高中数学第二章平面向量本章整合课件北师大版必修4
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圆O的方程为x2+y2=9.
设 P(x,y),则������������=(-2-x,-y),������������=(2-x,-y),
于是������������ ·������������=x2-4+y2=x2+y2-4=9-4=5.故选 C.
答案:C
专题一 专题二 专题三
(2)解:①由题意得(3a-2b)2=7,
专题一 专题二 专题三
【例1】如图,四边形ABCD是梯形,AB∥DC,且AB=2CD,M,N分别 是DC和AB的中点,已知������������=a,������������=b,求������������, ������������.
分析:本题要求用 a,b 表示������������和������������,而 a,b 不共线,由平面向量基 本定理,知此平面内任何向量都可用 a,b 唯一表示,因此需结合图形 寻找������������, ������������与 a,b 的关系.
联立①②,解得
������ = -2, 或 ������ = 3
������ = 2, ������ = 1.
所以点D的坐标为(-2,3)或(2,1).
专题一 专题二 专题三
(2)当点 D 的坐标为(-2,3)时,������������=(1,2),������������=(-1,3),������������=(-2,1).
专题一 专题二 专题三
【例 2】 (1)如图,AB 是圆 O 的直径,点 P 是圆弧������������上的点,M,N 是直径 AB 上关于 O 对称的两点,且 AB=6,MN=4,则������������ ·������������等于 ()
A.13 B.7 C.5 D.3 (2)设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|= 7 . ①求向量a与b的夹角; ②求|3a+b|的值.
.
专题一 专题二 专题三
解析:(1)如图所示,作������������=a,������������= b,以OA和OC为邻边作▱OABC, 由于|a|=|b|≠0,则▱OABC 是菱形,则必有AC⊥OB.
又 a+b=������������,a-b=������������, 即(a+b)⊥(a-b).故选A.
专题二 平面向量的数量积及其应用 1.求两个向量的数量积主要有三种方法:(1)定义法,a·b=|a||b|cos θ;(2)向量分解法,即将欲求数量积的两个向量都用已知向量(模已 知,夹角已知)为基底进行分解,然后根据数量积运算的性质及运算 律计算;(3)坐标运算法,即将向量建立到平面直角坐标系中,求出向 量的坐标,然后进行计算. 2.向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系,而向 量的夹角、长度是向量的数量特征,利用向量的数量积可以证明两 个向量垂直、平行、求两个向量的夹角、计算向量的长度等.
当点 D 的坐标为(2,1)时,设������������=p������������+q������������,
则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),
所以
-2 = ������ + 3������,所以 1 = 2������ + ������,
������ ������
= =
1-1,.所以������������
专题一 专题二 专题三
(1)解析:(方法一)由已知可得
������������
PO= 2 =3,OM=ON=2.
������������ ·������������=(������������ + ������������)·(������������ + ������������)
=|������������|2+������������ ·������������ + ������������ ·������������ + ������������ ·������������
在△NBC 中,������������ = ������������ − ������������=b-12a.
∴������������=-12a+b,������������ = 14a-b.
专题一 专题二 专题三
变式训练 1 已知 A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且������������ ·������������=5,������������2=10. (1)求点 D 的坐标;
(2)用������解:(1)设 D(x,y),则������������=(1,2),������������=(x+1,y).
所以������������ ·������������=x+1+2y=5,①
������������ 2=(x+1)2+y2=10.②
设������������ =m������������ +n������������ ,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3).
所以 -2 = ������-������, 所以 ������ = -1, 1 = 2������ + 3������, ������ = 1.
所以������������=-������������ + ������������;
=32+������������·(������������ + ������������)+|������������||������������|cos 180°
=9+������������·0-2×2=9+0-4=5,故选 C.
(方法二)以O为原点,OB所在直线为x轴,建立坐标系(如图).
则O(0,0),M(-2,0),N(2,0).
本章整合
专题一 专题二 专题三
专题一 平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线 性运算. 2.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此对它们的运算法则、 运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面. 3.理解向量的有关概念(如相等向量与相反向量、平面向量基本 定理等),用基底表示向量,三角形法则、平行四边形法则是向量线 性运算的基础.
专题一 专题二 专题三
变式训练3(1)已知向量a与b不共线,且|a|=|b|≠0,则下列结论正确
的是( )
A.向量a+b与a-b垂直
B.向量a-b与a垂直
C.向量a+b与a垂直
D.向量a+b与a-b共线
(2)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=
1 2
.若平面向量b满足
b·e1=b·e2=1,则|b|=
+
2 3
������������
·������������
+
1 18
������������
·������������
=|������������ |·|������������ |cos
60°+112×22+
2 3
|������������|·|������������|cos
60°
+118 |������������|·|������������|cos 120°
专题一 专题二 专题三
解:如图,连接DN,CN.
∵N 为 AB 的中点,且������������=a,
∴������������
=
������������
=
1
2a.
又 AB=2CD,且 AB∥CD,
∴������������
=
������������
=
12a.∴������������
=
������������
专题一 专题二 专题三
(2)建立如图所示的平面直角坐标系, 由题意知a⊥b,且a与b是单位向量, ∴可设������������=a=(1,0),������������=b=(0,1),������������=c=(x,y). ∴c-a-b=(x-1,y-1),∵|c-a-b|=1, ∴(x-1)2+(y-1)2=1,即点C(x,y)的轨迹是以M(1,1)为圆心,1为半径的 圆, 而|c|= ������2 + ������2, ∴|c|的最大值为|OM|+1, 即|c|max= 2+1,故选 C. 答案:(1)B (2)C
=
������������
+
2 3
������������
·
������������
+
1 6
������������
=
������������
+
2 3
������������
·
������������
+
1 12
������������
=������������
·������������
+
1 12
������������ 2
=
������������
−
������������ .
所以,当点 D 的坐标为(-2,3)时,������������=-������������ + ������������,
当点 D 的坐标为(2,1)时,������������ = ������������ − ������������.
专题一 专题二 专题三
(2)因为b·e1=b·e2=1,|e1|=|e2|=1,由数量积的几何意义,知b在e1,e2
方向上的投影相等,且都为1,所以b与e1,e2所成的角相等.由e1·e2=
即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,
把|a|=|b|=1
代入上式得
1
a·b=2.
设 a 与 b 的夹角为 θ,∴a·b=|a||b|cos θ=12,
即 cos θ=12,又 ∴向量 a 与 b
θ的∈夹[0角,π]为,∴π3.θ=π3.
②∵(3a+b)2=9|a|2+6a·b+|b|2=9+3+1=13,
∴|3a+b|= 13.
专题一 专题二 专题三
变式训练 2 在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1,∠
ABC=60°.点
E
和
F
分别在线段
BC
和
DC
上,且������������
=
2 3
������������ ,
������������
=
1 6
������������ ,则������������
专题一 专题二 专题三
解析:(1)(解法一)代数法.将原式平方得|a+b|2=|a-b|2, ∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2, ∴a·b=0,∴a⊥b.故选B. (解法二)几何法.如图所示, 在▱ABCD 中,设������������=a,������������=b, ∴������������ =a+b,������������ =a-b. ∵|a+b|=|a-b|, ∴▱ABCD的两条对角线长度相等, 即▱ABCD为矩形. ∴a⊥b.故选B.
·������������ 的值为
.
专题一 专题二 专题三
解析:由平面几何知识可求得CD=1.
由������������
=
2 3
������������ ,
������������
=
1 6
������������ ,得
������������ ·������������=(������������ + ������������)·(������������ + ������������)
=
1
4a.
∴在△ADN 中,������������ = ������������ − ������������ = 12a-b,
在△DMN 中,������������ = ������������ − ������������ = 12a-b-14a=14a-b,
在△MNC 中,������������ = ������������ − ������������ = 14a-14a+b=b,
=2×1×12
+
1 3
+
23×1×1×12
−
118×1×2×12
=53
−
1 18
=
2198.
答案:2198
专题一 专题二 专题三
专题三 数形结合思想方法的应用 数形结合思想是研究平面向量的线性运算和数量积运算的定义 及运算法则、运算律的推导的基本思想方法.向量的坐标表示的引 入,使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合在一起.处理两直 线平行、垂直的问题是几何问题,但可通过向量的坐标运算这种代 数手段使问题解决,还可以利用向量的数量积处理线段的长度、两 直线夹角问题.
专题一 专题二 专题三
【例3】 (1)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正
确的是( )
A.a∥b
B.a⊥b
C.|a|=|b| D.a+b=a-b
(2)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大
值为( )
A. 2-1
B. 2
C. 2+1 D. 2+2