2019年高三八市联考数学试题(理科) 12

2019年高三八市联考数学试题
（理科）
一．选择题（每小题 5分，共60分 ）
1.设集合(){}
30S x x x =-≤，1
112x T x -⎧⎫⎪⎪
⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，则S
T =
A.[)0,+∞
B.(]1,3
C.[)3,+∞
D.(](),01,-∞+∞
2.若复数23
201934134i
z i i i i i
-=++++
++
+，则复数z 对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C.三 D.四
3.已知1，a 1,a 2,3成等差数列，1，b 1,b 2,b 3,4成等比数列，则
12
2
a a
b +的值为 A. 2 B. -2 C. ±2 D.
54
4已知双曲线22
2-13
x y a =的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合,则该双曲线的渐近线是( ） A. y= ±
1
2
x B. y=
x
C. y x =
D.
y x = 5.下列命题中，错误命题是 A.“若
11
a b
<，则0a b >>”的逆命题为真 B. 线性回归直线 ˆˆˆy
bx a =+必过样本中心(),x y C. 在平面直角坐标系中到点（1,0）和（0，1
的点的轨迹为椭圆 D. 在锐角ABC ∆中,有2
2
sin cos A B >
6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图
表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.若542345
012345(2)3(3)(3)(3(3)(3)x x a a x a x a x a x a x --=+-+-+-+-+-），则a 3=
A. -70
B. 28
C.-26
D.40
8．在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =2，c
=tan 2tan B A =，则ABC ∆ 的面积为
A. 2
B. 3
C.
D.
9.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”。

现有一个羡除如图所示，DA ABFE ⊥平面,四边形ABFE ,CDEF 均为等腰梯形，
,4,8,AB CD EF AB AD EF ===EF 到面ABCD 的距离为6，则这个羡除体积是
A. 96
B. 72
C. 64
D.58
10．已知函数()2sin()cos (0,0)
6
f x x a x a π
ωωω=++>>对任意
的
1212,)()x x R f x f x ∈+≤都有（()f x 在[]0,π
上的值域为3,⎡⎣，则实数ω的
A B
C D
E
取值范围为
A. 11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D. 12,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
11. 把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数()[]f x x =称作取整函数，又叫高斯函数， 在
[]2,5上任取
x ，则[
]x =的概率为（ ）
A ．1
4
B ．13
C ．
12
D ．
23
12.设椭圆22214x y m +=与双曲线22
2-14
x y a =在第一象限的交点为T ,且F 1,F 2为其共同的左
右 的焦点，14,TF <椭圆和双曲线的离心率分别为e 1,e 2,则的2212e e +取值范围为
A. 262,
9⎛
⎫
⎪⎝⎭
B. 527,9⎛⎫
⎪⎝⎭
C. 261,9⎛⎫ ⎪⎝⎭ D . 50,9⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
二、填空题（每题5分，共20分）
13.设变量x ，y 满足约束条件则目标函数的取值范围
是 ．
（文科）在等腰直角三角形ABC 与ABD 中，90,DAB ABC ∠=∠=︒面,ADB ABC ⊥ E F ,分别为BD ，AC 的中点，则直线AE 与BF 所成的角为
14.已知定义在R 上的函数()2y f x =-是奇函数，且满足(1)1,0+f(1)=f f -=则（
） 15.已知等边三角形ABC 的边长为8, D 为BC 边的中点，沿AD 将ABC ∆折成直二面角，
则三棱锥A-DCB 的外接球的表面积为
16.如图，点D 为ABC ∆的边BC 上一点，n 2,(n )BD DC E N =∈为AC 上一列点，满足
A
D B
C E F
n 11(41)45
n n n n E A a E D E B a +=-+
-,其中实数列{}n a 满足450,n a -≠且12a =，则
123111
1
1111
n a a a a ++++
=---- 16.如图，点D 为ABC ∆的边BC 上一点，5BC DC =，
*()n E n N ∈为边AC 上的一列点，满足
11
(321)5
n n n n n E A a E B a n E D +=-+-，若12a =，则
n a =__________．n
a =n 3-n
三、 解答题
17.（12分）已知向量(2sin(),),(sin(),2cos )44
a x x
b x x π
π
=-
=+，
函数()f x a b = （1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若2(),2
5f α
=
求sin(2)6
π
α+的值。

18.（12分）在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 为边长为2的菱形，ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且AB CD ∥，AB BC ⊥，1CD =． （1）若E ，F 分别为11A C ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ； （2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD
所成角的正弦值为，求二面角11A AC D --的余弦值．
19.有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量(均在1至11kg)频数分布表如下(单位：kg )：
(1))由种植经验认为，种植园内的水果质量Z 服从正态分布()
2N μσ，，其中μ近似为样本平均数2
x σ，近似为样本方差S 2≈2.12．请估算该种植园内水果质量在(4，8.2)（单位：kg ）内的百分比；
(2)现在从质量为[)1,3，[)3,5，[)5,7的三组水果中用分层抽样方法抽取14个水果，再从这14个水果中随机抽取3个。

（i ）求在质量为[)1,3的水果被抽到一个的前提下，[)5,7的水果刚好2个的概率； （ii ）若水果质量[)1,3，[)3,5，[)5,7的水果每销售一个所获得的的利润分别为2元，4元，6元，记（i ）中随机抽取的3个水果利润为ξ元，求ξ的分布列及数学期望。

附
：
Z
服
从
()()2=0.6826
N P Z μσμσμσ-<<+，，则，
()22P Z μσμσ-<<+=0.9544
20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点为F 1, F 2，其焦距为点
F 1关于直线l 1：(b
y x c c
=
为半焦距）的对称点E 在椭圆上。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）设圆O ：2
2
2x y +=的切线l 2交椭圆C 于A ,B 两点，求OA OB 的最大值（O 为坐标原点）。

21．（本小题满分12分）
已知函数()()()2
1,ln f x x ax g x x a a R =-+=+∈．
(1)讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；
(2)若存在与函数()(),f x g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．
四、选考题（本小题满分10分）
22.已知曲线C
的极坐标方程为2sin ρθθ+，直线1:()6
l π
θρ=
∈R ，直线
2:()3
l π
θρ=
∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求直线1l ，2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；
（2）已知直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB ∆的面积．
23.选修4－5：不等式选讲 已知函数1
()()2
f x x a a R =
-∈． （1）当3a =时，解不等式()1
22
x f x -
+≥； （2）设不等式()12x f x x -
+≤的解集为M ，若1,12M ⎡⎤
⊆⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的取值范围．
2019年高三八市联考数学试题答案(理科)
一、选择题：1.D 2.D 3.A 4.B 5.C 6.C 7. C 8.B 9.C 10.A 11. B 12. D
二、填空题：13. []0,6 14.5 15. 80π 16.
+133
22
n n -— 三、解答题
(1)()2sin()sin()cos 442sin()cos()2442cos 22sin(2)
6
f x a b x x x x
x x x
x x x ππ
ππ
π
==-++=--=-=-17.解：
35222,2
6
236
k x k k x k π
π
πππππππ+≤-
≤
+∴+≤≤+ 所以()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，()k Z ∈ ……6分
（2）21
()2sin(),sin()2
6565
f απ
παα=-
=-= 2sin(2)sin(2())cos 2()12sin ()62666
πππππ
αααα+=+-=-=--
22312525
=-= …………12分
18．【解析】（1）连接1A B ，∵四边形11ABB A 为菱形，∴11A B AB ⊥．
∵平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB BA I 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，
AB BC ⊥，
∴BC ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴1A B BC ⊥． ∵11BC B C ∥，∴111A B B C ⊥．∵11
11B C AB B =，∴1A B ⊥平面11AB C ．
∵,E F 分别为11A C ，1BC 的中点，∴1EF A B ∥，∴EF ⊥平面11AB C ．……5分 （2）设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A ，
由160A AB ∠=︒，2BA =，得
过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ， 如图所示，
又160A AB ∠=︒，∴1ABA △为等边三角形，∴1A H AB ⊥， 又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，
故1A H ⊥平面ABCD ．
∵11BCC B 为平行四边形，∴11CC BB ∥，∴1CC ∥平面11AA BB ． 又∵CD AB ∥，∴CD ∥平面11AA BB ．
∵1CC CD C =I ，∴平面11AA BB ∥平面1DC M ．
由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，∴BC ⊥平面1DC M ，∴1BC C M ⊥．
∵BC DC C =I ，∴1C M ⊥平面ABCD ，∴1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角． ∵11A B AB ∥，11C B CB ∥，∴11A B ∥平面ABCD ，11B C ∥平面ABCD ，∵11111A B C B B =I ， ∴平面ABCD ∥平面111A B C ．
在梯形ABCD 中，易证DE AB ⊥，
分别以HA uu u v ，HD uuu v ，1HA uuu v
的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．
则()1,0,0A ，
，()1,0,0B -，
，及11BB CC =uuu v uuu v
，得
设平面1ADC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，由10
0AC AD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=uuu v
uuu v m m 得 令11y =，得()3,1,2=m
设平面11AA C 的一个法向量为()222,,x y z =n ，由110
0AC AA ⎧⋅=⋅=⎪⎨⎪⎩uuu v
uuu v
n n 得 令21z =，得
又∵二面角11A AC D --是钝角，∴二面角11A AC D --的余弦值是12分
19．解：（1）20.140.1560.4580.2100.1 6.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 由正态分布知(48.2)()0.6826P Z P Z μσμσ<<=-<<+= 该种植园内水果质量在(4，8.2)内的百分比为68.26%
（2）由（1）知水果平均质量为6.1kg, A 方案收购10000个费用为： 10000⨯6.1⨯2=122000元
频率视为概率，低于5kg 的水果1000025⨯%=2500个，不低于5kg 但低于9kg 的10000⨯65%=6500个，高于或等于9kg 的10000⨯10%=1000个，B 方案收购10000个费用为： 2500 ⨯5+6500 ⨯10+1000 ⨯15=87500元<122000元
所以水果经销商选择B 方案才能获利更多
20.解：（1）连接OE,EF 2,由题意知OF 1=OF 2=OE , 1221,,3
2
F EF EF l c π
∠==
设21,tan ,sin ,cos b b c EF F c a a
θθθθ∠
====
2112,,2c b
EF EF EF EF a
a a
∴==
+= 即22
62,3,a a b a
+==+
又解得
a ==椭圆C 的方程为22163x y += …………5分
（2）（1）当切线与坐标轴垂直时4;OA OB =，
②当切线与坐标轴不垂直时，设切线为11(0),(,),y kx m k A x y =+≠
22(,),B
x y
由圆心到直线距离为2222,
d m k =
==+
联立椭圆方程得2
2
2
(21)4260,k x kmx m +++-= 2121222426
,2121
km m x x x x k k --+==++
22
2
2
121212122366(1)()0
21
m k x x y y k x x km x x m k --∴+=++++=
=+ ,,OA OB OA OB ∴⊥=
121AB x
=-=
2,3
t k AB ==≤令则
当且仅当时2k =±等号成立,
OA OB ∴≤综上所述，OA OB 的最大值为 …………12分
21．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞
2()()()ln 1(0)h x f x g x x ax x a x =+=-+++>，
所以2121
()2x ax h x x a x x
-+'=-+=
所以当2
80a ∆=-≤
即a -≤≤()0h x '>， h (x )在()0,+∞上单调递增； 当2
80a ∆=->
即a a ><-
当a <-时()0h x '>，h (x )在()0,+∞上单调递增；
当a >()0h x '=
得
a x ±=
当a >()h x 在⎛ ⎝⎭，⎫
+∞⎪⎪⎝⎭单调递增，在⎝⎭
单调递减。

（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同， 则121212
()()
()()f x g x f x g x x x -''==
-
所以21121212
1(ln )12x ax x a x a x x x -+-+-==- 所以12122a x x =
+，代入2121122
1ln x x
x ax x a x -=-+--得： 222221ln 20(*)424
a a x a x x ++++-= 设221()ln 2424a a F x x a x x =++++-，则2323
1121()222a x ax F x x x x x --'=--+=
不妨设2000210(0)x ax x --=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>
所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增， 代入00
1
=2a x x -
可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-
设21()2ln 2G x x x x x =+-
+-，则211
()220G x x x x
'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G
所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤,
又当2a x e -=时2
22421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--2211()04a a e
-=-≥ 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同． 又由12(0,1)y x x =-在单调递增得，因此(]0001=2,0,1a x x x -
∈ 所以实数a 的取值范围是(],1-∞．
22．解：（1） 依题意，直线1l
的直角坐标方程为y x =，2l
的直角坐标方程为y =． ……………………………………………………………2分
由2sin ρθθ+
得2cos 2sin ρθρθ+，
因为222
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， …………………………………………………3分
所以22((1)4x y +-=， …………………………………………………………………4分 所以曲线C
的参数方程为2cos 12sin x y αα
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）．………………………………5分 （2
）联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==，………………………6分
同理，2OB ρ=
=7分 又6
AOB π
∠=， …………………………………………8分
所以111sin 4222
AOB S OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯=9分 即AOB ∆
的面积为 ……………………………10分
23．解：（1）当3a =时，原不等式可化为3214x x -+-≥， …………………1分 ①当12x ≤
时，原式为3124x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ……………2分 ②当132
x <<时，3214x x -+-≥，解得2x ≥，所以23x ≤<； ……………3分 ③当3x ≥时，3214x x -+-≥，解得83
x ≥，所以3x ≥． ……………4分
综上所述，当3a =时，不等式的解集为{}|02x x x ≤≥或． ……………5分 （2）不等式1122
x x a x -+-≤可化为212x x a x -+-≤， 依题意不等式212x x a x -+-≤在1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，……………………6分 所以212x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+， ………………8分 所以11211a a ⎧-≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得302a ≤≤， ………………10分。