解题方法：临界状态的假设压轴难题提高题专题附答案

解题方法：临界状态的假设压轴难题提高题专题附答案
一、高中物理解题方法：临界状态的假设
1．一倾角为α的光滑绝缘斜面体固定在水平面上，整个装置处于垂直纸面向里的磁场中，如图所示．一质量为m ，电荷量为q 的带正电小球从斜面上由静止释放．已知磁感应强度为B ，重力加速度为g ．求：
（1）小球离开斜面时的速率； （2）小球在斜面上滑行的位移大小．
【答案】（1）cos mg v qB α=（2）2222cos 2sin m g x q B α
α
= 【解析】
(1)小球在斜面上运动,当F N =0时，离开斜面 mg cos α=qvB
cos mg v qB
α=
(2)小球在斜面上做匀加速直线运动 mg sin α=ma v 2=2ax
解得2222
cos 2sin m g x q B α
α=
2．如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线悬挂一质量为m 的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．
()1此时绳的张力是多少？
()2若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
【答案】（1）()2
2
cos sin T mg m l θωθ=+（2）cos g
l ωθ
=
【解析】
（1）小球此时受到竖直向下的重力mg ，绳子的拉力T ，锥面对小球的支持力N ，三个力作用，合力充当向心力，即合力2sin F m l ωθ= 在水平方向上有，sin cos T N ma F ma θθ-==，， 在竖直方向上：cos sin T N mg θθ+=
联立四个式子可得()2
2
cos sin T mg m l θωθ=+
（2）重力和拉力完全充当向心力时，小球对锥面的压力为零， 故有向心力tan F mg θ=，2sin F m l ωθ=，联立可得cos g
l ωθ
=，即小球的角速度至
少为cos g
l ωθ
=
；
3．如图所示，直线Oa 和Ob 的夹角为30︒，在两直线所夹的空间内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场向右的区域无限大，磁感应强度为B 。

在P 点有速度相等的正、负离子沿垂直于Oa 方向射入磁场。

两离子的运动轨迹均与Ob 相切，若不计两离子间的相互作用力，则正、负两种离子的比荷之比为（ ）
A ．3
B 3
C ．1:3
D ．3:1 【答案】D 【解析】 【详解】
如图所示，由左手定则知磁场中的正离子向左偏转、负离子向右偏转。

洛伦兹力提供向心力，正离子有
2
v q vB m r
=正正
负离子有
2
v q vB m R
=负负
由几何关系知
sin 30sin 30r R
r R ︒︒
++=
解以上三式得
3:1
q q m m =负正负正 故选D 。

4．如图所示，轻质杆的一端连接一个小球，绕套在固定光滑水平转轴O 上的另一端在竖直平面内做圆周运动。

小球经过最高点时的速度大小为v ，杆对球的作用力大小为F ，其
2F v -图像如图所示。

若图中的a 、b 及重力加速度g 均为已知量，规定竖直向上的方向
为力的正方向。

不计空气阻力，由此可求得（ ）
A ．小球做圆周运动的半径为
g b
B ．0F =时，小球在最高点的动能为ab
g
C ．22v b =时，小球对杆作用力的方向向下
D ．22v b =时，杆对小球作用力的大小为a 【答案】D 【解析】 【详解】
A ．由图象知，当2v b =时，0F =，杆对小球无弹力，此时重力提供小球做圆周运动的向心力，有
2
v mg m r
=
解得
b r g
=
故A 错误；
B ．由图象知，当20v =时，故有
F mg a ==
解得
a m g
=
当2v b =时，小球的动能为
2122k ab E mv g
=
= 故B 错误；
C ．由图象可知，当22v b =时，有
0F <
则杆对小球的作用力方向向下，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的弹力方向向上，故C 错误；
D ．由图象可知，当22v b =时，则有
2
2v F mg m mg r
+==
解得
F mg a ==
故D 正确。

故选D 。

5．竖直平面内的四个光滑轨道，由直轨道和平滑连接的圆弧轨道组成，圆轨道的半径为R ，P 为圆弧轨道的最低点。

P 点左侧的四个轨道均相同，P 点右侧的四个圆弧轨道的形状如图所示。

现让四个相同的小球 （ 可视为质点，直径小于图丁中圆管内径 ） 分别从四个直轨道上高度均为h 处由静止下滑，关于小球通过P 点后的运动情况，下列说法正确的是 （ ）
A ．若 h ＜
1
2
R ，则四个小球能达到的最大高度均相同 B ．若 h=R ，则四个小球能达到的最大高度均相同
C ．若h=5
2
R ，则图乙中的小球能达到的高度最大 D ．若 h=
5
2
R ，则图甲、图丙中的小球能达到的最大高度相同 【答案】ACD 【解析】 【详解】 A ．若2R h <
，根据机械能守恒定律可知，四个小球都能上升到右侧高度2
R
h <处，即小球不会超过圆弧的四分之一轨道，则不会脱离圆轨道，故上升到最高点的速度均位列零，最大高度相同为h ，A 正确；
B ．若h ＝R ，根据机械能守恒，甲乙丁都能上升到右侧高度R 处而不会越过圆弧的四分之一轨道，而丙图中小球做斜上抛运动离开轨道，到达最高点时还有水平的速度，最大高度小于R ，B 错误；
C ．若5
2
h R =
，甲、丁两图中的小球不会脱离圆轨道，最高点的速度不为零，丙图小球离开轨道，最高点速度也不为零，乙图离开轨道，上升到最高点的速度为零，根据机械能守恒知，图乙中小球到达的高度最大，故C 正确； D ．若5
2
h R =
，图甲中小球到达的最大高度为2R ，根据机械能守恒得， 21
22
mgh mg R mv '-⋅=
得最高点的速度为
v '=对于图丙，设小球离开轨道时的速度为v 1，根据机械能守恒得，
2
11(cos 602
mgh mg R R mv -⋅-︒=
） 而到达最高点的速度
v =v 1cos60°，
联立解得最高点的速度
v =则两球到达最高点的速度相等，根据机械能守恒得，甲、丙图中小球到达的最大高度相等，故D 正确； 故选ACD 。

【点睛】
本题考查机械能守恒定律的应用，通过机械能守恒定律建立方程分析不同情况下上升的最大高度；解题的关键在于丙图的情况，小球离开轨道做斜上抛运动，最高点的速度不为0。

6．在上表面水平的小车上叠放着上下表面同样水平的物块A 、B ，已知A 、B 质量相等，A 、B 间的动摩擦因数10.2μ=，物块B 与小车间的动摩擦因数20.3μ=。

小车以加速度
0a 做匀加速直线运动时，A 、B 间发生了相对滑动，B 与小车相对静止，设最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，重力加速度g 取210m/s ，小车的加速度大小可能是（ ）
A ．22m/s
B ．22.5m/s
C ．23m/s
D ．24.5m/s
【答案】BC 【解析】 【详解】
以A 为研究对象，由牛顿第二定律得：
μ1mg =ma 0，
得：
a 0=μ1g =2m/s 2，
所以小车的加速度大于2m/s 2。

当B 相对于小车刚要滑动时静摩擦力达到最大值，对B ，由牛顿第二定律得：
μ2•2mg -μ1mg =ma ，
得
a =4m/s 2，
所以小车的加速度范围为
2m/s 2＜a ≤4m/s 2，
故AD 错误，BC 正确。

故选BC 。

7．如图所示，在边长为L 的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B .在正方形对角线CE 上有一点P ，其到CF ，CD 距离均为
4
L
，且在P 点处有一个发射正离子的装置，能连续不断地向纸面内的各方向发射出速率不同的正离子．已知离子的质量为m ，电荷量为q ，不计离子重力及离子间相互作用力．
(1)速率在什么范围内的所有离子均不可能射出正方形区域？
(2)求速率为v ＝
1332qBL
m
的离子在DE 边的射出点距离D 点的范围． 【答案】(1)8qBL v m ≤ (2)(23)4L L
d +≤< 【解析】 【分析】 【详解】
因离子以垂直于磁场的速度射入磁场，故其在洛伦兹力作用下必做圆周运动． (1)依题意可知离子在正方形区域内做圆周运动不射出该区域，做圆周运动的半径为r ≤
8
L
. 对离子，由牛顿第二定律有qvB ＝m 2
v r
⇒ 8qBL v m ≤
(2)当v ＝
1332qBL
m
时，设离子在磁场中做圆周运动的半径为R ， 则由2
v qvB m R
＝可得.1332L R = 要使离子从DE 射出，则其必不能从CD 射出，其临界状态是离子轨迹与CD 边相切，设切点与C 点距离为x ，其轨迹如图甲所示，
由几何关系得： R 2＝(x －
4L )2＋(R －4
L
)2， 计算可得x ＝
5
8
L ， 设此时DE 边出射点与D 点的距离为d 1，则由几何关系有：(L －x )2＋(R －d 1)2＝R 2， 解得d 1＝
4
L . 而当离子轨迹与DE 边相切时，离子必将从EF 边射出，设此时切点与D 点距离为d 2，其轨迹如图乙所示，由几何关系有：
R2＝(3
4
L－R)2
＋(d2－
4
L
)2，
解得d2＝
()
23
8
L
+
故速率为v＝
13
32
qBL
m
的离子在DE 边的射出点距离D 点的范围为
()
23
48
L
L
d
+
≤<
【点睛】
粒子圆周运动的半径
mv
r
Bq
=，速率越大半径越大，越容易射出正方形区域，粒子在正方
形区域圆周运动的半径若不超过
8
L
，则粒子一定不能射出磁场区域，根据牛顿第二定律求出速率即可．
8．如图所示，为两组正对的平行金属板，一组竖直放置，一组水平放置，一电子由静止开始从竖直板的中点A出发，经电压U0加速后通过另一竖直板的中点B，然后从正中间射入两块水平金属板间，已知两水平金属板的长度为L，板间距离为d，两水平板间加有一恒定电压，最后电子恰好能从下板右侧边沿射出．已知电子的质量为m，电荷量为-e.求：（1）电子过B点时的速度大小；
（2）两水平金属板间的电压大小U；
（3）电子从下板右侧边沿射出时的动能．
【答案】(1) 0
2eU
v
m
=
2
2
2d U
U
L
(3)
22
2
()
K
L d eU
E
L
【解析】
【分析】 【详解】
（1）令电子过B 点时的速度大小为v ，有：
2012eU mv =
，02eU v m
= （2）电子在水平板间做类平抛运动，有：
L vt =，
2
122d at =，eU a md
= 联立解得：
202
2d U U
L
（3）总过程对电子利用动能定理有：
002
K U
eU e E +=-，2
20
K
2
()L d eU E L
9．一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角
30θ︒=，一条长为L 的细绳（其质量不计）一端固定在圆锥体的顶点处，另一端拴一个质
量为m 的小球（小球可以看成质点）。

小球以速度v 绕圆锥体的轴线做水平圆周运动，如图所示，当32
gl
v =
时，求细绳对小球的拉力。

【答案】2mg 【解析】 【分析】 【详解】
设当小球的速度为0v 时小球恰好脱离锥面，满足
20
tan sin v mg m
L θθ
=⋅ 解得
03362
gL gL v v =
=
所以当v =
β
，则有
2
sin mv T r β= cos 0T mg β-=
又有
sin r L β=⋅
v =
解得
60β︒=，2T mg =
10．交管部门强行推出了“电子眼”，机动车擅自闯红灯的大幅度减少。

现有甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为10m/s ．当两车快要到一十字路口时，甲车司机看到绿灯已转换成了黄灯，于是紧急刹车(反应时间忽略不计)，乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急刹车，但乙车司机反应较慢(反应时间为0.5s )，已知甲车、乙车紧急刹车时产生的加速度大小分别为a 1=4m/s 2、a 2=5m/s 2。

求：
(1) 若甲司机看到黄灯时车头距警戒线15m ，他采取上述措施能否避免闯红灯？ (2) 乙车刹车后经多长时间速度与甲车相等？
(3) 为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中应保持多大距离？
【答案】(1) 能避免；(2) 2s ；(3) 保持距离≥2.5m。

【解析】 【详解】
(1) 设甲车停下来行驶的距离为x ，由运动学公式可得
2102v a x -=-，
可求得
2210m 12.5m 224
v x a ===⨯，
因为车头距警戒线15m ，所以能避免闯红灯；
(2) 设甲初始速度为1v ，乙的初始速度为2v ，设乙车刹车后经时间t 速度与甲车相等，则
有
()11220.5v a t v a t -+=-，
代入数值可得2s t =；
(3) 两车不相撞的临界条件是两车速度相等时恰好相遇，设甲、乙两车行驶过程中应保持
距离至少为L ，
由前面分析可知乙车刹车后2s 速度与甲车相等，设乙车反应时间为t ∆，由位移关系可得
()22222111122
v t v t a t v t t a t L ∆+-=+∆-+， 代入数值联立可得 2.5m L =。

说明甲、乙两车行驶过程中距离保持距离≥2.5m。