辽宁省沈阳二中1415学年度高二上学期12月月考——数学(理)数学(理)

辽宁省沈阳二中
2014—2015学年度上学期12月月考
高二数学理试题
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一 .选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的） 1．双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 2．若，则中最大的数为（ ）
A. B. C. D. 3．对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充分必要
D ．既不充分也不必要. 4．在各项均为正数的等比数列中, ,则的值是（ ）
A. 1
B.
C.
D. 4
5．已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点为F 1、F 2 ，离心率为，过F 2的直线l 交C 与
A,B 两点，若△AF 1B 的周长为，则C 的方程为（ ） A. B. C. D.
6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→
＝b ， A 1A →＝c ，则下列向量中与 B 1M →
相等的向量是( )
A.－12a ＋12b ＋c
B. 12a －12b ＋c
C. 12a ＋12b ＋c
D. －12a －1
2b ＋c
7．已知抛物线，是抛物线上一点，为焦点，一个定点。

则的最小值为（ ）
A. 5
B. 6
C.
D. 8．抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是 ( ) A ． B ． C ． D ．
9．已知为椭圆
22
2
1(010)100x y b b +=<<的左、右焦点，是椭圆上一点，若且的面积为，椭圆离心率为（ ）
A. B. C. D.
10．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为，
则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D.
11．设，满足约束条件且的最小值为7，则（ ）
A.-5
B.3
C.-5或3
D.5或-3
12．已知a ，b ∈R ＋
，直线ax ＋by ＝6平分圆x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0的周长，则2a ＋b ＋a ＋5b 的
最大值为( )
A ．6
B ．4
C ．3 D. 3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题：，如果，则或的否命题是 .
14.已知四面体，60PAB BAC PAC ∠=∠=∠=，，，，则 . 15．已知，，，则的最小值是 .
16．在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的
轨迹为曲线W ，给出下列四个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y ＝x 对称；
③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于1
2；
④曲线W 上的点到原点距离的最小值为 其中，所有正确结论的序号是________；
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤） 17.
在
等
差
数
列
中
,.(1)
求
数
列
的
通
项
公
式
;(2)
设
**122
(),()(12)
n n n n b n N T b b b n N n a =
∈=++
+∈-,求.
18.正方体的棱长为1，以D 为原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 点在线段上，点在线段上，且，，求(1)；(2)的坐标.
19. 已知函数.
(1)解不等式(1)(3)6f x f x -++≥；
(2)若，且，求证：.
20．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点． (1)求证：“如果直线l 过点T(3,0)，那么OA →·OB →
＝3”是真命题；
(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
21.在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题.
（1）已知动点P为圆O：外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB，A、B为切点，若，求动点P的轨迹方程；
（2）若动点Q为椭圆M：外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD，C、D为切点，若，求出动点Q的轨迹方程；
（3）在（2）问中若椭圆方程为
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>，其余条件都不变，那么动点Q的轨迹方
程是什么（直接写出答案即可，无需过程）.
22.已知抛物线：的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为4，椭圆：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的离
心率为，且过抛物线的焦点.
（1）求抛物线和椭圆的方程；
（2）过定点引直线交抛物线于、两点（在的左侧），分别过、作抛物线的切线，，且与椭圆相交于、两点，记此时两切线，的交点为.
①求点的轨迹方程；
②设点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标.
参考答案
一 .选择题：
1．C 2．D 3．B 4．D 5．A 6．C 7．B 8．A 9．A 10．D 11．B 12．C
二 .填空题： 13.，如果，则且
14. 5 15．4 16．②③④ 三 .解答题：
17.解：设的公差为,由题意得解得
得:82(1)102.n a n n =--=- …………………………………………5分 (2)∵2111
(12)(1)1
n n b n a n n n n =
==--++
1
)111()3121()211(321+=
+-+⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=n n
n n b b b b T n n …………………………………………10分
18.解：(1)由题意可知，，，， 所以，…………………2分
110(1)1011
1AB BC ⋅=⨯-+⨯+⨯= 210AB ==，1(BC =-=分
所以
1111
1
2
2AB BC AB BC ⋅=
=⋅
所以 ……………………………6分
(2)设点，，则(1,1,1)MN y x x y =----……………7分 因为，且，
所以，………………………………………………9分
即(1,1,1)(0,1,1)0
(1,1,1)(1,0,1)0y x x y y x x y ----⋅=⎧⎨----⋅-=⎩
，
化简得 解得23
23x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
………………………………11分
所以的坐标为……………………………………………12分
19. 解：（1）不等式的解集是.………………………… 6分 （2）要证，只需证，…………7分 只需证
而
，
从而原不等式成立. …………………………12分
20.证明：(1)设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)、B (3，－6)．∴OA →·OB →＝3. ………………2分
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
＝2x ，y ＝k x －
，
得ky 2－2y －6k ＝0，则y 1y 2＝－6. ………………5分
又∵x 1＝12y 21，x 2＝12y 22，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2
＝14
(y 1y 2)2＋y 1y 2＝3. 综上所述，命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →
＝3”是真命题．…………7分
(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2＝2x 于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝3，那么直线过点T (3,0)． ………………8分
该命题是假命题． ………………9分 例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝⎛⎭
⎫12，1，此时OA →·OB →
＝3， 直线AB 的方程为y ＝2
3(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上．………………12分
21.解：（1）由切线的性质及可知，四边形OAPB 为正方形， 所以点P 在以O 为圆心，长为半径的圆上，且，
进而动点P 的轨迹方程为………………………………………………3分 （2）设两切线为，
①当与轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为则， 设的斜率为，则，的斜率为，
的方程为，联立，
得222
0000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=， (5)
分
因为直线与椭圆相切，所以，得
22222
000018()4(49)9[()4]0
k y k x k y k x
--+⋅--= 化简，22222
00009()(49)()(49)40k y kx k y kx k --+-++=
进而 22
00()(49)0
y kx k --+=
所以22
20
000
(9)240x k x y k y --+-=……………………………………………7分
所以是方程222
0000(9)240x k x y k y --+-=的一个根，
同理是方程222
0000(9)240x k x y k y --+-=的另一个根，
，得，其中，…………………………9分 ②当轴或轴时，对应轴或轴，可知；
因为满足上式，综上知：点P 的轨迹方程为．……10分
（3）动点Q 的轨迹方程是…………………………………12分 22.
……………………1分
……………………3分
……………………6分
……………………7分
……………………9分
……………………11分……………………12分。