一道填空题的探究之旅

一道填空题的探究之旅作者：闵骏祥
来源：《新高考·数学进阶》2019年第01期
也许是对数学情有独钟，自从我进高中以来，我从未放弃过遇到的任何一道难题.通法解不了的，多观察，用特殊的方法解.代数方法解不了的，就用图象来辅助求解.多做尝试，多转换思路，多变动审题视角.哪怕实在解不出，我也会将其记录下来，在日后的学习过程中将其攻克.好的数学思维绝不是短时间形成的，只有通过长期的思考和积累才能锻炼出来.如果不是天才，那么我们只有思考得比别人多，花的时间比别人长，才可能拥有比别人好的数学成绩.
下面我就通过学习过程中遇到的一道难题，在探究解决的过程中发现了一个特别的方法，
与同学们分享交流--下.
题目已知函数f（x）=|ax-1|（a>1）的图象为曲线C，0为坐标原点，若P为曲线C上的任意一点（点P不与原点0重合），曲线C上存在点Q使得OP⊥OQ，则实数a的取值集合是
★一、解题历程
分析一将y=ax（a>1）的图象向下平移1个单位长度得到y=ax-1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴对称翻折到上方得到f（x）的图象，取点Q，点P，使OP⊥OQ，如图1.由垂直得到两直线的斜率乘积等于一1，用点的坐标表示出斜率。

探索一
先讨论下点P，Q关于y轴的位置：
①点P，Q在y轴的同侧：
则kop与ko同号，乘积取不到负1，所以不成立.
②点P，Q在y轴的异侧：
不妨先设点P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1<0<x2），得到
由于x≠0，所以无法确认函数的单调性.
于是我便去寻求帮助，先是借助了网络，看了下网，上的解题过程，发现网上直接由①g （x）在{x|x≠0}上单调递减，②g（x|）=1/g（x2），得出a=e，我并不理解也不认可这一步过程.用几何画板画出g（x）=x/ex-1的图象后发现，对于任意g（x1）（x1<0）都有一个g
（x2）（x2>0）与之互为倒数，但仅凭这个函数图象并不能帮助我解决最初的难题.
看来我必须要回过头来，再好好想--想.
疑问：网上的答案a=e是正确解吗？如果正确，為什么会具有唯一性？这道题这么复杂，是不是可以简化呢？是不是有什么条件我没有利用到，没有看透呢？
分析二绝对值的存在使得函数的性质及其图象变得相当复杂，这一点很不利于我的分析思考，那如果将绝对值去掉可不可行呢？这样做又会有什么效果呢？虽然这种尝试有些盲目，但是化繁为简的数学思想是起到了一-定的引领作用的.我似乎抓住了什么，有了一点新的思路.赶紧试--试！
探索二之前的探索并非无功而返，P，Q-定是在y轴两侧取点，即P，Q在原点0的两侧.
不妨令P（x1，y1）在原点左侧，Q（x2，y2）在原点右侧，即x1<0<x2，由OP⊥OQ，得
我们想一下，对于脱去了绝对值的函数y=a°-1而言，P的位置发生了变化，不妨记之为P’，即将P（x1，y1）变为P’（x1，-y1），如图3，此时kop'·koe=1，因为我们假设了P在原点左侧，如果P在右侧，则Q的位置相应地变化为Q'（x2，-y2），最后类似得到kOP·kOQ1=1.
既然跟斜率、跟原点都有关系，我又试着在原点处作切线l1，记l1的斜率为k，k=f'（0）=lna.此时我脑海中灵光一现，联想到a=e，使我想到了Ine=1.瞬间接上了，斜率乘积等于1.
此刻我的内心无比激动，很显然，之前的努力并没有白费.由斜率想到切线，打通了我的思路.
我们先简化下原题：
[等价题]巳知函数y=ax-1（a>1）的图象为曲线C，0为坐标原点，若P为曲线C上的任意一点（点P不与原点O重合），曲线C上存在点Q使得kOP·kOQ=1，则实数a的取值集合是_______.
我们根据两点P，Q的相对位置分两种情况思考：
（1）点P在原点左侧，点Q在原点右侧，连结OP，OQ，如图4.
此时kOP与kOQ的乘积为1，过原点的切线斜率为Ina，仔细观察发现kOP<lna，kOQ>lna.
i）当a>e时，Ina>1，kop<lna，而koe>Ina>1，不妨取点P。

使kor。

∈（1，Ina），则若存在Qo，必有
所以当a≤e时，对于任意点P，都有一个与之对应的点Q使得kOPkOQ=1.
（2）点P在原点右侧，点Q在原点左侧，连结OP，OQ，如图5.
根据（1）（2）可得当且仅当a=e时，对于任意--点P（点P不与原点0重合），曲线C 上存在点Q使得kOPkOQ=1.
终于探究完了，看着上面的详细分析与解答，很难想象，这是由我自己独立完成的.我很自豪，也很开心。

二、推广拓展
看着这题目，我是越看越喜欢，就想着是否可以推广，我相信，我找到的这个方法具有一定的普适性.
推广一：改变a的范围.
当0<a<1时，先去绝对值，在原点处作该函数图象的切线得到k=f’（0）=-1，如图6，从而得到a=1/e.
推广二：从指数函数推广到对数函数.
推广三：从已知函数推广到含幂函数y=xa的函数
对于此类带绝对值的函数，以转折点为直角顶点，另外两点分别在两段曲线上的题目，都可以先去绝对值，再用作切线的方法处理.在解决这个问题的过程中，思考时的紧张，探索时的专注，解决问题后的成就感和推广之后的满足感，无--不使数学学习充满乐趣.。