2021年高考数学总复习第10讲：指数与指数函数练习题及答案解析

2021年高考数学总复习第10讲：指数与指数函数
1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )
A [因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．] 2．(2020·山东菏泽期中)已知a ＝0.51
3
，b ＝0.213
，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b
A [∵0<0.5<1，∴函数y ＝(0.5)x
在R 上单调递减，∴0.513
＜0.50.2，∵1
3＞0，∴函数y
＝x 1
3 在(0，＋∞)上单调递增，∴0.513 ＞0.213
，故c >a >b .]
3．(2020·山东省实验中学诊断)20世纪初，辽东半岛大连普兰店东部发现古莲子，其寿命在千年以上，至今大部分还能发芽开花，己知碳14半衰期为5 730年(注：半衰期为放射性元素残留量降为原来的一半所需要的时间)，若1单位的碳14经过x 年后剩余量为y 单位，则y 关于x 的函数表达式是( )
A ．y ＝2
－x
5 730
B ． y ＝2
x 5 730
C ． y ＝1－2
－
x 5 730
D ． y ＝(1－2－5 730
)x
A [设1单位的碳14经过1年后剩余量为a 单位，则经过x 年后剩余量为y ＝a x ，根据
半衰期的定义可得，x ＝5 730时，y ＝12，所以12
＝a 5 730
，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1215 730 ＝2－15 730 ，所以y ＝
(2
－1
5 730
)x ＝2－x
5 730 .]
4．设2x ＝8y ＋1,
9y ＝3x －
9，则x ＋y 的值为( )
A ．18
B ．21
C ．24
D ．27
D [因为2x ＝8y ＋
1＝23(y ＋1)
，所以x ＝3y ＋3，因为9y ＝3x －
9＝32y ，所以x －9＝2y ，解得x
＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27.]
5．二次函数y ＝－x 2－4x (x ＞－2)与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x
的交点有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个
D ．0个
C [因为二次函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x ＞－2)，且x ＝－1时，y ＝－x 2－4x ＝3，y ＝⎝⎛⎭⎫12x
＝2，在坐标系中画出y ＝－x 2
－4x (x ＞－2)与y ＝⎝⎛⎭
⎫12x 的大致图象，
由图可得，两个函数图象的交点个数是1.] 6.
614
－(π－1)0－⎝⎛⎭⎫33813 ＋⎝⎛⎭⎫164－23 ＝_________.
16 [原式＝52－1－⎝⎛⎭⎫27813 ＋(4－3) －23 ＝32－32
＋42＝16.]
7．已知函数f (x )＝a －
x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是_________. (0,1) [因为f (x )＝a －
x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1
a
>1，解得0<a <1.] 8．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －
2|}，则f (x )的最小值为_________.
e [由题意得，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
e |x |，x ≥1，e
|x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e |x |＝e x ≥e(当x ＝1时，取等号)；当
x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－
x >e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.]
9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a
. (1)求f (x )的单调区间；
(2)若f (x )的最大值是9
4
，求a 的值．
解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t
，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，
又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 在R 上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．
(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，从而a ＝2.
10．已知函数f (x )＝3x ＋a
3x ＋1为奇函数．
(1)求a 的值；。