重庆市第一中学高三上学期考试——数学理数学理

重庆市第一中学
2018届高三上学期考试
数学（理）试题
满分150分。

注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：本题 12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1.已知全集=U R ，集合{}{}23,1或=≤-≥=≥A x x x B x x ，则（ ）
A. B. C. D.
2.各项均为正数的等比数列中，，则的值为（ ）
A.5
B.3
C.6
D.8
3.函数在区间内的零点个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
4.已知，则的值为（ ）
A. B . C. D ．
5.已知11232755,,log 577-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
a b c ，则、、的大小关系是（ ） A. B. C.
D. 6.函数的图象大致是（ ）
A B C D
7.已知平面向量，夹角为，且，，则与的夹角是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何。

”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等。

”（“钱”是古代的一种重量单位），则其中第二人分得的钱数是（ ）
A. B.1 C. D.
9.定义在上的函数，恒有成立，且，对任意的
，则成立的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
10.已知的内角所对的边分别为，若，，则角的度数为（ ）
A. B. C. D.
11.已知定义在R 上的函数满足，当时，
(1),[1,1]()(1,3]
⎧-∈-=∈t x x f x x ，则当时，方程的不等实根的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
12.已知为的内心，，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题4个小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数1)391ln()(2+-+=x x x f ，则_______。

14.设函数()cos (0,0)ωω=>>f x A x A 的部分图象如图所示，
其中为等腰直角三角形，，则 的解析式为______________。

15.若曲线的切线斜率恒为非负数，则实数的最小值是_______。

16.
函数1()sin (,)3ωωω=>∈f x x x x R ，若的任意一个对称中心的横坐标都 不属于区间，则的取值范围是_____________。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个
试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分） 已知向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222
x x x m n =-=，设函数。

（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围。

18.（12分）
已知公比为的等比数列的前6项和，且成等差数列。

（1）求；
（2）设是首项为2，公差为的等差数列，记前项和为，求的最大值。

19.（12分）
已知的内角A 、B 、C 所对的边分别为，满足。

（1）若，求角；
（2
）若cos sin +=a c b C C ，试判断的形状。

20.（12分） 已知点是椭圆()22
22:10+=>>x y C a b a b
上一点，分别为的左、右焦点，
12121260,∠=∆F F F DF F DF 的面积为。

（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点,点,记直线的斜率分别为,当最大时,求直线的方程。

21.（12分）
已知函数()2()=-∈x f x e ax a R 。

（1）若有三个极值点，求的取值范围；
（2）若对任意都恒成立的的最大值为，证明：。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计
分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线:sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩
x C y （为参数），直线。

（1）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小，并求出此最小值；
（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积。

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数。

（1）若不等式1
()21(0)2
f x m m +≥+>的解集为，求实数的值；
（2）若不等式()2232≤+++y y
a f x x 对任意的实数恒成立，求实数的最小值。

2017年重庆一中高2018级高三上期半期考试理科数学答案
一、选择题
1.A
2.C
3.B
4.C
5.C
6.B
7.A
8.C
9.B 10.B 11.C 12.D
二、填空题
13.2 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）211()cos cos 1cos 222222
x x x f x x x =-+=-+ 令222,22()26233
k x k k x k k Z πππππππππ-≤-≤+-≤≤+∈， 所以所求递增区间为2[2,2]()33
k k k Z ππππ-+∈。

（2）1()sin 62π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭f x x 在的值域为，所以实数的取值范围为。

18. 解：（1）成等差数列,∴，即，∴，
∴，解得，所以。

（2）由（1）可知是首项为2，公差为的等差数列，∴，
于是，则的最大值为7，此时。

19．解：（1）由余弦定理知：A bc a c b cos 2222=-+，∴2
3sin cos 23tan =⇒=A A A ， ∵，∴。

（2）cos sin a c b C C +=，由正弦定理有：sin sin sin cos sin +=A C B C B C ，
而，sin cos cos sin sin sin cos sin ∴++=B C B C C B C B C ，
即cos sin sin sin +=B C C B C ，而， 1
cos 1,sin 62π⎛⎫-=∴-= ⎪⎝⎭
B B B ，，， 又由（1）知，及，，从而，
因此为正三角形。

20.解：（1）易知，由1212012121sin 602∆∆=
===F DF F DF S S DF DF DF ，由余弦定理及椭圆定义有：
()()22220121212
1282cos603=28=+-=+--DF DF DF DF DF DF DF DF a 又，从而。

（2）解法一：①当直线的斜率为0时，则1233342424
⋅=
⨯=-+k k ； ②当直线的斜率不为0时，设，直线的方程为， 将1=+x my 代入，整理得()
222230++-=m y my ， 则12122223,22
+=-⋅=-++m y y y y m m ，又11221,1=+=+x my x my ，
所以，()()()()()()1212121212212121212339333443393---++--⋅=⋅==-----++y y y y y y y y k k x x my my m y y m y y
22222222239332534122234648129322⎛⎫--- ⎪+++++⎝⎭===+++⎛⎫--- ⎪++⎝⎭
m m m m m m m m m m m m m ， 令，则122324225⋅=+-+t k k t t ，
当即时，； 当时，122323225422542⋅=+=+-+⎛⎫+- ⎪⎝
⎭t k k t t t t ，或。

当且仅当，即时，取得最大值。

由①②得直线的方程为。

解法二：①当直线垂直于轴时，则123352241416-
+⋅=⨯=--k k ； ②当直线与轴不垂直时，设，直线的方程为，
将代入，整理得()
2222124240+-+-=k x k x k ， 则22121222
424,1212-+=⋅=++k k x x x x k k ，又()()11221,1=-=-y k x y k x ， 所以()()2222
12121212212121293333254416446+-++--++⋅=⋅==---+++k k k x x k x x y y k k k k x x x x x x k
， 令，由得，
所以当且仅当时最大，所以直线的方程为。

21.解：（1），定义域为， ()()()
()
()()222212()11-+----'==++x x x e ax x e ax x e ax a g x x x ，， 只需()20=--=x h x e ax a 应有两个既不等于0也不等于的根，，
①当时，，单增，最多只有一个实根，不满足；
②当时，0()0ln '=-=⇒=⇒=x x h x e a e a x a ，
当时，，单减；当时，，单增；
是的极小值，
而时，()2=--→+∞x h x e ax a ，时，()2=--→+∞x
h x e ax a ，
要有两根，只需，由0ln 00()20ln 20=--<⇒--<x a h x e ax a e a a a 1ln 0ln 10ln 1⇒--<⇒--<⇒>-⇒>a a a a a a e ，又由()1001202≠⇒-≠⇒≠h a a ， 反之，若且时，则，的两根中，一个大于，另一个小于。

在定义域中，连同，共有三个相异实根，且在三根的左右，正负异号，它们是的三个极值点。

综上，的取值范围为。

（2）()
32323()111≥-+⇔-≥-+⇔-≥-x x f x ax e ax ax e a x x 对恒成立， ①当时，均满足；
②对恒成立对恒成立，
记()()max 2323min
11(),0,1,,0,1μ⎛⎫--=∈==∈ ⎪--⎝⎭x x e e u x x a x x x x x ， 欲证23min 261265555
μ⎛⎫-<<⇐<< ⎪-⎝⎭x e x x ，
而)min 23min 111()8111248
⎛⎫-⎛⎫=<== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-x e u x u x x ，
只需证明
)
2613331089811 2.722552020400
<⇐<⇐⇐<=e ，显然成立。

下证：()()232323min
1155,0,1551,0,1⎛⎫-->⇐>∈⇐>-+∈ ⎪--⎝⎭x x x e e x e x x x x x x x ， 先证：()23111,0,126
>+++∈x e x x x x ， ()32111,0,162
⇐--->∈x e x x x x ， 令()3211(),0,162
=---∈x v x e x x x x ， 21()1,()1,()10,2''''''=---=--=->x x x v x e x x v x e x v x e 在上单增， ，在上单增，，在上单增，
，即证。

要证：()23
551,0,1>-+∈x e x x x ， 只需证()32
2323113191551,0,102662
+++≥-+∈⇐-+≥x x x x x x x x x ()()3222312760312760312760,0,1⇐-+≥⇐-+≥⇐-+≥∈x x x x x x x x x 而2
274316150∆=-⨯⨯=-<，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立。

22.解：（1）设点，则点到直线的距离为
|2sin()6|π
α--==d ， ∴当时，，此时。

（2）曲线化为普通方程为：，即，
直线的参数方程为1,2.2
x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），代入化简得：
，得，∴。

23.解：（1）由条件得得，所以。

（2）原不等式等价于y y a x x 2
23212+≤+--，而 4)32()12(3212=+--≤+--x x x x ，所以 则[]
4)24(2max =-≥y y a ， 当且仅当时取得。