九年级数学下册第5章二次函数5.2二次函数的图象与性质初中九年级下册数学
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第十一页，共二十三页。
二次函数y=-3(x+1)2+2与y=3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-
y3x122
3x²,y=-3(x+1)2有什么关系? 它 的开口方向,对称轴和顶点坐标 y3x12
分别是什么?
顶点(dǐngdiǎn)分别是
(-1,2)和(-1,-2)
y 3x2
y3x122
二次函数(hánshù)y=-3(x+1)2+2
轴、顶点坐标及最值。
(1)y=2(x+3)2+4
(2)y=3x2－2
(3)y=－(x－1)2－3
(4)y=－2(x+2)2
第十七页，共二十三页。
小试牛刀(xiǎo shì niú dāo)
（再向1）下把平抛移物4个线单y位， 23所x向得2 左的平抛移物(p线ínɡ y的í)3个函单数位关，系
式为
与y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后
得到的.
x=-1
开口向下,
对称轴仍是平行于y轴的直线(zhíxiàn)当x=-1时y有
(x=-1);增减性与y= -3x2类似.
最大值:且
最大值= 2
(或最大值= - 2).
式； n ②求图象与x轴的交点坐标；③观察图象解答：
当x为何值时，y>0?y=0?y<0?
第二十页，共二十三页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点(dǐngdiǎn)坐标与对称轴 ２.位置与开口(kāi kǒu)方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性
练习1.一条抛物线的形状与抛物线 y 相2同x，2
其对称轴与
y （ 相x同，1且)2顶点纵坐标
为6，求此抛物线的解析式。
2.把抛物线 yx2 bx向c上平移(pínɡ yí)2个单
位，再向左平移4个单位，得到抛物
y x 线
2，求b、c的值．
第十九页，共二十三页。
n 例3.已知二次函数y=(x+m)2+k的图象如图。 n ①根据(gēnjù)图中提供的信息求二次函数的关系
(1)怎样平移(pínɡ yí)抛物线y=2x2可以得到 抛物线y=2(x-1)2+1? y=2x2 上 1 y=2x2+1 右 1 y=2(x-1)2+1 y=2x2 右 1 y=2(x-1)2 上 1 y=2(x-1)2+1
第八页，共二十三页。
y
y=2x2
5
4.
3.
2.
1.
y=2(x-1)2+1
第二页，共二十三页。
回味无穷(huí wèi wú qióng)
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=ax2 y=ax2+k
y=a(x-h)2
y轴 y轴
直线
x=h (zhíxiàn)
(0,0) (0,k) (h,0)
当x<0时,? 当x>0时,? 当x<0时,? 当x>0时,?
当x<h时,?
当x>h时,?
5.2二次函数(hánshù)的图象与性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象(tú 和性 xiànɡ) 质
第一页，共二十三页。
1.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向 下平移(pínɡ yí)|k|得到. (k>0,向上平移(pínɡ yí);k<0向下平移.) 2.抛物线y=a(x－h)2可以(kěyǐ)由抛物线y=ax2 向左或向右平移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.)
y=2(x-1)2
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
-1
第九页，共二十三页。
y y=2x2 +1
y=2x2
5
4.
3.
2.
1.
y=2(x-1)2+1
-3. Hale Waihona Puke 2 -1 0.1. 2. 3.
x
-1
第十页，共二十三页。
返回(fǎnhuí)
我思考 ，我进步 (sīkǎo)
在同一坐标系中作出二次函数(hánshù)
y=－2(x+2)2－3如何(rúhé)平移得到y=－2x2呢？
第二十二页，共二十三页。
内容 总结 (nèiróng)
5.2二次函数的图象与性质。(0,0)。y=－5x2 －2。二次函数y=3(x-1)2+2的。1个单位,再沿直线x=1 向。y=-3(x-1)2的图象。如果K>0,h>0。当x<h时,y随着x的增大而减小.。当x<h时,y随着x的增大而增大.。
第三页，共二十三页。
温故知新(wēn gù zhī xīn)
抛物线
y =2x2
y=－5x2 －2 y =－3(x+1)2 y =4(x－8)2
开口方向 对称轴 顶点坐标
第四页，共二十三页。
在同一(tóngyī)坐标系中作出函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象. 完成下表,并比较(bǐjiào)3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?
当x=h时,y最大值为k.
试一试
1、将抛物线y=3x2向左平移2个单位(dānwèi),再向
下平移5个单位所得抛物线为
。
2、将抛物线y=－4(x－3)2向上(xiàngshàng)平移1个单
位再向右平移2个单位所得抛物线为
。
3、抛物线 y 2 x 2向 平移 个单位得
到抛物线 y 2( x 2)，2 再向 平移 个 单位得到抛物线 y 2( x 2) 2 3 。
值:且最小值=2.
顶点(dǐngdiǎn)是(1,2).
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二 次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
第六页，共二十三页。
交流 ： (jiāoliú) 怎样平移抛物线y=2x2可以(kěyǐ)得到抛 物线y=2(x-1)2+1?
第七页，共二十三页。
思考(sīkǎo)
．
（2）二次函数 y2(x1)021的8图像开
口向 ，对称轴是
，顶点 ，
当x= 时，函数有最 值为 ，
当x 时，y随的增大而增大。
抛物线与x轴的交点为
，
与y轴的交点 。
第十八页，共二十三页。
例题 精讲 (lìtí)
例2一条抛物线的形状与抛物线 y 2( x 2) 2 相同，其顶点坐标是（－1，3），写出这个 抛物线的函数解析式。
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性 质.
第十二页，共二十三页。
思考 ： (sīkǎo)
怎样平移(pínɡ yí)抛物线y=ax2可以得到抛 物线y=a(x+h)2+k?
第十三页，共二十三页。
如果(rúguǒ)K>0,h>0
y=ax2 上 k y=ax2+k 右 h y=a(x-h)2+k
y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和
y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和 y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么(shén me)关系?它们 是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点 坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值 的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的 增大而减小?
No 当x>h时, y随着x的增大而减小.。例1、说出下列函数图象的开口方向(fāngxiàng)、对称轴、顶点坐标
及最值。例3.已知二次函数y=(x+m)2+k的图象如图。试一试
Image
12/11/2021
第二十三页，共二十三页。
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
当x<h时,y随着x的增大而减小. 当x>h时 y随着x的增大而增大.
当x=h时,y最小值为k. 第十六页，共二十三页。
由h和k的符号确定
向下
当x<h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时, y随着x的增大而减小.
当x=h时,y最大值为k.
例题 精讲 (lìtí)
例1、说出下列函数(hánshù)图象的开口方向、对称
最值
y=a(x-h)2+k(a>0) （h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
当x<h时,y随着x的增大而减小. 当x>h时 y随着x的增大而增大.
当x=h时,y最小值为k.
第二十一页，共二十三页。
y=a(x-h)2+k(a<0) （h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
向下
当x<h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时, y随着x的增大而减小.
y=ax2 右 h y=a(x-h)2 上 k y=a(x-h)2+k
第十四页，共二十三页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
n 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条 抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点 (dǐngdiǎn)坐标与a,h,k的值有关.
注: y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式称二次函数(hánshù)的顶点式
第十五页，共二十三页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点(dǐngdiǎn)坐标与对称轴 ２.位置(wèi zhi)与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线
顶点坐标 对称轴
位置
开口方向 增减性 最值
y=a(x-h)2+k(a>0) （h，k）
直线x=h
y=a(x-h)2+k(a<0) （h，k）
y 3x2
y3x122
y3x12
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
X=1
=3x2先沿着(yán zhe)x轴向右平移对称轴仍是平行于y轴的直 1个单位,再沿直线x=1向 线(x=1);增减(zēnɡ jiǎn)性与y=3x2类似.
上平移2个单位后得到的.
开口向上,当 X=1时有最小
x
-4 -3 -2 -1 0
y 3x2
27 12 3 0
y 3x 12
27 12 3
y 3x 12 2
29 14 5
1234 3 12 27 0 3 12 27 2 5 14 29
第五页，共二十三页。
二次函数y=3(x-1)2+2的图 象和抛物y=3x²,y=3(x-1)2有什 么关系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=-3(x+1)2+2与y=3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-
y3x122
3x²,y=-3(x+1)2有什么关系? 它 的开口方向,对称轴和顶点坐标 y3x12
分别是什么?
顶点(dǐngdiǎn)分别是
(-1,2)和(-1,-2)
y 3x2
y3x122
二次函数(hánshù)y=-3(x+1)2+2
轴、顶点坐标及最值。
(1)y=2(x+3)2+4
(2)y=3x2－2
(3)y=－(x－1)2－3
(4)y=－2(x+2)2
第十七页，共二十三页。
小试牛刀(xiǎo shì niú dāo)
（再向1）下把平抛移物4个线单y位， 23所x向得2 左的平抛移物(p线ínɡ y的í)3个函单数位关，系
式为
与y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后
得到的.
x=-1
开口向下,
对称轴仍是平行于y轴的直线(zhíxiàn)当x=-1时y有
(x=-1);增减性与y= -3x2类似.
最大值:且
最大值= 2
(或最大值= - 2).
式； n ②求图象与x轴的交点坐标；③观察图象解答：
当x为何值时，y>0?y=0?y<0?
第二十页，共二十三页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点(dǐngdiǎn)坐标与对称轴 ２.位置与开口(kāi kǒu)方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性
练习1.一条抛物线的形状与抛物线 y 相2同x，2
其对称轴与
y （ 相x同，1且)2顶点纵坐标
为6，求此抛物线的解析式。
2.把抛物线 yx2 bx向c上平移(pínɡ yí)2个单
位，再向左平移4个单位，得到抛物
y x 线
2，求b、c的值．
第十九页，共二十三页。
n 例3.已知二次函数y=(x+m)2+k的图象如图。 n ①根据(gēnjù)图中提供的信息求二次函数的关系
(1)怎样平移(pínɡ yí)抛物线y=2x2可以得到 抛物线y=2(x-1)2+1? y=2x2 上 1 y=2x2+1 右 1 y=2(x-1)2+1 y=2x2 右 1 y=2(x-1)2 上 1 y=2(x-1)2+1
第八页，共二十三页。
y
y=2x2
5
4.
3.
2.
1.
y=2(x-1)2+1
第二页，共二十三页。
回味无穷(huí wèi wú qióng)
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=ax2 y=ax2+k
y=a(x-h)2
y轴 y轴
直线
x=h (zhíxiàn)
(0,0) (0,k) (h,0)
当x<0时,? 当x>0时,? 当x<0时,? 当x>0时,?
当x<h时,?
当x>h时,?
5.2二次函数(hánshù)的图象与性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象(tú 和性 xiànɡ) 质
第一页，共二十三页。
1.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向 下平移(pínɡ yí)|k|得到. (k>0,向上平移(pínɡ yí);k<0向下平移.) 2.抛物线y=a(x－h)2可以(kěyǐ)由抛物线y=ax2 向左或向右平移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.)
y=2(x-1)2
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
-1
第九页，共二十三页。
y y=2x2 +1
y=2x2
5
4.
3.
2.
1.
y=2(x-1)2+1
-3. Hale Waihona Puke 2 -1 0.1. 2. 3.
x
-1
第十页，共二十三页。
返回(fǎnhuí)
我思考 ，我进步 (sīkǎo)
在同一坐标系中作出二次函数(hánshù)
y=－2(x+2)2－3如何(rúhé)平移得到y=－2x2呢？
第二十二页，共二十三页。
内容 总结 (nèiróng)
5.2二次函数的图象与性质。(0,0)。y=－5x2 －2。二次函数y=3(x-1)2+2的。1个单位,再沿直线x=1 向。y=-3(x-1)2的图象。如果K>0,h>0。当x<h时,y随着x的增大而减小.。当x<h时,y随着x的增大而增大.。
第三页，共二十三页。
温故知新(wēn gù zhī xīn)
抛物线
y =2x2
y=－5x2 －2 y =－3(x+1)2 y =4(x－8)2
开口方向 对称轴 顶点坐标
第四页，共二十三页。
在同一(tóngyī)坐标系中作出函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象. 完成下表,并比较(bǐjiào)3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?
当x=h时,y最大值为k.
试一试
1、将抛物线y=3x2向左平移2个单位(dānwèi),再向
下平移5个单位所得抛物线为
。
2、将抛物线y=－4(x－3)2向上(xiàngshàng)平移1个单
位再向右平移2个单位所得抛物线为
。
3、抛物线 y 2 x 2向 平移 个单位得
到抛物线 y 2( x 2)，2 再向 平移 个 单位得到抛物线 y 2( x 2) 2 3 。
值:且最小值=2.
顶点(dǐngdiǎn)是(1,2).
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二 次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
第六页，共二十三页。
交流 ： (jiāoliú) 怎样平移抛物线y=2x2可以(kěyǐ)得到抛 物线y=2(x-1)2+1?
第七页，共二十三页。
思考(sīkǎo)
．
（2）二次函数 y2(x1)021的8图像开
口向 ，对称轴是
，顶点 ，
当x= 时，函数有最 值为 ，
当x 时，y随的增大而增大。
抛物线与x轴的交点为
，
与y轴的交点 。
第十八页，共二十三页。
例题 精讲 (lìtí)
例2一条抛物线的形状与抛物线 y 2( x 2) 2 相同，其顶点坐标是（－1，3），写出这个 抛物线的函数解析式。
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性 质.
第十二页，共二十三页。
思考 ： (sīkǎo)
怎样平移(pínɡ yí)抛物线y=ax2可以得到抛 物线y=a(x+h)2+k?
第十三页，共二十三页。
如果(rúguǒ)K>0,h>0
y=ax2 上 k y=ax2+k 右 h y=a(x-h)2+k
y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和
y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和 y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么(shén me)关系?它们 是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点 坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值 的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的 增大而减小?
No 当x>h时, y随着x的增大而减小.。例1、说出下列函数图象的开口方向(fāngxiàng)、对称轴、顶点坐标
及最值。例3.已知二次函数y=(x+m)2+k的图象如图。试一试
Image
12/11/2021
第二十三页，共二十三页。
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
当x<h时,y随着x的增大而减小. 当x>h时 y随着x的增大而增大.
当x=h时,y最小值为k. 第十六页，共二十三页。
由h和k的符号确定
向下
当x<h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时, y随着x的增大而减小.
当x=h时,y最大值为k.
例题 精讲 (lìtí)
例1、说出下列函数(hánshù)图象的开口方向、对称
最值
y=a(x-h)2+k(a>0) （h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
当x<h时,y随着x的增大而减小. 当x>h时 y随着x的增大而增大.
当x=h时,y最小值为k.
第二十一页，共二十三页。
y=a(x-h)2+k(a<0) （h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
向下
当x<h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时, y随着x的增大而减小.
y=ax2 右 h y=a(x-h)2 上 k y=a(x-h)2+k
第十四页，共二十三页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
n 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条 抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点 (dǐngdiǎn)坐标与a,h,k的值有关.
注: y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式称二次函数(hánshù)的顶点式
第十五页，共二十三页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点(dǐngdiǎn)坐标与对称轴 ２.位置(wèi zhi)与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线
顶点坐标 对称轴
位置
开口方向 增减性 最值
y=a(x-h)2+k(a>0) （h，k）
直线x=h
y=a(x-h)2+k(a<0) （h，k）
y 3x2
y3x122
y3x12
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
X=1
=3x2先沿着(yán zhe)x轴向右平移对称轴仍是平行于y轴的直 1个单位,再沿直线x=1向 线(x=1);增减(zēnɡ jiǎn)性与y=3x2类似.
上平移2个单位后得到的.
开口向上,当 X=1时有最小
x
-4 -3 -2 -1 0
y 3x2
27 12 3 0
y 3x 12
27 12 3
y 3x 12 2
29 14 5
1234 3 12 27 0 3 12 27 2 5 14 29
第五页，共二十三页。
二次函数y=3(x-1)2+2的图 象和抛物y=3x²,y=3(x-1)2有什 么关系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?