高三第二次联考数学(理科)试卷含答案 精校打印版 名校用过

哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学
高三第二次联合考试 数学试卷（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）
一. 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1. 已知集合A B y x y x A ==+=∈{}{|}01122，，，，则A 与B 的关系为（ ） A. A B =
B. A B ⊂≠
C. A B ⊃≠
D. A B ⊇
2. 复数Z i +在映射f 下的象为Z i ⋅，则-+12i 的原象为（ ） A. 2
B. 2-i
C. -+2i
D. -+13i
3. 命题p ：x y x ==π是|sin |的一条对称轴，q ：2π是y x =|sin |的最小正周期。

下列复合命题：①p 或q ，②p 且q ，③非p ，④非q ，其中真命题有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. 等比数列{}a n 中，a a 391
2
8==，，则a a a 567⋅⋅的值为（ ） A. 64
B. -8
C. 8
D. ±8
5. 椭圆x y 22
43
+=1的左、右焦点是F F 12、，P 是椭圆上一点，若||||PF PF 123=，则P 点到左准线的距离是（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
6. 曲线y x x x x =---()()()1250…在原点处的切线方程为（ ） A. y x =1275
B. y x =502
C. y x =100
D. y x =50
7. 正方体ABCD A B C D -1111，E 、F 分别是AA CC 11、的中点，P 是CC 1上的动点（包括端点），过E 、D 、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则P 的轨迹是（ ） A. 线段C F 1
B. 线段CF
C. 线段CF 和一点C 1
D. 线段C F 1和一点C
8. 下列图形中，方程log ()log x x y +-=121对应的图形是（ ）
A B C
9. 设向量x
==+-
（，），（，），当向量与
12122平行时，⋅等于（）
A.
5
2
B. 2
C. 1
D.
7
2
10. 离心率e等于log*
p
q p q p q N
（其中，，且、）
1919
≤≤≤≤∈的不同形状的双曲线个数为（）
A. 25个
B. 26个
C. 27个
D. 28个
11. 定义M x x x x x n
x
n=++++-
()()()()
1231
…，其中x R n N
∈∈
，*，例如
M
-
=-⨯-⨯-⨯-=
4
4432124
()()()()，则函数f x M
x
()=
-1002
2005的奇偶性为（）
A. f(x)是奇函数，但不是偶函数
B. f(x)是偶函数，但不是奇函数
C. f(x)既是奇函数，又是偶函数
D. f(x)既非奇函数，又非偶函数
12. 如图所示，A、B、C、D是四个采矿点，l表示公路，线段表示道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，A、B、C、D的采矿量之比为6：2：3：4，且运矿费用与路程、采矿量的乘积成正比，现要从P、Q、R、S中选一中转站，使得采矿点到中转站费用最少，则应选（）
A. P点
B. Q点
C. R点
D. S点
第II卷（非选择题共90分）
二. 填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
13. 某校高中学生共有1800人，其中高一年级600人，高二年级400人，高三年级800人，现采用分层抽样方法抽取容量为90人的样本，则高一、高二、高三年级的人的分别为_____________。

14. 已知a a a a m n Z m n
i
i m
n
m m n
=
+
∑=+++∈≤<
1
…（其中，，且），设g x()=
x c i
n
i
i
n
=
∑
，函数f x
g x
g x
x
a x
()
log()
log()
()
()
=
+
≠
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2
2
2
1
1
在x=1处连续，则实数a的值为_______。

15. 已知抛物线y x 24=的一条弦AB ，A （x y 11，），B （x y 22，），AB 所在直线与y 轴交点坐标为（0，2），则
11
12
y y +
=____________。

16. 四面体ABCD 中，有如下命题：①若AC ⊥BD ，AB ⊥CD ，则AD ⊥BC ；②若E 、F 、G 分别是BC 、AB 、CD 的中点，则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小；③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在面ABD 上的射影是△ABD 的外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD 为正四面体。

其中正确的是：__________。

（填上所有正确命题的序号）
三. 解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）
已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边为a 、b 、c ，A=2B ，cos B =
6
3。

（1）求sinC 的值；（2）若角A 的内角平分线AD 的长为2，求b 的值。

18. （本小题满分12分） 对某种赌博游戏调查后，发现其规则如下：摊主在口袋中装入8枚黑和8枚白的围棋子，参加者从中随意一次摸出5枚，摸一次交手续费1元，而中彩情况如下：
现在我们试计算如下问题：
（1）求一次获得20元彩金的概率；（结果用最简分数表示）
（2）分别求一次获2元和纪念奖的概率；（结果用最简分数表示）
（3）如果有1000次摸奖，摊主赔钱还是挣钱？是多少元？（精确到元） 19. （本小题满分12分）
已知直三棱柱ABC A B C -111中，∠=︒ABC 90，AB=BC=a ，AA AB 12=，M 为CC 1上的点。

（1）当M 在C C 1上的什么位置时，B M 1与平面AA CC 11所成的角为30︒； （2）在（1）的条件下求B 到平面AMB 1的距离。

C M C 1
B 1
1
20. （本小题满分12分）
已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列。

（1）求数列{}a n 的通项公式； （2）若c a b n n n =
+1
25()
，求数列{}c n 的前n 项和T T n n n 及lim →∞。

21. （本小题满分12分）
已知A 、B 为椭圆x a y b a b 222210+=>>()和双曲线x a y b
222
21-=的公共顶点，P 、Q
分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且有()()+=+λ
（，）λλ∈>R ||1，设AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为k k k k 1234，，，。

（1）求证：k k k k k k k k 123412340=-+++=且；
（2）设F F '22、分别为双曲线和椭圆的一个焦点（均为两曲线的右焦点），若
PF QF '//22，求k k k k 122
23242
+++的值。

y
P Q
A O F 2
B F 2’ x
22. （本小题满分14分） 已知函数f x a x a x x ()=-++6232的图象关于（1，4
3
）中心对称。

（1）求f(x)。

（2）令g x f x x g x x n N n n ()'()()*==<<∈+，，，1112 求证：||()x n n -<-21
2
1。

三校联考第二次模拟考试
数学试卷（理科）参考答案及评分标准
一. 选择题： 1. B 2. A 3. C 4. D 5. C 6. D 7. C 8. C 9. A 10. B 11. A
12. B
二. 填空题： 13. 30，20，40 14. 2 15.
1
2
16. ①③ 17. 解：
（1） 02
633
3
<<
=
∴=
B B B π
，，cos sin …………2分
∴===
s i n s i n s i n cos A B B B 2222
3
·，
…………4分
c o s
c o s c o s A B B ==-=2211
3
2
…………6分
∴=+=+=s i n s i n ()s i n cos cos sin C A B A B A B ··53
9
…………8分
（）在中，，22∆ACD A B ADC A =∴∠= 由正弦定理得
b ADC AD
C
sin sin ∠=
即∴
=
⇒=
b b 223
2539
46
5
…………12分
18. 解：（1）一次摸奖中20元彩金的概率P C C 20851651
78==，可见可能性很小……4分
（2）一次中2元彩金的概率 P C C C 28481
16
5
5
39==；……6分 而中纪念奖概率纪P C C C ==838216
5
14
39 ……8分
（3）摊主赔钱还是挣钱由其支付完奖金余额决定，1000次收手续费1000元
预计支付元奖需元；支付元奖需元；201
78
10002025
3910002202m m =
⨯⨯=
⨯⨯
支付纪念奖需m 纪
元=⨯⨯1439
100005. 则余额 m m m m =---=1000308202纪元
答：摊主应挣钱308元。

…………12分
（3）另解：摸奖一次得到奖金ξ元，则随机变量ξ的分布列为：
∴=⨯
+⨯+⨯+⨯=∴-⨯≈E ξ摊主挣钱，钱数为元
20178253905143901291319
13
1000308.()
19. 解：（1）取A C N B N N M 111111的中点，连结，
面面面面面A C CA A B C A C CA A B C A C B C A B B N A C B N A C CA 11111
1111111111111111111⊥==⇒⊥⎫⎬⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⇒⊥
则为与面所成的角∠B MN B M A C CA 11111…………3分
设，，C M x B N a B MN B N B M
a
x a 11111111222
22212
==∠==+=sin
解得，则x a C M C C ==111
2
∴M CC 为的中点
…………分16
（2）取BB K MK MK A B BA 111的中点，连结，则面⊥ 过作，连，过作K KS AB MS K KH MS ⊥⊥1
C M C 1
B 1
1
⇒KH K AMB 的长为到面1的距离，由BB B K 112=，则B 到面AMB 1的距离为K 到面AMB 1的距离的2倍 …………9分
在中，，，··Rt MKS MK a KS a KH KS MK MS a
a
a a ∆=====556
5
6
6
∴∴K AB M a B AMB a
到面的距离为
到面的距离为…………分
1166
6
3
12
另法一：利用体积相等，V V B AMB a B AMB M ABB --=11163
可求得：到面的距离为 另法二：可利用面ABM BMB ⊥面1
20. 解：（I ）由已知，b n n n =+-=-12121()
S n n n n n a n a S S n a n n n n n n n n =+-=+-==≥=-=-∴==-≥⎧⎨
⎪⎩⎪-()()12121
21224121
412
6211……分
当时，，当时，……分
（）时，……分II n c n n n n n ≥=
-+=--+214143141411
43
8()()()
c a T c c c c n n n n n n n
1112312151
14
1141417111111115141143
114141714361144310=
⨯+=
∴=++++=+-+-+--+=
+-+=
++()[()()()]()()
…………分
lim lim lim lim
lim
n n n n n n T n n n n
n n →∞→∞→∞→∞→∞=++=+
+=++=+=
61564261564261
56426056328
12……分
21. （1）证明：设点P 、Q 的坐标分别为（，）、（，）x y x y 1122，
则，即，，，x a y b x a y b
x a a b y x a a b y k y x a k y x a 1221222222
2
21222212222
2
2
221112
1111-=-=-=
-=-=+=-
k k y x a y a b y b a
1212122
1222122
2=-==
同理可得：于是……分
k k b a k k k k 342
2
1234
3=-=-
k k y x a y x a x y x a b a x y k k b a x y 1211111112222
1
1342
22
2
22122+=++-=-=+=-
……（）
同理可得：……（）
设为原点，则，由条件知，
，故与共线于是
，由（）、（）得：……分
O x y x y k k k k +=+===+++=221206112
2
1234λ
（），又又点在双曲线上，有，又，知211
1
2
1
2
1212
2222
2212212
22
12212
21
2
22
1
222
2222 OP OQ
x x y y x a y b
x a y b
P x a y b
x a y b PF QF OF OF =∴==+=∴+=-=∴=
+=
-=λλλλλλλ'//|'|||
故，所以……分λλλ2
2222121222224
4
119=+-=+-=
a b a b x y a b a b
由（）得··同理可得1444
4
122
4412
12444
4342()()k k b a x y b a a b k k +===+=
所以k k k k k k k k k k k k 12223242
122342123422448+++=+++--=+=()()
……12分
22. 解：（1）由题意知：f x f x ()()118
3
++-= 即--+-+-+-+++++=a x a x x a x a x x 612116121183
3232()()[()()()]
……2分
化简得即……分
-
++==∴=-++a a a f x x x x 328
31
61
2
43
2()
（）证明：由（）知2112
12
g x f x x x ()'()==-
++
x g x x x x x x n x n x x x x n n n n n n n ++=∴=-++=--+
>≥<<
==--+<<∴<<
11221212121211213
251213
2
621213
212
132
()
()()……分由可猜想当时：……分
用数学归纳法证明：当时，
∴=当时不等式成立n 2
假设当（）时不等式成立，即，n k k x x x k k k =≥<<
=--++213212132
12() g x x g g x g x k k ()()[()()()
=--++∞∴<<<∴<<
++1213
2
1232
113
2
211在，）为减函数
成立
∴=+≥<<当时不等式也成立。

综上，对于任意都有成立
……分
n k n x n 1213
2
8
x x x x x x x n n n n n n n n ++-=--+∴-
=--+<<
≥112211
2
22212
2
13
2
2()[()]
||||||·（）
∴-+<∴-<
-≥∴|-<
-<-<<-<=+-----|||||||||||||12212
2122212212212212212121
2
1411222221x x x n x x x x n n n n n n n n n （）……分
……·证毕……分。