高中总复习二轮数学精品课件 专题四 立体几何 第2讲 空间位置关系的判断与证明

3.定义法求空间角
求空间角的大小,一般是根据相关角(异面直线所成的角、直线与平面所成
的角、二面角的平面角)的定义,把空间角转化为平面角来求解.
π
归纳总结异面直线所成角的取值范围是 0, 2 ,直线与平面所成角的取值范
π
围是 0, ,二面角的取值范围是[0,π].
2
关键能力•学案突破
突破点一 空间线面位置关系的判断与证明
(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.
2.直线、平面垂直的判定与性质
(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒β⊥α.
(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
距离即点M到直线AB的距离,所以点M到直线AB的距离与它到点A1的距离
相等,由抛物线的定义,可知点M的轨迹是抛物线的一部分,所以D正确.故选
BCD.
本 课 结 束
直线D1B异面.故选A.
名师点析空间几何体中线面位置关系的判断方法
(1)明确空间几何体的结构特征,明确其中已有的平行、垂直关系.
(2)熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理及性
质定理,并能灵活运用.
对点练2
(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别是AA1,A1D1,CC1,BC的
ABB1A1,所以CP∥平面ABB1A1,与CP∩平面ABB1A1=P矛盾,所以A错误.对
于B,如图,连接AC,因为AB=4,BC=3,AB⊥BC,所以AC=5.因为P为AA1的
中点,AA1=BB1=8,所以 PA=4,所以 CP= 2 + 2 = 41.因为 BB1∥AA1,
所以∠CPA 为直线 CP 与
2
BP= 12 + 1 2 =
C1P2+BP2=B12 ,故 C1P⊥PB.则在 Rt△BPC1 中,
1
π
,于是∠PBC1=6,即直线
2
PB 与
π
AD1 所成的角为6.
[例 2—2]如图,已知 E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC 的中点,设 α 为
二面角 D1-AE-D 的平面角,则 sin α=(
成角的大小为(
A.30° B.45°
C.60°
D.90°
)
答案
π
(1) 3
(2) B
解析 (1)设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,圆锥的母线与其底面所成的角为
θ,由题意可知 πrl=2πr

,即

2
=
1
,所以
2
cos
1
θ= ,故
2
π
θ= .
3
(2)如图,在直角梯形OO1A1A中,∵B为OA的中
B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD
D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
答案 A
解析 如图,连接AD1,则AD1经过点M,且M为AD1的中点.
又N为BD1的中点,所以MN∥AB.
又MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.
则直线 PB 与 AD1 所成的角为(

A.2

B.3
)

C.4

D.6
答案 D
解析 如图,连接BC1,PC1.
由正方体的性质可得AD1∥BC1,故∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.
设正方体的棱长为 1,则 BC1= 2,C1P=
12
有
+
2
2
2
=6Βιβλιοθήκη ,可得21
sin∠PBC1=
1
=
2
.而
A.存在点M,使BM∥CP
5 41
B.直线 CP 与 BB1 所成角的正弦值为 41
C.存在点M(异于点P),使P,M,C,D1四点共面
D.若点M到面ABCD的距离与它到点A1的距离相等,则
点M的轨迹是抛物线的一部分
)
答案 BCD
解析 对于A,假设存在点M,使BM∥CP,因为BM⊂平面ABB1A1,CP⊄平面
的平面角.
(3)求:在三角形中,计算所作出的角,通常要用勾股定理、余弦定理等.
对点练3
(1)(2021·山东济南二模)已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍,则该圆
锥的母线与其底面所成的角的大小为
.
(2)如图,圆台OO1的上底面半径为O1A1=1,下底面半径为OA=2,母线长
AA1=2,过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C,则异面直线OO1与A1C所
中点,则下列结论正确的是(
A.A1C⊥MN
B.A1C∥平面MNPQ
C.A1C与PM相交
D.NC1与PM异面
)
答案 ACD
解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥AD1,因为CD⊥平面
AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,所以CD⊥AD1,所以AD1⊥平面A1CD,所以
A1C⊥AD1.因为M,N分别是AA1,A1D1的中点,所以AD1∥MN,所以A1C⊥MN,
为真命题.故选D.
名师点析判断与空间位置关系有关的命题真假的方法
(1)明确符号的含义,正确理解题意.
(2)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理及性
质定理进行判断.
(3)善于借助空间几何模型,如正方体、四面体等,从中观察线面位置关系.
(4)善于运用反证法,推出与题设、公理等相矛盾的命题,从而作出判断.
解析 对于①,-1 = -1 ,而△1 为定值,因为 P∈AD1,AD1∥平面
BDC1,所以点P到平面BDC1的距离等于点A到平面BDC1的距离,而点A到平
面BDC1的距离为定值,所以三棱锥D-BPC1的体积为定值,故①正确.对于②,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知B1C⊥平面ABC1D1,而C1P⊂平面ABC1D1,
命题角度1
有关线面位置关系的命题的真假判断
[例1-1]设α,β是空间两个不同平面,a,b,c是空间三条不同直线,下列命题为
真命题的是(
)
A.若α∥β,b∥α,则b∥β
B.若a与b相交,a∥α,b∥β,则α与β相交
C.若α⊥β,a∥α,则a⊥β
D.若α⊥β,α∩β=a,b⊂α,b⊥a,c⊥β,则b∥c
突破点三 立体几何中的动态问题
[例3]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,给出以下3
个结论:
①三棱锥D-BPC1的体积为定值;②异面直线C1P与CB1所成的角为定值;③
二面角P-BC1-D的大小为定值.其中正确结论有(
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
)
答案 D
所以A正确.在平面AA1C1C中,易知A1C与PM相交,又PM⊂平面MNPQ,所以
A1C与平面MNPQ相交,所以B不正确,C正确.因为M,N,P∈平面MNPQ,C1∉
平面MNPQ,所以NC1与PM异面,所以D正确.故选ACD.
突破点二 空间角的定义求法
[例 2—1](2021·全国乙,理 5)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 B1D1 的中点,
)
2
A.
3
2
B.
3
5
C.
3
2 2
D.
3
答案 C
解析 如图,设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,在平面 ABCD 内过点 D 作
DH⊥AE 于点 H,连接 D1H,DE,则∠D1HD 即是二面角 D1-AE-D 的平面
角,AE=
D1H=
22
+
6
,所以
5
1
1
S△ADE= ×2×2= ·AE·
答案 D
解析 对于A选项,若α∥β,b∥α,则b∥β或b⊂β,故A中命题为假命题.
对于B选项,若直线a与b相交,a∥α,b∥β,则α与β相交或平行,故B中命题为假
命题.
对于C选项,若α⊥β,a∥α,则a与β的位置关系不确定,故C中命题为假命题.
对于D选项,若α⊥β,α∩β=a,b⊂α,b⊥a,则b⊥β,又c⊥β,所以b∥c,故D中命题
点,OA=2,∴O1A1=OB=AB=1.连接A1B,易知四边形
OO1A1B为矩形,∴OO1∥A1B,∴∠BA1C为异面直线
OO1与A1C所成的角.
在Rt△AA1B中,AA1=2,AB=1,
∴A1B= 3.连接 OC,在 Rt△OBC 中,由 OB=1,OC=2,得 BC= 3.在 Rt△A1BC
中,∵BC=A1B,∴∠BA1C=45°.故选 B.
角的取值范围,判断位置关系等问题.
(2)立体几何中的动态问题的解法:①根据已知的定义、定理、性质等推断
出动点的轨迹;②注意转化法的应用;③注意动态问题中不变的量与位置关
系.
对点练4
(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为AA1的中
点,AB=4,BC=3,BB1=8,点M在面AA1B1B内运动,则下列说法正确的是(
专题四
第2讲 空间位置关系的判断与证明
内
容
索
引
01
必备知识•精要梳理
02
关键能力•学案突破
必备知识•精要梳理
1.直线、平面平行的判定与性质
(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.
(3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α.
所以B1C⊥C1P,所以异面直线C1P与CB1所成的角为90°,为定值,故②正确.
对于③,二面角P-BC1-D的大小,即为平面ABC1D1与平面BDC1所成二面角
的大小,而这两个平面位置固定不变,故二面角P-BC1-D的大小为定值,故③
正确.故选D.
名师点析立体几何中的动态问题及解法
(1)立体几何中的动态问题主要包括空间动点轨迹的判断,求面积、体积及
易知AB不垂直于平面BDD1B1,所以MN不垂直于平面BDD1B1.
在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,
∵A1D⊂平面ADD1A1,∴AB⊥A1D.
又四边形ADD1A1为正方形,∴A1D⊥AD1.
又AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面ABD1,
∴直线A1D与直线D1B垂直.易知直线A1D与

BB1 所成的角,sin∠CPA=
=
5
41
=
5 41
,所以
41
正确.对于C,如图,取AB的中点N,连接PN,A1B,D1C,因为PN∥A1B,A1B∥
B
D1C,所以PN∥D1C,所以PN与D1C共面,所以当M∈PN,且点M异于点P
时,P,M,C,D1四点共面,所以C正确.对于D,由题意可知点M到平面ABCD的
对点练1
已知直线l,m和平面α,下列命题为真命题的是(
)
A.若l∥m,m⊂α,则l∥α
B.若l∥α,m⊂α,则l∥m
C.若l⊥α,m⊂α,则l⊥m
D.若l⊥m,l⊥α,则m⊥α
答案 C
解析 对于A,若l∥m,m⊂α,则l∥α或l⊂α,故A中命题为假命题.对于B,若
l∥α,m⊂α,则l∥m或l,m异面,故B中命题为假命题.对于C,若l⊥α,m⊂α,则l⊥m,
故C中命题为真命题.对于D,若l⊥m,l⊥α,则m∥α或m⊂α,故D中命题为假命
题.故选C.
命题角度2
空间几何体中线面位置关系的判断
[例1-2](2021·浙江,6)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是
A1D,D1B的中点,则(
)
A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD
DH,解得
2
2
12
= 5.由
sin
1
α=sin∠D1HD=
1
=
5
.故选
3
C.
DH=
4
,所以
5
名师点析用定义法求空间角的基本步骤
(1)作:根据异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角的
定义,在空间图形中作出相应的角.
(2)证:证明作出的角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角