八年级下数学平行四边形创新题型分类解析(20200709150513)

平行四边形创新题型分类解析
平行四边形部分是初中数学的重点内容，在各地中考试卷中都占有一定的分量。

随着课程改革的进一步深入，出现了许多构思新、重素质、考能力的创新题型，令人耳目一新；它
对培养和考查学生的发散能力和综合能力大有裨益。

现例举中考题几例并加以归类浅析，希望对同学们有所启发。

一、补充说理型
例1. 如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G。

（1）求证：AF＝GB；
（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说
明理由。

图1
解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，∴∠AGD＝∠CDG
又∵DG是∠ADC的平分线
∴∠ADG＝∠GDC
∴∠AGD＝∠ADG
∴AD＝AG
同理可得：BF＝BC
在平行四边形ABCD中，AD＝BC
∴AG＝BF
∴AF＝GB
（2）可以添加条件∠ADC＝90°或四边形ABCD是矩形
说理如下：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝∠BCD＝90°
又DG、CF平分∠ADC和∠BCD
∴∠EDC＝∠ECD＝45°
∴∠AGD＝∠BFC＝45°，∠FEG＝90°
即△EFG是等腰直角三角形。

点评：此例把解题的主动性交给学生，让学生添加条件再说理，给学生创造了一个适度
的思维空间；富有创意，活而不难，有利于激发学生的信心和探索欲望。

二、判断类比型
例2.
已知任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q。

（1）若四边形ABCD如图2-1，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，
错误的在括号里填“×”）。

甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形；（）
乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形。

（）
（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断。

（3）若四边形ABCD如图2-2，请你判断（1）中的两个结论是否成立？
解析：（1）甲的判断是正确的；乙的判断是错误的。

（2）对甲说理如下：
连接EF、FG、GH、HE（如图2-3）
∵E、F分别是AB、BC的中点
∴EF是△ABC的中位线
1
∴∥，
E F A C E F A C
2
同理，HG∥AC
1
H G A C
2
∴EF∥HG，EF＝HG
∴四边形EFGH是平行四边形
对乙可举反例说明：如图2-4，在矩形ABCD中，顺次连接EQ、QG、GP、PE得到一条线段，而不是一个平行四边形。

（3）对图2-2，类似于（1）中的结论甲、乙都成立。

点评：此例通过设计问题串，让学生经历判断、归纳，从而建立认识，再作判断；体现
了新课程下命题者关注学生思维过程的良苦用心。

三、猜想证明型
例3.
已知：如图3，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE＝BF。

请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并
证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。

图3
（1）连接_____________；
（2）猜想_____________＝_____________；
（3）证明
解析：连接AF，猜想AF＝AE。

证明：连接AC，交BD于O
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD于O，DO＝BO
∵DE＝BF，∴EO＝FO
∴AC垂直平分EF
∴AF＝AE
点评：此例要求学生经历探索—猜想—证明的思维过程，这种螺旋上升的结构符合学生的心理特征和认知规律。

让考生在试卷上留下思维的痕迹，能创造性地激活学生的思维。

四、运动探究型
例5.
如图4，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l 的距离分别为a、b、c、d。

（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论。

（2）现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论。

解析：（1）a c b d
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，O O
1
为点O到l的距离
图4
∴O O
1为直角梯形B B D D
11
的中位线
∴2
111
O O D D B B b d。