高二数学下学期期中试题理(16)

恒成立， （当且仅当
. 的取值范围是
.
13．已知数列
的前项和为，
，
，
．
14．已知实数
满足
，则
最小值是．
15．设△
的内角，，所对的边长分别为，，，若
为．
16．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且
，则
的值
为直角，椭圆的离
心率为，双曲线的离心率，则
的值为 _______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）
时，
请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则 按所做的第一题计分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：极坐标系与参数方程
（Ⅰ）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为
．
（Ⅱ）直线的普通方程为
，点在直线上，
过点的直线的参数方程为
（为参数），
代入圆方程得： ．
．设
对应的参数方程分别为
D
． 20
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
8．程序框图如下：
如果上述程序运行的结果的值比 2018 小，若使输出的最大，那么判断框中应填入
A． 9．已知正方体
B．
C． 的棱长为 1，为
D． 的中点，则点到平面
的距离为
A．
B．
C．
D．
10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设
年份 年份代号
2011 1
2012 2
2013 3
2014 4
2015 5
2016 6
2017 7
人均纯收入
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（Ⅰ）求关于的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析
年至
年该地区农村居民家庭人均纯收入的变
化情况，并预测该地区
年农村居民家庭人均纯收入．
注：
20．解：（Ⅰ）由题意，得
，解得
，
．
所以椭圆的方程是
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
当直线
的斜率不存在时，直线
的方程设为
．
由
得，
，解得
或
（舍去） .
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程设为
，设
，
联立
消去得
则有 又 由
， 得，
即
或
若
则直线
的方程设为
，过点
，不在椭圆内，与题意不符 .
若
，代入到判别式中，判别式恒大于 0，则满足有两个交点 .
答案
17．解： ( Ⅰ ) ∵
，
，
∴sin Acos B+cos Asin B=sin2 C
即
，
又因为
，所以 sin C=sin2 C
∴ cos C=
又 C为三角形的内角，
∴
.
( Ⅱ) ∵ sin A,sin C,sin B成等比数列， ∴ sin 2C=sin Asin B 由正弦定理可得 c2=ab
已知向量
，
，
，且，，分别为△
的
三边
所对的角．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若
，
，
18．（本小题满分 12 分）
成等比数列，且
， 求边 c 的值．
如图， 正方形
所在的平面与平面
垂直，是和
的交点，
，且
．
( Ⅰ ) 求证： ( Ⅱ ) 求二面角
平面
；
的大小．
19． ( 本小题满分 12 分 )
某地区
年至
年农村居民家庭纯收入（单位：千元）的数据如下表：
.
（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆与直线交于点
，若点的坐标为
23． ( 本小题满分 l0 分 ) 选修 4— 5：不等式选讲
已知函数
．
，求
（Ⅰ）当
时，求函数
的定义域；
（Ⅱ）当函数
的定义域为时，求实数的取值范围．
一、选择题： 1． C2．C3． D4．C5． B6．C 7． A8．C9． A10． C11． D12． D 二、选择题： 13． 14 ． 15． 416． 三、解答题：
，则
，
于是
．
23． ( 本小题满分 l0 分 ) 选修 4— 5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当
时，要使函数
有意义，
有不等式
①成立，
当
时，不等式①等价于
当
时，不等式①等价于
当
时，不等式①等价于
，即
，
，无解；
，即
，
； ；
综上，函数
的定义域为
.
（Ⅱ）∵函数 ∴只要 又∵ 时取等号） 即
的定义域为，∴不等式 即可，
又
,即
∴ abcosC=18
∴ ab=36 18． 解：∵四边形
故 c2=36
∴ c=6.
是正方形 ，
的值 . ，
，∵平面
平面
，
∴可以以点为原点，以过点平行于
平面
，
的直线为轴，分别以直线
如图所示的空间直角坐标系
．
设
，则
∵是正方形
的对角线的交点，
．
( Ⅰ)
，
，
，
，
和 为轴和轴，建立 ，
平面
．
( Ⅱ ) 设平面
则直线
的方程设为
，过点得
.
综上，直线
通过定点
．
21．解：解析：（Ⅰ）
当
时，
时
时
，

当
时，
时
时
，
在
上单调递增，在
上单调递减．
（Ⅱ）（ⅰ）∵
∴
当
时，
，当
∴
在
单调递减，在
（ⅱ）由（Ⅰ）知
单调递增∴
∴由
，可得
时， ．
即
，
即 设
，
在
单调递减，在
单调递增．
又∵ ∴ 即
在 成立． 成立．
为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为
．若
A．2015
B
． 2016
11．已知
，函数
， C.2017 在
，则的值可以是
D
． 2018
上单调减，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
12．已知函数
，曲线
上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的
切线都与轴垂直，则实数的取值范围是
A．
B．
C.
D．
第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、选择题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
，
20．（本题满分 12 分）
已知椭圆
经过点
，且离心率为
．
（ I ）求椭圆的方程；
( Ⅱ ) 过椭圆的右顶点做相互垂直的两条直线， ，分别交椭圆于、 （、 异于点） ，问直线
是否通过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由
.
21． ( 本小题满分 12 分 )
已知函数
在
处的切线与轴平行．
（Ⅰ）试讨论
在
上的单调性；
（Ⅱ）（ⅰ）设
，求
的最小值；
（ⅱ）证明：
．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则 按所做的第一题计分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，直线的参数方程为
（为参数），再以原点为极点，以正
半轴为极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆的方程为
的法向量为
，
则
且
，
且
．
即
取
，则
，则
．
又∵
为平面
的一个法向量，且
，
，
设二面角
的平面角为，则
，
．
∴二面角
等于 ．
19．解：（Ⅰ）由已知可知
，故
，所以所求的线性回归方程为
．
（Ⅱ）有（Ⅰ）可知
，故 2011 年至 2017 年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年
增加，平均每年增加 0.5 千元；当
时，
，
所以预测该地区 2018 年农村居民家庭人均纯收入为 6.3 千元．
．0
C
．1
的前项和为、是方程
D
．－ 1
的两个根，则
A．
B．
C
． D．
4．已知
，
，
，则在方向上的投影为
A．
B． C． D．
5．已知函数
，且
，则
A．
B．
C
．
D
．
6．某单位有
名职工， 现采用系统抽样方法抽取人做问卷调查，
将 人按
随机编号， 则抽取的人中， 编号落入区间
的人数为
A．17
B ． 18
C ．19
河北省石家庄市第一中学 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题
理
第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
1．已知集合
，
，则
A．
B
．
C ．A
D
．B
2．若复数
A．
B
3．设等差数列
的值为