必修四第三章三角恒等变换测试

必修四第三章三角恒等变换测试
（本试卷满分150分，考试时间120分钟） 班级————————姓名————————
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为( ) A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．32 2．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( )
A ．22
B ．32
C ． 2
D ．2
3．已知角α，β均为锐角，且cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β＝( ) A ．13 B ．913 C ．139
D ．3
4．设a ＝2
2(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝sin37°sin67°＋sin53°sin23°，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c
D ．b <a <c
5．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝3
5，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝( ) A ．2425
B ．－2425
C ．－1225
D ．1225
6．在△ABC 中，cos A ＝55，cos B ＝310
10，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形
D ．等边三角形
7．若函数g (x )＝a sin x cos x (a >0)的最大值为1
2，则函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝0 B ．x ＝－3π
4 C ．x ＝－π4
D ．x ＝－5π
4
8．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值是( ) A ．－5π
6 B ．－2π
3 C ．－7π12
D ．－3π4
9.3cos10°－1sin170°＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2
D ．－4
10．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝1
3，则log 5⎝ ⎛⎭
⎪⎫tan αtan β2等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝
⎛⎭
⎪⎫
π4－B 2＋
cos2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m <1 B ．m >－3 C ．m <3 D ．m >1
12．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为( ) A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin α＝5
5，则tan2α＝________.
14．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则sin 2α2＋sin4αcos2α1＋cos4α
的值为________． 15．已知A ，B ，C 皆为锐角，且tan A ＝1，tan B ＝2，tan C ＝3，则A ＋B ＋C 的值为________．
16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：
①y ＝f (x )的最大值为2；
②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；
③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π24，13π24上单调递减；
④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π
24个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知cos θ＝12
13，θ∈(π，2π)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6以及tan ⎝
⎛
⎭
⎪⎫θ＋π4的值．
18．(本小题满分12分)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2.
(1)若|a |＝|b |，求x 的值；
(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．
19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x .
(1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3的值；
(2)求f (x )的最大值和最小值．
20．(本小题满分12分)如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y >x >0.
(1)将十字形的面积表示成θ的函数； (2)求十字形的最大面积．
21．(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π
3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，
求g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6的值．
22．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1.
(1)求角A ；
(2)若1＋sin2B
cos 2B －sin 2B
＝－3，求tan C ．
参考答案
1、答案 C 解析
sin45°cos15°＋cos225°sin15°＝sin45°cos15°－
cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝1
2.
2、答案 C
解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，
∴原式＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30°)＝2sin(15°＋30°)＝ 2.
3、答案 D
解析 由于α，β均为锐角，cos α＝35，则sin α＝45，tan α＝4
3.又tan(α－β)＝－1
3，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝43＋1
31－43×
13＝3.故选D ．
4、答案 A
解析 a ＝cos45°sin17°＋sin45°cos17°＝sin62°， b ＝cos26°＝sin64°，
c ＝sin37°cos23°＋cos37°sin23°＝sin60°， 故c <a <b ． 5、答案 B
解析 因为sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)·cos α－cos(α－β)sin α＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sin β＝35，所以sin β＝－35.又β是第三象限角，所以cos β＝－4
5，所以sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－
2sin βcos β＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45＝－2425. 6、答案 B
解析 因为cos A ＝55，所以sin A ＝255.同理，sin B ＝10
10.因为cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－55×31010＋25
5×1010＝－50
50<0，所以C 为钝角．
7、答案 B
解析 g (x )＝a 2sin2x (a >0)的最大值为1
2，所以a ＝1， 故f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4， 令x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π
4＋k π，k ∈Z .故选B ． 8、答案 D
解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝12－171－12×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－17＝1
3，∴tan(2α－β)＝
tan[(α－β)＋α]＝13＋12
1－13×12
＝1.
又∵β∈(0，π)，tan β＝－1
7， ∴β∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π2，π，又α∈⎝
⎛
⎭
⎪⎫0，π4，
∴－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π
4. 9、答案 D
解析 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1
sin10°＝
3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin (10°－30°)sin10°cos10°＝2sin (－20°)sin10°cos10°
＝－2sin20°
12sin20°=-4 10、答案 C
解析 由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝1
3得 ⎩⎪⎨⎪⎧
sin αcos β＋cos αsin β＝12，
sin αcos β－cos αsin β＝13，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，∴tan α
tan β＝5，
∴log
5⎝ ⎛⎭
⎪⎫tan αtan β2
＝log 552＝4. 11、答案 D
解析 f (B )＝4sin B cos 2⎝
⎛⎭
⎪⎫
π4－B 2＋cos2B
＝4sin B
1＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2－B 2
＋cos2B
＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.
∵f (B )－m <2恒成立，即m >2sin B －1恒成立． ∵0<B <π，∴0<sin B ≤1. ∴－1<2sin B －1≤1，故m >1. 12、答案 B
解析 依题意得点M ，N 的坐标分别为(a ，sin a )，(a ，cos a )，
∴|MN |＝|sin a －cos a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2⎝
⎛⎭⎪⎫sin a ·22－cos a ·22＝⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π4≤2(a ∈R )，
∴|MN |max ＝ 2. 13、答案 －4
3
解析 因为sin α＝5
5，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－
1－sin 2
α＝－25
5.
所以tan α＝sin αcos α＝－1
2，
所以tan2α＝2tan α
1－tan 2
α＝－11－
14
＝－4
3. 14、答案 －3
50
解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－4
5，
∴sin 2α2＋sin4αcos2α
1＋cos4α＝1－cos α2＋2sin2αcos 22α2cos 22α
＝1－cos α2＋2sin αcos α＝－350. 15、答案 π
解析 因为tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝2＋3
1－2×3＝－1
又因为0<B ，C <π
2，所以0<B ＋C <π. 于是B ＋C ＝3π
4.
因为tan A ＝1且A 是锐角，所以A ＝π
4. 故A ＋B ＋C ＝π. 16、答案 ①②③
解析 f (x )＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x －π3＋cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6
＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π4＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋5π12
∴f (x )max ＝2，T ＝2π
2＝π.
x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24时，2x ＋5π12∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，3π2，函数单调递减．y ＝2cos2x 向左平移π
24个单位后y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －π12＝2sin ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －π12＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋7π12与已知图象不
重合．故①②③正确．
17、解 因为cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，
所以sin θ＝－513，tan θ＝－512，
所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6＝－513×32－1213×12＝－53＋12
26，
tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋tan π41－tan θtan π4＝－512＋1
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－512×1＝717. 18、解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，
|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，
及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.
又x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12， 所以x ＝π6.
(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2时， sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值为1， 所以f (x )的最大值为32.
19、解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos 2π3＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin π32－4cos π3
＝－1＋34－2＝－94.
(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x
＝3cos 2
x －4cos x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－73，x ∈R . 因为cos x ∈[－1,1]，
所以当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；
当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.
20、解 (1)设S 为十字形面积，
则S ＝xy ＋x ·y －x 2×2＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4<θ<π2. (2)S ＝2sin θcos θ－cos 2
θ＝sin2θ－12cos2θ－12 ＝52×⎝ ⎛⎭
⎪⎫255sin2θ－55cos2θ－12 ＝52sin(2θ－φ)－12⎝
⎛⎭⎪⎫设φ为锐角且tan φ＝12， 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．
即当θ＝π4＋φ2时，十字形取得最大面积，
S max ＝52－12＝5－12.
21、解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2
＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )
＝3(1－cos2x )＋sin2x －1 ＝sin2x －3cos2x ＋3－1
＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，
所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭
⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不
变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1.
所以g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 22、解 (1)∵m ·n ＝1， ∴3sin A －cos A ＝1,2⎝
⎛⎭⎪⎫sin A ·32－cos A ·12＝1， sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6＝12， ∵0<A <π，－π6<A －π6<5π6，
∴A －π6＝π6.∴A ＝π3
(2)由题知1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B
＝－3， ∴(cos B ＋sin B )2
(cos B ＋sin B )(cos B －sin B )＝－3，
∴cos B ＋sin B cos B －sin B
＝－3， ∴1＋tan B 1－tan B
＝－3，∴tan B ＝2. ∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]
＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B
＝8＋5311.。