2012年二次函数综合题(适用于河北省)

二次函数综合题（适用于河北省）
1．（2011•营口）如图（1），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c 与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．
（图（2）、图（3）供画图探究）
考点：二次函数综合题；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的判定；相似三角形的判定。

专题：压轴题。

分析：（1）把B、C的坐标代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出C、P的坐标，求出PC的值，PC是腰时，有3个点，PC是底时，有1个点，根据PC的值求出即可；（3）连接BP，根据相似得出比例式=和=，代入求出BQ即可；
（4）连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，﹣x+3），点E（x，x2﹣4x+3），推出EF=﹣x2+3x，根据S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF•OB代入求出即可．
解答：解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，﹣1），
∴满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，2﹣1），M3（2，），M4（2，﹣2﹣1）；
（3）由（1），得A（1，0），
连接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∴当=时，△ABC∽△PBQ，
∴BQ=3．
∴Q1（0，0），
∴当=时，△ABC∽△QBP，
∴BQ=．
∴Q′（，0）．
（4）当0＜x＜3时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，﹣x+3），点E（x，x2﹣4x+3），
∴EF=﹣x2+3x，
∴S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF•OB，
=﹣x2+x，
=﹣（x﹣）2+，
∵a=﹣＜0，
∴当x=时，S△CBE有最大值，
∴y=x2﹣4x+3=﹣，
∴E（，﹣）．
点评：本题综合考查了二次函数的综合，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识点的应用，此题难度偏大，对学生提出较高的要求，综合性比较强．
2．（2011•仙桃天门潜江江汉油田）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a=﹣1，b=﹣2，顶点C的坐标为（﹣1，4）；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．
考点：二次函数综合题。

分析：（1）将A（﹣3，0）、B（1，0），代入y=ax2+bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；
（2）首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
（3）首先求出直线CM的解析式为y=k1x+b1，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．
解答：解：（1）a=﹣1，b=﹣2，顶点C的坐标为（﹣1，4）；
（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．
由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，
∴△CED∽△DOA ，∴．
设D（0，c），则．变形得c2﹣4c+3=0，解之得c1=3，c2=1．
综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），
使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．
延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM2=CM2．
设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2，∴m=2，即M（2，0）．
设直线CM的解析式为y=k1x+b1，
则，解之得，．
∴直线CM 的解析式．
联立，解之得或（舍去）．
∴．
②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．
由△CFA∽△CAH 得，
由△FNA∽△AHC 得．
∴AN=2，FN=1，点F坐标为（﹣5，1）．
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设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，
解之得．
∴直线CF的解析式．
联立，解之得或（舍去）．
∴．
∴满足条件的点P坐标为或．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．
3．（2011•威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，﹣3）．点C 是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=﹣x+m过点C，交y轴于D点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
考点：二次函数综合题。

分析：（1）把点E，A、B的坐标代入函数表达式，即可求出a、b、c的值；
（2）根据C点的坐标求出直线CD的解析式，然后结合图形设出K点的坐标（t，0），表达出H点和G点的坐标，列出HG关于t的表达式，根据二次函数的性质求出最大值；
（3）需要讨论解决，①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，当点N在点M的左侧时，MN=3﹣n；当点N在点M的右侧时，MN=n﹣3，然后根据已知条件在求n的坐标就容易了
②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线时，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M 与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（﹣1，0）
过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，结合已知条件再求n的坐标就容易了
解答：解：（1）设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣1）（x+3）
∵抛物线交y轴于点E（0，﹣3），将该点坐标代入上式，得a=1
∴所求函数表达式为y=（x﹣1）（x+3），
即y=x2+2x﹣3；
（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（﹣3，0），点B坐标（1，0），
∴点C坐标（5，0），
∴将点C坐标代入y=﹣x+m，得m=5，
∴直线CD的函数表达式为y=﹣x+5，
设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，﹣t+5），G点的坐标为（t，t2+2t﹣3），
∵点K为线段AB上一动点，
∴﹣3≤t≤1，
∴HG=（﹣t+5）﹣（t2+2t﹣3）=﹣t2﹣3t+8=﹣（t+）2+，
∵﹣3＜﹣＜1，
∴当t=﹣时，线段HG 的长度有最大值；
（3）∵点F是线段BC的中点，点B（1，0），点C（5，0），
∴点F的坐标为（3，0），
∵直线l过点F且与y轴平行，
∴直线l的函数表达式为x=3，
∵点M在直线l上，点N在抛物线上，
∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n2+2n﹣3），
∵点A（﹣3，0），点C（5，0），
∴AC=8，
分情况讨论：
①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8．
当点N在点M的左侧时，MN=3﹣n，
∴3﹣n=8，解得n=﹣5，
5
∴N点的坐标为（﹣5，12），
当点N在点M的右侧时，MN=n﹣3，
∴n﹣3=8，
解得n=11，
∴N点的坐标为（11，140），
②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M 与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（﹣1，0）
过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，
将x=﹣1代入y=x2+2x﹣3，得y=﹣4，
过点N，B作直线NB交直线l于点M，
在△BPN和△BFM中，
∠NBP=∠MBF，
BF=BP，
∠BPN=∠BFM=90°，
∴△BPN≌△BFM，
∴NB=MB，
∴四边形ANCM为平行四边形，
∴坐标（﹣1，﹣4）的点N符合条件，
∴当N的坐标为（﹣5，12），（11，140），（﹣1，﹣4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．
点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式函数图象交点的求法等知识点、平行四边形的判定和性质等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
4．（2011•潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题。

分析：（1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（﹣1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；
（2）由直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x2﹣2x﹣3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；
（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F 的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得；
②过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3），可得m2﹣2m﹣3=，即可求得点P的坐标，又由过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3），可得n2﹣2n﹣2=﹣，求得点P的坐标，则可得使△EFP
是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标．
解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），
∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），
∴，
解得：b=﹣2，c=﹣3；
（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t ﹣）2+，
∴当t=时，EF 的最大值为，
∴点E 的坐标为（，）；
（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．
可求出点F 的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF
=××（4﹣）+××（﹣1）=；
②如图：
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ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）
则有：m2﹣2m﹣3=，
解得：m1=，m2=，
∴P1（1﹣，），P2（1+，），
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）
则有：n2﹣2n﹣3=﹣，
解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），
∴P3（，﹣），
综上所述：所有点P的坐标：P1（1﹣，），P2（1+，），P3（，﹣）能使△EFP组成以EF为直角
边的直角三角形．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．
5．（2011•铜仁地区）如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（﹣2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M．已知点C的坐标是（﹣4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点．
（1）求此抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）在x轴上有一点P（t，0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍？若存在，求此时点Q的坐标．
考点：二次函数综合题。

分析：（1）由抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（﹣2，2），故设其解析式为y=ax2+1，则利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式，又由四边形OABC是平行四边形，则可求得点A与M的坐标；
（2）作QH⊥x轴，交x轴于点H，即可证得△PQH∽△CMO，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x与t 的关系式；
（3）设△ABQ的边AB上的高为h，可得S△BCM =BM•OM=2，则又由S△ABQ=2S△BCM =AB﹣h，即可求得点Q
的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（﹣2，2），
故设其解析式为y=ax2+1，
则有：2=（﹣2）2×a+1，
得a=，
∴此抛物线的解析式为：y=x2+1，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=4，AB∥OC，
又∵y轴是抛物线的对称轴，
∴点A与B是抛物线上关于y轴的对称点，
则MA=MB=2，
即点A的横坐标是2，
则其纵坐标
y=×22+1=2，
即点A（2，2），
故点M（0，2）．
（2）作QH⊥x轴，交x轴于点H．则∠QHP=∠MOC=90°，
∵PQ∥CM，
∴∠QPH=∠MCO，
∴△PQH∽△CMO，
∴，
即，
而
y=x2+1，
∴（x2+1），
∴t=﹣x2+x﹣2；
（3）设△ABQ的边AB上的高为h，∵S△BCM =BM•OM=2，
∴S△ABQ=2S△BCM =AB﹣h=4，
∴h=2，
∴点Q的纵坐标为4，代入
y=x2+1，
得x=±2，
∴存在符合条件的点Q，其坐标为（2，4），（﹣2，4）．
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点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积问题．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．
6．（2011•遂宁）如图：抛物线y=ax2﹣4ax+m与x 轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G，连接BG、CG、求△BCG的面积．
考点：二次函数综合题。

分析：（1）由抛物线y=ax2﹣4ax+m的对称轴公式x=﹣，即可求得其对称轴，又由点A、B关于对称轴对称，即
可求得点B的坐标；
（2）由点A（1，0），B（3，0），求得AB的值，又由CP⊥对称轴，可得CP∥AB，易证得四边形ABPC是平行四边形，然后设点C（0，x）（x＜0），证得△BPD∽△BCP，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值，又由二次函数过点A与C，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（3）首先由解析式，即可求得抛物线顶点G坐标，然后设CG的解析式是：y=kx+b，利用待定系数法即可求得CG 的解析式，则可求得H的坐标，又由S△BCG=S△BHG+S△BHC，即可求得△BCG的面积．
解答：解：（1）对称轴是x=﹣=2，…（2分）
∵点A（1，0）且点A、B关于x=2对称，
∴点B（3，0）；…（4分）
（2）点A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵CP⊥对称轴于P，
∴CP∥AB，
∵对称轴是x=2，
∴AB∥CP且AB=CP，
∴四边形ABPC是平行四边形，…（5分）设点C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC=，
∴BP=，
在Rt△BOC中，BC=，
∵，
∴
BD=，
∵∠BPD=∠PCB 且∠PBD=∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，…（7分）
∴BP2=BD•BC，
即，
∴x1=，x2=﹣，
∵点C在y轴的负半轴上，
∴点C（0，），…（8分）
∴y=ax2﹣4ax ﹣，
∵过点（1，0），
∴a﹣4a ﹣=0，
解得：a=﹣．
∴解析式是：y=﹣x2+x ﹣；…（9分）
（3）当x=2时，
y=，
顶点坐标G是（2，），…（10分）设CG的解析式是：y=kx+b，
∵过点（0，）（2，），
∴，
∴
y=x ﹣，…（11分）
设CG与x轴的交点为H，
令y=0，则x ﹣=0，
得x=，
即H （，0），…（11分）
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∴BH=3﹣=，
∴S△BCG=S△BHG+S△BHC===…（13分）
点评：此题考查了二次函数对称轴的求解方法，二次函数的对称性，待定系数法求函数的解析式，三角形面积的求解方法以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．
7．（2011•十堰）如图，己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），己知点H（0，﹣1）．问在抛物线上是否存在点G （点G在y轴的左侧），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（﹣2，0），F是OC的中点，连接DF，P为线段BD上的一点，若∠EPF=∠BDF，求线段PE的长．
考点：二次函数综合题。

分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）分别从GH∥AC与GH与AC不平行去分析，注意先求得直线GH的解析式，根据交点问题即可求得答案，小心不要漏解；
（3）利用待定系数法求得直线DF的解析式，即可证得△PBE∽△FDP，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
解答：解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；
（2）解法一：
假设在抛物线上存在点G，设G（m，n），显然，当n=﹣3时，△AGH不存在．①当n＞﹣3时，
可得S△GHA=﹣++，S△GHC=﹣m，
∵S△GHC=S△GHA，
∴m+n+1=0，
由，
解得：或，
∵点G在y轴的左侧，
∴G （﹣，）；
②当﹣4≤n＜﹣3时，
可得S△GHA=﹣﹣﹣，S△GHC=﹣m，
∵S△GHC=S△GHA，
∴3m﹣n﹣1=0，
由，
解得：或，
∵点G在y轴的左侧，
∴G（﹣1，﹣4）．
∴存在点G （﹣，）或G（﹣1，﹣4）．
解法二：
①如图①，当GH∥AC时，点A，点C到GH的距离相等，
∴S△GHC=S△GHA，
可得AC的解析式为y=3x﹣3，
∵GH∥AC，得GH的解析式为y=3x﹣1，
∴G（﹣1，﹣4）；
②如图②，当GH与AC不平行时，
∵点A，C到直线GH的距离相等，
∴直线GH过线段AC的中点M （，﹣）．
∴直线GH的解析式为y=﹣x﹣1，
∴G （﹣，），
∴存在点G （﹣，）或G（﹣1，﹣4）．
（3）解法一：
如图③，∵E（﹣2，0），
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∴D的横坐标为﹣2，
∵点D在抛物线上，
∴D（﹣2，﹣3），
∵F是OC中点，
∴F（0，﹣），
∴直线DF的解析式为：y=x﹣，
则它与x轴交于点Q（2，0），
则QB=QD，得∠QBD=∠QDB，∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°，∵∠EPF=∠PDF，
∴∠BPE=∠DFP，
∴△PBE∽△FDP，
∴，
得：PB•DP=，
∵PB+DP=BD=，
∴PB=，
即P是BD的中点，
连接DE，
∴在Rt△DBE中，PE=BD=．
解法二：
可知四边形ABDC为等腰梯形，取BD的中点P′，
P′F=（AB+CD）=，
P′F∥CD∥AB，
连接EF，可知EF=DF=，
即EF=FP′=FD，
即△FEP′相似△FP′D，
即∠EP′F=∠FP′D=∠FDP′，
即∠EP′F和∠EPF重合，
即P和P′重合，
P为BC中点，
PE=BD=（△BDE为直角三角形）．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与二次函数的交点问题以及三角形面积问题的求解等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用
8．（2011•沈阳）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．
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考点：二次函数综合题。

分析：已知了C点的坐标，即知道了OC的长，可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标．已知了△AOC和△BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比．由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴
∴b=﹣2
∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），
∴c=﹣3，
∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0．
∴x1=﹣1，x2=3．
∵A点在B点左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则，
∴
∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3；
（3）①∵AB=4，PQ=AB，
∴PQ=3
∵PQ⊥y轴
∴PQ∥x轴，则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为，
∴P（，）
∴F（0，），
∴FC=3﹣OF=3﹣=
∵PQ垂直平分CE于点F，
∴
CE=2FC=
∵点D在直线BC上，
∴当x=1时，y=﹣2，则D（1，﹣2），
过点D作DG⊥CE于点G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE﹣CG=﹣1=．
在Rt△EGD中，tan∠CED=．
②P1（1﹣，﹣2），P2（1﹣，﹣）．
设OE=a，则GE=2﹣a，
当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC﹣OG）•（2﹣a），
∴1=1×（2﹣a），
∴a=1，
∴CE=2，
∴OF=OE+EF=2
∴F、P的纵坐标为﹣2，
把y=﹣2，代入抛物线的函数表达式为y=x2﹣2x﹣3得：x=1+或1﹣
∵点P在第三象限．
∴P1（1﹣，﹣2），
当CD为斜边时，DE⊥CE，
∴OE=2，CE=1，
∴OF=2.5，
∴P和F 的纵坐标为：﹣，
把y=﹣，代入抛物线的函数表达式为y=x2﹣2x﹣3得：x=1﹣，或1+，
∵点P在第三象限．
∴P2（1﹣，﹣）．
综上所述：满足条件为P1（1﹣，﹣2），P2（1﹣，﹣）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
9．（2011•深圳）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（l，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD 于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。

分析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+4，然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；（2）作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，四边形DFHG的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点G、H的坐标；
（3）首先设M的坐标为（a，0），求得BD与DM的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得DM2=BD•MN，则可得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+4，
∵点B的坐标为（3，0）．
∴4a+4=0，
∴a=﹣1，
∴此抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）存在．
抛物线的对称轴方程为：x=1，
∵点E的横坐标为2，
∴y=﹣4+4+3=3，
∴点E（2，3），
∴设直线AE的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为：y=x+1，
∴点F（0，1），
∵D（0，3），
∴D与E关于x=1对称，
作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），
连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，
四边形DFHG的周长即为最小，
设直线EF′的解析式为：y=mx+n，
∴，
解得：，
∴直线EF′的解析式为：y=2x﹣1，
∴当y=0时，2x﹣1=0，得x=，
即H （，0），
当x=1时，y=1，
∴G（1，1）；
∴DF=2，FH=GH==，DG==，
∴使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+++=2+2；
（3）存在．
∵BD==3，
设M（c，0），
∵MN∥BD，
∴，
即=，
∴MN=（1+c），DM=，
要使△DNM∽△BMD，
需，即DM2=BD•MN，
可得：9+c2=3×（1+c），
解得：c=或c=3（舍去）．
当x=时，y=﹣（﹣1）2+4=．
∴存在，点T 的坐标为（，）．
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点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
10．（2011•绍兴）抛物线y=﹣（x﹣1）2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．
（1）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；
（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E 在PQ上．求直线BQ的函数解析式；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．
考点：二次函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1）把x=0代入抛物线求出y的值确定点A的坐标，求出抛物线的对称轴得到OC的长．
（2）①由△CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到∠DQO=45°，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式．
②分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标．
解答：解：（1）把x=0代入抛物线得：y=，
∴点A（0，）．
抛物线的对称轴为x=1，
∴OC=1．
（2）①如图：
B（1，3）
分别过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于点N，
∵PQ∥BC，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，
∴DMQN是矩形．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DC=DE，∠CDM=∠EDN
∴△CDM≌△EDN
∴DM=DN，
∴DMQN是正方形，
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q（4，0）
设BQ的解析式为：y=kx+b，
把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=﹣1，b=4．所以直线BQ的解析式为：y=﹣x+4．
②当点P在对称轴右侧，如图：
过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于N，
∵∠CDE=90°，∴∠CDM=∠EDN
∴△CDM∽△EDN
当∠DCE=30°，=
=
又DN=MQ
∴=
∴=，BC=3，CQ=
∴Q（1+，0）
∴P1（1+，）
当∠DCE=60°，点P2（1+3，﹣）．
当点P在对称轴的左边时，由对称性知：
P3（1﹣，），P4（1﹣3，﹣）
综上所述：P1（1+，），P2（1+3，﹣），P3（1﹣，），P4（1﹣3，﹣）．
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点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用抛物线与y轴的交点及对称轴求出点A的坐标和OC的长．（2）①利用三角形全等确定点Q的坐标，求出BQ的解析式．②根据三角形相似求出点Q的坐标，然后确定点P的坐标．
11．（2011•衢州）已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；
（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．
考点：二次函数综合题。

分析：（1）利用△BOC∽△COA，得出C点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）可求得直线l1的解析式为，直线l2的解析式为，进而得出D，E，F点的坐标即可
得出，三条线段数量关系；
（3）利用等边三角形的判定方法得出△ABK为正三角形，以及易知△KDC为等腰三角形，进而得出△MCK为等腰三角形E点坐标．
解答：解：（1）解法1：∵l1⊥l2，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
又∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCO=∠CAO，又∠COA=∠AOC=90°
∴△BOC∽△COA，
∴，
即，
∴，
∴点C的坐标是（0，），
由题意，可设抛物线的函数解析式为，
把A（1，0），B（﹣3，0）的坐标分别代入，
得，
解这个方程组，得，
∴抛物线的函数解析式为．
解法2：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，
又∵OB=3，OA=1，AB=4，
∴，
∴点C的坐标是（0，），
由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，）代入
函数解析式得，
所以，抛物线的函数解析式为=；
（2）解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．
理由如下：
设直线l1的解析式为y=kx+b，把A（1，0），C（0，），代入解析式，
解得k=﹣，b=，
所以直线l1的解析式为，
同理可得直线l2的解析式为，
抛物线的对称轴为直线x=1，
由此可求得点K的坐标为（﹣1，），
点D的坐标为（﹣1，），点E的坐标为（﹣1，），点F的坐标为（﹣1，0），
∴KD=，DE=，
EF=，
∴KD=DE=EF．
解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF，
理由如下：
由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，
则可得，，
由顶点D坐标（﹣1，
）得，
∴
KD=DE=EF=；
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（3）当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．
理由如下：
（i）连接BK，交抛物线于点G，
∵F（﹣1，0），直线l1的解析式为，
∴K（﹣1，2），
∵B（﹣3，0），
∴直线BK的解析式为：y=x+3①，
∵抛物线的函数解析式为y═②；
①②联立即可求出点G的坐标为（﹣2，），
又∵点C的坐标为（0，），则GC∥AB，
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，
∴△CGK为正三角形
∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（﹣2，），
（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形，
∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（﹣1，），
（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，
但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，
综上所述，当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点，同学们应重点掌握．
12．（2011•锦州）如图，抛物线y=ax2+bx+（a≠0）经过A（﹣3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为ts，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N．
①当t为何值时，线段MN最长；
②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由．
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．
考点：二次函数综合题；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；等腰梯形的判定；相似三角形的判定与性质。

分析：（1）利用待定系数法直接将A（﹣3，0）、C（5，0）两点代入抛物线y=ax2+bx+（a≠0）就可以求出抛物
线的解析式．
（2）①延长NM交AC于E，根据抛物线的解析式就可以求出顶点坐标D，利用条件得出三角形相似，求出MP，再根据矩形的性质求出点E，点N的坐标，把MN的长度表示出来，在转化为顶点式就可以求出结论了．
②根据等腰梯形的性质连接PD，只要OD=CE时，就可以求出t值了．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），C（5，0）
∴
解得．
∴抛物线的函数关系式为y=
﹣x2+x+．
（2）①延长NM交AC于E，
∵B为抛物线y=﹣x2+x+的顶点，
∴B（1，8）．（5分）
∴BD=8，OD=1．
∵C（5，0），
∴CD=4．
∵PM⊥BD，BD⊥AC，
∴PM∥AC．
∴∠BPM=∠BDC=90°，∠BMP=∠BCD．
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∴△BPM∽△BDC．
∴=．
根据题意可得BP=t，
∴=．
∴PM=t．
∵MN∥BD，PM∥AC，∠BDC=90°，
∴四边形PMED为矩形．
∴DE=PM=t．
∴OE=OD+DE=1+t．
∴E（1+t，0）．
∵点N在抛物线上，横坐标为1+t，
∴点N的纵坐标为﹣（1+t）2+（1+t）+．∴NE=﹣（1+t）2+（1+t）+
=﹣t2+8．
∵PB=t，PD=ME，
∴EM=8﹣t．
∴MN=NE﹣EM=﹣t2+8﹣（8﹣t）
=﹣（t﹣4）2+2．
当t=4时，MN最大=2．
②存在符合条件的t值．
连接OP，如图（2）．
若四边形OPMC是等腰梯形，只需OD=EC．
∵OD=1，DE=PM=t，
∴EC=5﹣（t+1）．
∴5﹣（t+1）=1．
解得t=6．
∴当t=6时，四边形OPMC是等腰梯形．
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点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的最值，待定系数法求函数的解析式，等腰梯形的判定及性质，相似三角形的判定及性质．
13．（2006•河南）二次函数
y=x 2
的图象如图所示，过y 轴上一点M （0，2）的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．
（1）当点A 的横坐标为﹣2时，求点B 的坐标；
（2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使∠APB 为直角？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点A 在抛物线上运动时（点A 与点O 不重合），求AC •BD 的值．
考点：二次函数综合题。

专题：压轴题。

分析：（1）已知二次函数解析式，及A 点横坐标﹣2，可求A 点纵坐标，故MC=2﹣=，设点B 的坐标为（x
，x 2），由Rt △BDM ∽Rt △ACM ，得相似比，可求x 的值，确定B 点坐标；
（2）若∠APB=90°，利用互余关系可得出△AEP ∽△PFB ，设EP=a ，则PF=10﹣a ，而AE=，BF=8，利用相似比可求A ，可得P 的坐标；
（3）依题意设A （m ，m 2），B （n ，n 2），且m ＜0，n ＞0，由Rt △BDM ∽Rt △ACM ，类似（1），用含m ，n 的式子表示相关线段的长，利用相似比得出m ，n 的关系式，此时AC •BD=﹣mn ．
解答：解：（1）根据题意，设点B 的坐标为（x ，x 2），其中x ＞0．
∵点A 的横坐标为﹣2，
∴A （﹣2，）．（2分）
∵AC ⊥y 轴，BD ⊥y 轴，M （0，2），
∴AC ∥BD ，MC=，MD=x 2
﹣2．。