就是单位正电荷所具有的势能。

⎰⎰⎰⎰
⎰⎰=-==⋅∇=⋅∇-=⋅→⋅=⋅=P A
A P
A
P
A P A P
A
P A
P A
AP d l d l d l d E l d E q l d F W ϕϕϕϕϕϕ
上式结果与A 点到P 点的具体路径无关，这是因为
⎰=⋅=+=-AMPNA
ANP
AMP ANP AMP l d E W W W W 0
A
M
N
P
所以 A N P A M P W W =
因此我们才可以说（在静电场条件下）电位是单位正电荷的势能。

势能本身就意味着它只与状态有关，与过程无关。

4 电位参考点的选择：1）电荷在有限区域，无穷远点为参考点。

2）电荷分布到无穷远，在有限区域任选一点作参考点。

3）同一问题，参考点应该统一。

4）参考点的选择不会影响电场，电场只与电位差有关，绝对电位没有意义，只有电位差才有意义。

5 电位的计算：1）点电荷情况。

2）电荷系情况：叠加原理成立，求和。

3）求和变为积分。

例37页图2.2.6
§2.3 电位方程－泊松方程
1 前面我们只涉及已知电荷求电场或电位，但实际情况往往是电荷的分布不知道，只知道导体上的相对电位，电位方程满足这个要求（推导参考教科书39页）。

泊松方程 ε
ρ
ϕ-
=∇2
在无源区，0=ρ，变为拉普拉斯方程 02
=∇ϕ
§2.4 静电场的边界条件
1 单独的微分方程只能给出含有未知常数的通解。

只有加上边界条件，才能给出唯一确定的特解
2 边界条件
电场强度 0)(21=-⨯E E n
电位移矢量 ⎩⎨⎧=-⋅0
)(21s D D n ρ
电位，（电场为电位的梯度，不能无限大。

该条件与电场强度的边界条件等效，教科书41页）
21ϕϕ=
电位移矢量边界条件的电位形式 ⎩⎨⎧=∂∂-∂∂0
2211s n n ρϕεϕε
3 特定情况：两边都是电介质，折射定律（参考教科书40、41页）
4特定情况：一边导体，一边电介质。

1） 静电场中的导体（动态）：当导体受到外电场作用时，导体自由电子移动到导体表面，
由此产生的附加电场与原来的外加电场抵消，使得导体内部总电场为零，进而自由电子不再移动（静电场定义要求） 2） 静电场中的导体（静态）：内部电场为零，导体为等位体，导体表面为等位面，自由电
荷集聚在表面，形成面电荷分布。

3） 边界条件：
s
n t D E ρ==0
电力线象直立的头发，科学馆的例子
5 边值问题求解的一般过程：1）选取坐标系：尽量要坐标面与等位面重合或平行。

2）写出方程的通解，如果有几种媒质，要分区写出通解。

3）根据边界条件确定通解中的积分常数，给出特解。

4）如果求解区域至无穷远，无穷远也是边界之一。

教科书42页例2.4.1
§2.5 电容
1 电容的物理意义：电容是储藏电场能量的度量。

2 电容的分类（导体数目）
1） 单导体：ϕ/Q C = 净电荷与导体电位的比（无穷远为电位参考点） 2） 双导体：U Q C /=
3） 多导体：相当于电路中的多个电容器的网络（教科书45到51页）
§2.6 电场的能量
1某种电荷分布情况下电场的能量等于把这些电荷从无穷远处移来建立起这种分布外力所作的功（其它形式的势能也可按此法计算）。

这个过程实际就是充电。

2 充电方式：所有导体的电荷按同样的比例同步增加。

起始状态：n 个导体的电荷都为零，电位也为零
终了状态：n 个导体的电荷为n q q q ,,,21 ，电位为n ϕϕϕ,,,21
充电过程：n 个导体的电荷为n q q q ααα,,,21 ，电位为n αϕαϕαϕ,,,21 ，充电就是α从0变到1的过程。

在这过程中，αααd q d q d q n ,,,21 的微量电荷从无穷远慢慢地加到各个导体上。

微量－是为了不破坏原来的电荷（场）分布，慢慢－是为了不涉及动能，这样把αd q k 从无穷远慢慢地加到导体k 外力克服电场力作的功为
ααϕd q k k
每个导体都增加同比例的微量电荷作的功为
ααϕd q dA k k n
k ∑==1
整个充电过程作的功为
∑⎰⎰
∑⎰∑
=======n
k k k n
k k k k k n
k q d q d q dA A 110
1
1
01
21ϕααϕααϕ
故
3 点电荷系统电场的能量 ∑===n
k k k e q A W 1
21ϕ
4 连续电荷系统电场的能量 ⎰==V
e dV A W ρϕ21
上面两式表明：电场能量储藏在电荷区域、即源处 5 用场量表示电场能量（场的观点）
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅=∇⋅-⋅∇=⋅∇==s V
V V V V e dV
E D s d D dV D dV D dV D dV W 2121
21)(21)(2121ϕϕϕϕρϕ因为无电荷区域被积函数为零，积分区域s 以及V 由电荷所在区域扩展至无穷远并不影响
e W 的值。

当s 扩展至无穷远时，由于电荷分布在有限区域，在无穷远处看来，相当于一个
点电荷，电场分布也与点电荷类似，故有21,1R
D R ∝∝ ϕ，同时有2R s d ∝
,因此 R
R R R s d D s
1~11~22⋅⋅⋅⎰ ϕ 上式当s 扩展至无穷远时（∞→R ）为零。

所以我们可以仅用场量表示电场能量
dV E D W V
e ⎰⋅= 21
注意：上式的体积分应遍布整个空间。

因此电场能量密度为： E D e
⋅=2
1ω
该式表明电场能量储藏在有场强的空间。

无电荷的区域也有能量，与3、4中的解释有矛盾！
6 事实上1）5 的解释更符合物理实际。

太阳能就是一个例子，阳光没有电荷，我们却能感受到有电能和由它转换来的热能。

2）3、4只是电场能量的一种计算方法：就象计算水池里的水量，我既可以把整个水池的水加起来，也可以只计算水龙头流进多少，水管流出多少，进而计算总的水量。

7 导体受到的电场力（补充）
导体位于静电场中，自由电荷分布在导体的表面，受到电场力的作用。

在静电场中，这个力的方向应指向何方？只能垂直向外，否则电荷要移动，那样就不是静电场了。

另外这个力传给了谁？导体！
8单个导体受到的电场力的计算（补充） 导体表面电荷元ds s ρ受到电场力
ds E F d s ρ⋅=
上式中的E
只能是系统中其它电荷的电场，不能包括电荷元ds s ρ本身产生的电场（宏观电
磁学一涉及到源本身就有问题）
电荷元ds s ρ本身产生的电场垂直于导体表面，在导体两边都有，方向相反，大小相等为（由高斯定律计算）ερ2/s 。

因为要保证0=inside E
所以导体上其它电荷产生的电场的方向一定垂直向外，大小也为
ερ2/s ，这样才能保证叠加后的总电场是导体内部为零，外部为ερ/s 。

因此
ds E ds ds ds ds E F d s s s s s ⋅⋅=⋅⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=⋅=⋅=⋅=22
22222εε
ρεερρερρ 导体表面单位面积受到的力（压强）
e E ds F d ωε==2
2
总结：作用在导体上的电场力方向朝导体外，对导体施负压，压强就等于电场能量密度。

§2.8 恒定电流的电场
1 物理过程：前面讲静电场中导体时讲过，导体放入静电场中，电荷将向导体表面运动，遇到导体的表面停止。

如果导体形成一个环路，电荷就可能沿环路方向一直流动，形成电流。

2 恒定电流：电流的分布不随时间变化。

3 在导电媒质外部电介质里的电场：恒定电场的源同样是（运动）电荷，恒定分布的运动电荷与静电荷无区别，故该区域恒定电场满足的基本方程为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⋅∇=⨯∇E
D D E
ε00
4 在导电媒质里的电场：1）电流密度满足E J
σ=，2）在恒定电场，电荷分布不随时间变
化，根据电荷守恒定律有
0=∂∂-=⋅∇t
J ρ
3）由于恒定电场由运动电荷产生，且运动电荷的分布与时间无关，故恒定电场的源是散度
源，散度源的电场是无旋电场（没有旋度源）故有0=⨯∇E
4）在导电媒质里的电场总结如下
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⋅∇=⨯∇E
J J E
σ00
边界条件（记忆方法：21,
E E E n
-→→∇）
，与第一章同样方法推导，得 ⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=-⨯n n t
t J J E E J J n E E n 212121210
)(0)(
如果电介质不是理想电介质，有漏电，则还有s D D n ρ=-⋅)(21
5 电源：电场驱动电荷克服阻力（电阻）漂移，电场力做功，电能减少变为热能，如果没有外加的补充能量，不可能维持恒定电流。

电源就是外加能量的装置。

它把其它形式的能量转换为电能以维持恒定电流。

由于电源把外界能量给电荷，也就是对电荷有作用力，可以把电源等效为一个局外电场s E ，但是它的作用范围仅限于电源内部。

6 导体表面的电场：为了维持电流沿导体（切向）的流动，导体表面的切向电场不在为零。

但由于良导体1>>σ，极小电场就能驱动很大的电流，因此通常情况下导体表面的切向电场极小。

电力线近似垂直于导体的表面。

§2.8 导电媒质内恒定电流的电场与静电场的比拟
1 导电媒质内恒定电场 静电场
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⋅∇=⨯∇E
J J E
σ00
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⋅∇=⨯∇E
D D E
ε00
由于导电媒质内恒定电场的基本方程与无电荷区域内电介质的静电场的基本方程在形式上
一样，边界条件也一致，故两种情况可以比拟。

即可以此一种情况的解导出另一种情况的解。

2 比拟关系：ϕϕεσ↔↔↔↔↔,,,,q I D J E E
3 电容与电导比拟 电容：⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅⋅==
l s l s
l d E s d E l d E s d D U q C ε 电导：⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅⋅==
l
s l
s
l
d E s d E l d E s d J U
I G σ 如果电极的电导率比周围媒质的电导率大的多，则电极表面近似为等位面，如果电极的形状也相同，则两电极之间的电导与电容存在下列关系
ε
σ=C G 4例（教科书）
5 应用：静电比拟，用电流场模拟静电场。

电流比电荷容易控制。