波动方程时空域有限差分数值解及吸收边界条件研究进展

２ 波动方程时空域有限差分数值解法
在波动方程时空域 有 限 差 分 数 值 求 解 中 ， 通常 低阶或高阶差分计算 采用二阶差分计算时间 导 数 、 空间导数 。 常 规 有 限 差 分 方 法 通 常 基 于 空 间 域 频 散关系设计空间差分系数 ；基于时空域频散关系的 有限差分方 法 则 是 基 于 时 空 域 频 散 关 系 设 计 空 间 差分系数 ， 因而能 获 得 更 高 的 精 度 ；优 化 有 限 差 分 方法通过优化方法设计 有 限 差 分 系 数 ， 能够进一步 提高精度 。 下面分别介 绍 常 规 有 限 差 分 方 法 、 基于 时空域频散 关 系 的 有 限 差 分 方 法 和 优 化 有 限 差 分 方法 。
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度为二阶 ， 而采用新 的 空 间 差 分 系 数 求 解 一 维 声 波 方程精度为 ２ 求解二维 、 三维波动 方程 可分别 犕 阶， 在８ 个、 ４ ８个方向达到２ 犕 阶精度
［ ］ ３ ８
频散速度与真实速度的比 值 ， 比值 越 接 近 １， 表示数 值求解频散越小 ， 精度越高 。 由图 １ 可见 ， 常规基于 空间域频散关系的差分方法精度低于基于时空域频 前者的频散曲线随速度变化很 散关系的差分方法 ， 大（ 图１ ） ， 而后者的频散曲线随速度变化则很小 ａ （ 图１ ） 。 ｂ 图２ 为 基 于 空 间 域 频 散 关 系 的 差 分 方 法、 基于 时空域频散关系的差分方法模拟得到的多层水平介
［ ］ １ ８， １ ９ ［ １ ５， １ ６］ ［ １ ７］ ［ ］ １ ２， １ ３
量大大增加 。 ２． ２ 基于时空域频散关系的有限差分方法 目前大部分差分方法在空间域确定空间差分算 子， 但 是 地 震 波 传 播 计 算 通 常 是 在 时 间—空 间 域 进 行的 。 如果将这些空间差分算子直接应用于求解波 动方程 ， 频散总是存在而且有时较大 。 例如 ， 当常规 二阶时间差分和 ２ 犕 阶空间差分算子应 用于求解波
一类方法是针对空 间 导 数 的 隐 式 差 分 ， 紧致有限差 分属于 此 类 方 法 。Ｌ 推导了计算任 ｉ ｕ等 意阶空间导数的 、 交错网格上一阶空间导数的任意
［ ２ ５～２ ７］ ［ ］ ２ ８， ２ ９
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９卷 第１期 第４
刘洋 ： 波动方程时空域有限差分数值解及吸收边界条件研究进展
若干个频率上严格成立 ， 从而得到若干个方程 ， 进而
［８ ］ 从声波波动方程的 求解出空间差分系数 。Ｌ ｉ ｕ等 ３
时空域差分频散方 程 出 发 ， 利用泰勒级数展开推导 出了与 Ｃ ｏ ｕ ｒ ａ ｎ ｔ数 和 空 间 点 数 有 关 的 空 间 差 分 系 数 。 当采用三点计 算 时 间 导 数 和 ２ 犕 ＋１ 点 计 算 空 间导数时 ， 采用常 规 空 间 差 分 系 数 求 解 波 动 方 程 精
３ ０， ３ １， ３ ７］ 导数 ［ ， 提高数值解的精度 ， 但这种方法使计算
分用于弹性波方程正演 ， 朱生旺 等
［ ］ １ １
则网格任意阶差分精度的正演方法 。 （ ３）交 错 网 格 方 法 和 旋 转 交 错 网 格 方 法 。 发展了模拟 Ｓ Ｖ ｉ ｒ ｉ ｅ ｕ ｘ Ｈ 波和 Ｐ Ｓ Ｖ 波的二阶速 ］ １ ４ 度 — 应力交错网格方案 ； 董 良 国 等［ 发展了时间和 空间均可达到任意阶精度的高阶交错网格方法 。 交 错网格方 法 已 被 广 泛 应 用 于 求 解 声 波 和 弹 性 波 方 程 ； Ｓ ａ ｅ ｎ ｅ ｒ等 提 出 旋 转 交 错 网 格 方 法 能 更 ｇ 有效地处 理 声 阻 抗 差 别 很 大 的 界 面 和 自 由 表 面 问 波动方程正演
０ １ ４年２月 ２
第４ ９卷 第１期
· 综述 ·
文章编号 ： （ ） １ ０ ０ ０ ７ ２ １ ０ ２ ０ １ ４ ０ １ ０ ０ ３ ５ １ ２
波动方程时空域有限差分数值解 及吸收边界条件研究进展
刘 洋 ①②
（ 北京 ） 油气资源与探测国家重点实验室 ， 北京 １ ０ ２ ２ ４ ９； ① 中国石油大学 （ 北京 ） 北京 １ ） Ｃ Ｎ Ｐ Ｃ 物探重点实验室 ， ０ ２ ２ ４ ９ ② 中国石油大学 （
算区域边界的反射波到达接收点时间晚于模型计算
１ 引言
近年来 ， 波动方程正演 、 逆时偏移和全波形反演 备受 关 注
［ ］ １～５
］ ７ 。 这种方法因为显著增加内存和 所需的最大时间 ［
计算时间而未得到广泛应用 。 目前普遍采用吸收边 界条件压制人工边 界 的 反 射 ， 这类方法通常在计算 从 区域之外增加若干 个 网 格 用 来 衰 减 或 预 测 波 场 ， 而达到吸收边界反射的目的 。 本文主要总结波动方程时空域有限差分方法和 吸收边界条件研究 进 展 ， 并简要介绍了它们在逆时 偏移和全波形反演中的应用 。 ， 其核心问题之一是波动方程数值求 。 伪谱法利用傅里叶变换计算空间导
解 。 波动方程数值 解 法 主 要 包 括 有 限 差 分 占 用 内 存 小， 缺点是计算速度 较慢 。 有限 元 法 的 优 点 是 适 用 于 模 拟 任 意 地 质 形 态、 任意逼近地层界面 ， 缺点是占用内存和计算量均 较大 。 而有限差分 法 由 于 具 有 占 有 内 存 小 、 计算量 小和易于实现等优点 ， 因而在波动方程正演 、 偏移和 反演中得到广泛应用 。 波动方程有限差分数值解法 可以在时间 — 空 间 域 实 现 ， 也 可 以 在 频 率—空 间 域 实现 。 频 率 — 空 间 域 有 限 差 分 方 法 具 有 计 算 精 度 高、 易于并行等优点 ， 但其占用内存大 、 计算量大 ， 因 而实际应用相对较少 。 时间 — 空间域有限差分方法 具有占用内存小 、 计算效率高和易于实现等优点 ， 采 用高阶差分可以提高计算精度 ， 因而得到广泛应用 。 在波动方程数值求解中 ， 由于计算区域有限 ， 因 而会在计算区域边界出现人工边界反射 。 为了避免 边界反射 ， 最简单的方法是扩大计算区域 ， 使来自计
［ ］ ２ ２
关系的有限差分方 法 则 可 以 有 效 克 服 该 问 题 ， 提高 数值求解精度 。 基于声波方程 ２． ２． １ 常规十字交叉空间差分算子 、 时空域频散关系的高阶有限差分方法
［９ ］ 提出在时空域确定空间差分 Ｆ ｉ ｎ ｋ ｅ ｌ ｓ ｔ ｅ ｉ ｎ等 ３ 系数的方法 ， 该方 法 使 得 时 空 域 频 散 方 程 在 指 定 的
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石 油 地 球 物 理 勘 探
２ ０ １ ４年
２． １ 常规有限差分方法 为了 提 高 常 规 有 限 差 分 方 法 的 精 度 和 效 率， 人 们发展了多种有限差分方法 ， 例如变网格方法 、 不规 交错 网 格 方 法 、 旋 转 交 错 网 格 方 法、 变 则网格方法 、 时间步长方法 、 隐 式 差 分 方 法 等。 下 面 分 别 进 行 简 要描述 。 ） 规则网 格 与 变 网 格 方 法 。 有 限 差 分 方 法 通 （ １ 常采用相同大小 规 则 网 格 ， 如 正 方 形 网 格。 变 网 格 差分方法的核心是保证相同波长内具有相同的网格 数， 对于速度大的 区 域 ， 地 震 波 长 大， 采用大矩形网 在速度小的 区 域 采 用 小 矩 形 网 格 。 变 网 格 方 法 格； 可以在不降低精度 的 前 提 下 减 小 网 格 数 ， 进而减小 计算量
。
（ ） 不规则 网 格 方 法 。 常 规 方 法 采 用 规 则 矩 形 ２ 对于倾斜界面无法避免绕射噪声 ， 若 网格进行离散 ， 加密计算节点不是解 加密网格又过度增 加 工 作 量 ， 决这一问 题 的 好 方 法 。 张 剑 锋
［ ］ １ ０
将不规则网格差 提出一种不规
） 基于空间 导 数 替 换 高 阶 时 间 导 数 的 有 限 差 （ ７ 分方法 。 常规方法 采 用 二 阶 差 分 计 算 时 间 导 数 ， 高 阶差分计算空间导数 。 为了提高计算时间导数的精 度， 可以考虑采 用 高 阶 时 间 差 分 。 由 于 直 接 应 用 高 阶时间差 分 求 解 波 动 方 程 通 常 导 致 求 解 过 程 不 稳 定， Ｌ ａ ｘ Ｗ ｅ ｎ ｄ ｒ ｏ ｆ ｆ方法利用空间 导 数 替 换 高 阶 时 间
刘洋 ．波动方程时空域有限差分数值解及吸收边界条件研究进展 ．石油地球物理勘探 ， （ ） ： ２ ０ １ ４， ４ ９ １ ３ ５ ４ ６． 摘要 波动方程数值解是波动方程正演 、 逆 时 偏 移 和 全 波 形 反 演 的 核 心 技 术 之 一。本 文 对 波 动 方 程 数 值 求 解 的 重点总结了基于时空域频散关系的有限差分 、 自适应可变空间算子长 有限差分技术和吸收边界条件进行了分析 ， 度有限差分 、 优化有限差分及混合吸收边界条件等方法 ， 介绍了这些方法在逆时偏移和波形反演中的应用 。 关键词 波动方程 时空域有限差分 吸收边界条件 研究进展 中图分类号 ： Ｐ ６ ３ １ 文献标识码 ： Ａ
将变空
间网格与变时间步 长 技 术 相 结 合 ， 提出一种空间网 格大小与 时 间 步 长 均 可 任 意 变 化 的 高 阶 有 限 差 分 方法 。 （ ） 隐式有 限 差 分 方 法 。 目 前 主 要 有 两 类 隐 式 ５ 一类是针对时间导数的隐式差分 ， 该方法 差分方法 ：
２ ３， ２ ４］ 在求解弹性波方 程 和 地 震 偏 移 中 得 到 应 用 ［ ； 另
：ｗ ８ 号中国石油大学地球物理与信息工程学院 ， １ ０ ２ ２ ４ ９。Ｅ ｍ ａ ｉ ｌ ｌ ｉ ｕ ａ ｎ ｉ ． ｓ ｉ ｎ ａ ． ｃ ｏ ｍ 北京市昌平区府学路 １ ＠ｖ ｙ ｇ ｐ 本文于 ２ 最终修改稿于同年 １ ０ １ ３ 年 ８ 月 ８ 日收到 ， １月２ ６ 日收到 。 本项研究受国家自然科学基金项目 （ ） 和教育部新世纪优秀人才支持计划项目 （ ） 联合资助 。 ４ １ ０ ７ ４ １ ０ ０ Ｎ Ｃ Ｅ Ｔ １ ０ ０ ８ １ ２
［ ］ ８， ９
偶数阶隐式差分方 程 ， 该方法通过求解三对角矩阵 方程计算空间导数 ， 提高了计算效率 。 （ ） 基于空间域频散关系的高阶有限差分方法 。 ６ 尽管通过减小网 格 可 以 提 高 波 动 方 程 数 值 解 精 度 ， 但会增加内存 ， 尤其是在三维情况下 ， 难以采用较小 而且减小网格的同时要减小时间步长 ， 以保 的网格 ； 这 样 又 会 增 加 计 算 量。 因 此 在 网 证正演的稳定 性 ， 格一定的情况下 ， 提高差分阶数仍然是提高差分数 值解精度的有效方法之一 。 由于直接应用高阶时间
］ ３ ０ 差分求解波动方程通常导致 求 解 过 程 不 稳 定 ［ ， 因
高阶差分计算 而通常采用二阶差 分 计 算 时 间 导 数 、 空间导数 ， 以便减 小 波 动 方 程 数 值 解 的 频 散 和 提 高
３ １～３ ３］ 。而 且 可 以 采 用 泰 勒 级 数 展 开 方 法 精度 ［ ［ ］ ２ ８， ３ ０］ ２ ７， ３ ４～３ ６ （ 或 者 优 化 方 法［ ， 通过逼近空间 Ｔ ＥＭ） 频散关系求解有限差分系数 。
３ ８］ 其精度始终是二 阶 ［ 。基于时空域频散 动方程时 ，
题， 该方法已经应用于弹性 、 黏弹性和各向异性介质 。 （ ） 变时间 步 长 方 法 。 为 了 兼 顾 模 拟 效 率 与 模 ４ ［０ ］ ［１ ］ 和Ｔ 提出一种局部可 拟效 果 ， Ｆ ａ ｌ ｋ等 ２ ｅ ｓ ｓ ｍ ｅ ｒ２ 变时间步长的模拟 方 法 ， 该方法在介质剧烈变化区 域和缓变区域分别采用较小 、 较大时间步长 ， 可以极 大提高地 震 波 数 值 模 拟 的 效 率 。 黄 超 等