2020_2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程学案含解

2．1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
2．1.2 求曲线的方程
内容标准学科素养
1.理解曲线的方程与方程曲线的概念，会求一些简单的曲
线方程．
2.理解曲线上点的坐标与方程的解的一一对应关系.
应用数学抽象
发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第20页
[基础认识]
知识点一曲线的方程与方程的曲线
预习教材P34－35，思考并完成以下问题
前面我们学习了直线与圆及其方程，并且体会到用方程研究曲线的几何性质非常简便，也就是用代数方法研究曲线(包括直线)的几何性质，那么曲线与方程有什么关系呢？
(1)在直角坐标系中，第一、三象限角平分线l与方程x－y＝0有什么关系？
提示：设M(x0，y0)是第一、三象限角平分线上的任意一点，它到两坐标轴的距离相等，即x0＝y0，那么点(x0，y0)是方程x－y＝0的解．
反过来，如果M(x0，y0)是方程x－y＝0的解，即x0＝y0，
那么点M到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线l上．
(2)以(a，b)为圆心，r为半径的圆和方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2有什么关系？
提示：设点M(x0，y0)是圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上任一点，那么它到圆心(a，b)的距离等于半径r.
即x－a2＋y－b2＝r
即(x－a)2＋(y－b)2＝r2，这说明点M(x0，y0)是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解；反之，如果(x0，y0)是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解，则(x0，y0)到(a，b)的距离等于半径，它一定在圆上．
知识梳理曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地，在直角坐标系中，如果曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
知识点二求曲线方程的步骤
知识梳理求曲线方程的一般步骤
求曲线的方程，一般有如下步骤：
(1)建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．
[自我检测]
1．方程y＝|x|所表示的曲线为( )
A．一条直线B．两条直线
C．一条射线D．两条射线
答案：D
2．到两坐标轴的距离之差等于3的点的轨迹为( )
A．|x|－|y|＝3 B．|y|－|x|＝3
C．|x|－|y|＝±3 D．x－y＝±3
答案：C
3．如果曲线C 的方程x 2－1y
＝1，点M (a ，b )，那么点M 在曲线C 上的充要条件是________． 答案：a 2－1
b ＝1
授课提示：对应学生用书第21页
探究一 对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解
[阅读教材P 35例1]证明与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是xy ＝±k .
题型：曲线的方程与方程的曲线的判断．
方法步骤：(1)证明轨迹上任一点M (x 0，y 0)都是方程xy ＝±k 的解．
(2)再证明以方程xy ＝±k 的解为坐标的点到两坐标轴的距离之积为k .
[例1] 判断下列命题是否正确，并说明理由：
(1)过点A (3,0)且垂直于x 轴的直线的方程为x ＝3；
(2)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 中点，则中线AD 的方程为x ＝0.
[解析](1)正确．满足曲线方程的定义，故结论正确．
(2)错误．因为中线AD 是一条线段，而不是直线，所以其方程应为x ＝0(－3≤y ≤0)，故结论错误．
方法技巧 判断曲线与方程的关系，严格按定义，两个条件缺一不可．
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性．
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．
跟踪探究 1.分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线与方程|x |＝2之间的关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系；
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系．
解析：(1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解，但以方程|x |＝2的解为坐标的点不都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上．因此，|x |＝2不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.
探究二 曲线与方程的应用
[教材P 37习题2.1A 组1题]点A (1，－2)，B (2，－3)，C (3,10)是否在方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0上表示的曲线上？为什么？
解析：A (1，－2)在曲线上，因为12－1×(－2)＋2×(－2)＋1＝0，所以点A 在曲线上． B (2，－3)不在曲线上．因为22－2×(－3)＋2×(－3)＋1＝5≠0，所以点B 不在曲线上．C (3,10)在曲线上．因为32－3×10＋2×10＋1＝0，所以点C 在曲线上．
[例2]已知方程x 2＋(y －1)2＝10.
(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在上述方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 2，－m 在上述方程表示的曲线上，求m 的值． [解析](1)∵12＋(－2－1)2＝10，
(2)2＋(3－1)2＝6≠10，
∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，
点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．
(2)∵点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10， 解得m ＝2或m ＝－185
. 方法技巧 判断某个点是否是曲线上的点，就是检验这个点的坐标是否是该曲线的方程的解，若适合方程，就说明这个点在该曲线上；若不适合，就说明点不在该曲线上．
延伸探究 本例中曲线方程不变，若点N (a,2)在圆外，某某数a 的取值X 围．
解析：结合点与圆的位置关系，得a 2＋(2－1)2>10，
即a 2>9，
解得a <－3或a >3，
故所某某数a 的取值X 围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
跟踪探究 2.已知方程x 2＋4x －1＝y .
(1)判断点P (－1，－4)，Q (－3,2)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 2，m －1在此方程表示的曲线上，某某数m 的值； (3)求该方程表示的曲线与曲线y ＝2x ＋7的交点的坐标．
解析：(1)因为(－1)2＋4×(－1)－1＝－4，(－3)2＋4×(－3)－1≠2，所以点P 坐标适合方程，点Q 坐标不适合方程，
即点P 在曲线上，点Q 不在曲线上．
(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，m －1在此方程表示的曲线上，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 22＋4×m 2－1＝m －1，即m 2＋4m ＝0，
解得m ＝0或m ＝－4.
(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x －1＝y ，y ＝2x ＋7，
消去y ，得x 2＋4x －1＝2x ＋7，即x 2＋2x －8＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4，于是y 1＝11，y 2＝－1，故两曲线的交点坐标为(2,11)和(－4，－1)．
探究三 求曲线的方程
[阅读教材P 35例2]设A 、B 两点的坐标分别是(－1，－1)，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．
题型：求曲线的方程．
方法步骤：(1)建立适当的直角坐标系，设出所求轨迹上任一点M (x ，y )．
(2)确定M 的几何性质：|MA |＝|MB |.
(3)将M 的几何性质坐标化得出方程，并检验方程的解都在AB 的垂直平分线上．
[例3](1)一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程．
[解析]设P (x ，y )，则|8－x |＝2|PA |， 则|8－x |＝2x －22＋y －02，
化简，得3x 2＋4y 2＝48，
故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48.
(2)动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．
[解析]设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋32，
y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －3，y 0＝2y ， 又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上，
所以x 20＋y 20＝1，所以(2x －3)2＋4y 2＝1.
所以点P 的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.
方法技巧 1.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系．由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系．
2．求曲线方程的常用方法：直接法与代入法
(1)直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M |p (M )}直接翻译成x ，y 的形式F (x ，y )＝0，然后进行等价变换，化简为f (x ，y )＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．
(2)代入法求轨迹方程就是利用所求动点P (x ，y )与相关动点Q (x 0，y 0)坐标间的关系式，且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P 的坐标(x ，y )表示相关动点Q 的坐标(x 0，y 0)，即利用x ，y 表示x 0，y 0，然后把x 0，y 0代入已知曲线方程即可求得动点P 的轨迹方程．
跟踪探究 3.已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点M 的轨迹方程是( )
A ．y ＝2x 2
B ．y ＝8x 2
C ．2y ＝8x 2－1
D ．2y ＝8x 2＋1
解析：设M (x ，y )，则P (2x,2y ＋1)．
∵P 在曲线2x 2－y ＝0上，
∴2·(2x )2－(2y ＋1)＝0，
即8x 2－2y －1＝0，
即2y ＝8x 2－1，故选C.
答案：C
4．已知点M 到x 轴的距离和点M 与点F (0,4)的距离相等，求点M 的轨迹方程．
解析：设动点M 的坐标为(x ，y )，且点M 到x 轴的距离为d ，则d ＝|y |.由距离公式得|y |＝x －02＋y －42，
整理得x 2－8y ＋16＝0，
即y ＝18x 2＋2.故所求点M 的轨迹方程是y ＝18
x 2＋2.
授课提示：对应学生用书第22页
[课后小结]
(1)曲线与方程的定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线与方程的这一对应关系，既可以求出曲线的方程，又可以通过方程研究曲线的性质．
(2)求曲线方程的一般步骤为：①建系设点，②写集合(找条件)，③列方程，④化简，⑤证明(查缺补漏)．
(3)求曲线的方程与求轨迹是有区别的．若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等．
[素养培优]
1．忽略隐含条件而导致的错误
方程(x＋y－1)x2＋y2－4＝0所表示的曲线的轨迹是( )
易错分析由方程(x＋y－1)x2＋y2－4＝0，
得x＋y－1＝0或x2＋y2＝4，
其中x＋y－1＝0受条件x2＋y2≥4的限制，
这一点很容易忽略，导致选出错误的选项A.
考查直观想象、逻辑推理及数学运算的学科素养．
自我纠正 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4或x 2＋y 2＝4.其中当x ＋y －1＝0时，需
x 2＋y 2－4有意义，等式才成立，即x 2＋y 2≥4，此时它表示直线x ＋y －1＝0上不在圆x 2＋y 2＝4内的部分；当x 2＋y 2＝4时方程表示整个圆，所以方程对应的曲线是D.
答案：D
2．求动点轨迹方程时，对动点满足的条件考虑不全致误
在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，c ，b 成等差数列，a >c >b ，|AB |＝2，试求顶点C 的轨迹方程．
易错分析 求解本题容易出错的原因：一是忽视限制条件a >b ，二是忽视隐含条件A ，B ，C 三点不共线，而产生不合题意的点．考查逻辑推理、数学运算的学科素养．
自我纠正 以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点，建立直角坐标系(如图)， 则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )．
因为a ，c ，b 成等差数列，
所以a ＋b ＝2c ，即|AC |＋|BC |＝2|AB |，
故x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2＝4，
化简整理得，3x 2＋4y 2＝12.
由于a >b ，即
x －12＋y 2>x ＋12＋y 2，
解得x <0.
又点C 不能在x 轴上，所以x ≠－2，
所以所求的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝12(x <0且x ≠－2)．。