大学视角2020(2)

李尚志
lisz@
大学视角下的
中学数学
核心素养与道德经
核心素养：道: 1.数学抽象, 2.逻辑推理. 3. 数学建模.
兵法：核心素养. 高德地图.
1. 数学抽象= 道法自然. 1 → 0. 案例 →规律.
2. 逻辑推理 = 道生一,一生二,二生三.0 → 0 公理→定理.
3. 数学建模=三生万物. 0 → 1. 现成理论
剑法: 4 直观想象, 5数学计算, 6数据处理.
字母运算抽象认识无穷
愚公移山, 永远挖不完。

字母运算认识无穷
13 – x – x = 6 => 2x = 13 – 6 = 7 => x = 3.5
神仙下凡，一招制胜。

一个字母一网打尽无穷多个数.有限生命能否认识无穷? 能! 数虽无穷, 共同运算律有限.字母运算, 靠运算律一次搞定无穷.
什么是代数
算术与代数: 加减乘除.
算术:已知数的加减乘除. 不同具体数(整数,分数,正数,负数,...)规定不同运算法则.
代数: 字母(代表任意数)的加减乘除,按共同运算律运算.运算结果适用于所有数. 抽象代数: 适用于满足同样运算律的所有对象.
逻辑推理: 谁推谁? 公理推定理.代数的最高公理是运算律.
公理不是基本事实,是基本假设.公理没有对错,公理推定理有对错.
比如,乘法交换律对不对?方阵乘法不满足交换律,不是交换律不对.
而是交换律管不了方阵乘法 ⇒ 方阵乘法不能享用交换律推出的结论.例2.(a+b)(a-b)=a2-b2用到ab=ba, 不适用于方阵.适用于所有的数. 取a=-1, b=1 得(-1)2-12=(-1+1)(-1-1)=0(-1-1)=0 ⇒(-1)2=1.
读了初中都懂平方差公式，却有很多人不懂 (-1)2=1. 因为不懂逻辑!
加法与乘法
加法:不同加法的共同点来定义. 满足运算律: (1) 交换律; (2) 结合律;
(3) 0的性质: a+0=a对所有a 成立; (4) 负元: (-a)+a=0, a=-(-a).
满足这4条运算律⇒授予加法称号. ⇒待遇: 共享公式.
例3. 向量加法需要验证运算律？鉴定加法称号资格.
证明. 三角形法则. 几何⇒结合律;OO+OA=OA;OA+AO=0;
交换律:(边角边) D OAB ≅D CBA ⇒ a+b=OB=AC=b+a.
数的乘法同样满足这4条, (3),(4) 改变了记号,实质不变.
(3) 1对所有a满足 1a=a; (4) 如果ab=1, 定义b = a-1, a=b-1=(a-1)-1.
乘法对加法的分配律: a(b+c)=ab+ac对任意a,b,c成立.
定理:0a=0. 证明: 0a=(0+0)a=0a+0a⇒0=0a+(-0a)=(0a+0a)+(-0a)=0a.
相同加数连加: na={n个a之和}. 归纳:1a=a. na=((n-1)+1)a=(n-1)a+a.
减法与除法
减法: 已知两数和及其中一个加数, 求另一个加数, 这样的运算叫减法. 除法: 已知两数乘积及其中一个因数, 求另一个因数, 叫除法.
求 a-b=x就是求x 满足x+b=a; 求a÷b=y, 就是求y满足by=a.
小学老师问怎么解释 80÷4/5. 说学生很难接受. 我问 80⨯4/5 能接受吗?他们说这还好接受. 80平分成5份, 占4份. 80÷4/5 怎么分, 很难说清楚.
我问为什么一定要平分?他们说 80÷4 就是平分. “平分是除法的本质”. 平分是特例不是本质. 乘法才是本质. 管得宽,越抽象越简单, 才是本质. 80÷4/5 就是找 ? ⨯ 4/5=80. 先找 5/4⨯4/5=1. 再乘80得 (80⨯5/4)⨯ 4/5=80⇒ 80÷4/5 = 80⨯5/4. 平分也可解释:某数5等分, 4份是80,每份20,5份100. 学生难懂. 具体例子有特殊性, 更复杂. 抽象方法只管普遍性, 最简单. 80÷4: 4等分, 每份⨯4=80. 还是乘法. 8÷4 背二四得八. 不背除法口诀.
算术创世纪
例4. 为什么自然数的加法和乘法满足运算律?
解. 掰手指数数. 先握拳头, 就是0. 然后伸出一根一根的手指. 0依次加1生成全体自然数: 0+1=1, 1+1=2, 2+1=3. 依次定义1,2,3,....
3+2: 先数了3根手指, 再把2=1+1拆成两个1, 先 3+1=4, 再4+1=5.
就是 3+2=3+(1+1)=(3+1)+1=4+1=5, 用结合律定义加法.
为什么 3+2=2+3？不是 3与 2 交换顺序, 而是 (1+1+1)+(1+1) =(1+1)+(1+1+1), 前面3个1 划一个给后面, 这是结合律推出交换律.
矩阵乘法不交换, 同一A的幂交换: A3A2= (AAA)(AA)=(AA)(AAA) =A2A3.
几个相同加数连加的简便算法叫乘法. 于是 2(a+b)=(a+b)+(a+b)=a+a+b+b =2a+2b. 类似可得n(a+b)=na+nb. 这是由交换律推出分配律 .
自然数扩充, 添加分数、负数、无理数, 新数新运算必须满足旧的运算律.
分母为零
例5. 为什么 0不能做除数? 最无赖的解释是“规定”。

凡是不讲理由的规定都是无知+无赖. 不会解释, 就耍无赖强迫接受. 这样的教材和教师都与科学无缘. 解释不清楚, 就说以后学了就知道. 我写教材绝不如此。

(不排除编辑自己加的。

)
规定有两种: 1. 只能如此, 唯一选择. 2. 若干种可能, 任选其一。

例如, 单位长可以任选>0的长度. 直线上的正方向有两种选择.
a÷0 千万别解释为“分成0份”, 只说是求x 满足 0x=a.
0x=0=a 当 a≠ 0 无解, a÷0无解。

当a=0,0÷0等于任意数. 都无意义. 如果有别的条件约束 0÷0, 可以有意义。

例如f(x)/g(x)→某极限。

指数不为正整数
零指数：例6. 为什么 a0=1, 而不是a0=0 ?
解. a n是n个a的乘积. a0如果是 0 个a的乘积不好理解。

a n⨯a0=a n+0=a n : n个a 的乘积再乘a0 , 增添0个还是n个a.
乘 a n不变的 a0是 1 不是 0.特别地：aa0=a1+0=a1=a ⇐ a0= 1. 充分. 必要？ aa0-a=a(a0-1)=0 ⇒当a≠ 0 时a0-1=0, a0=1唯一. a=0, 00= 任意数, 无意义.函数 f(x)=x0, 当x→+0，00=1.
负指数: a n/a=a n-1 . a0=a/a=1. 1/a=a0-1=a-1. a-1=1/a n.
分指数: a > 0 可以定义a n/m= (a n的 m 次算术根)=(a 的 m 次算术根)n。

(-1)1/3=(-1)2/6 怎么定义？有的“书”说必须先把2/6约分为1/3再开立方。

1/3=2/6=k/3k 有无穷多不同的坐标 (k,3k), 所有坐标就都等价, 算出结果相等. 每个复数a+b i=r(cos a+isin a) 有无穷多个幅角a+2k p, 正实数r可以选a=0 使指数函数f(x)=r x 连续。

负实数 -r不能使f(x)=(-r)x都取实数值。

负 数
什么是负数-1,-2, ... ? 绝对不能定义为“前面加负号的数”。

(无+赖) 0+1= +1=1 可以省略 0 再省略+。

0-1=-1 也可以省略 0 简写为-1.
-1=0-1 ⇔ (-1)+1=0 ⇒ 1=0-(-1)=-(-1)
⇒ {(-1)a+a=(-1+1)a=0a=0 ⇒(-1)a= -a} ⇒取a=-1 得 (-1)(-1)=-(-1)= 1也可根据(-1)2= (-1)2=(-1)2+=(-1)()+1=(-1)+1=1.
整个推理过程只用到：交换律, 结合律, 分配律,0+a=a, 0a=0, (-1)+1=0.
乘除：a,b,c>0, (-a)8/[(-b)5(-a)3]=(-1)-5-3a8-3/b5=a5/b5.
加减：(-5)+3=(-2)+(-3)+3=-2, (-5)+9=(-5)+5+4=4.
道法自然, 三生万物: 1) 退步再退步, 负加负更负.
2) 后转两次转向前, 负负为正很显然. 3)倒车入库.
4) 平方得负岂荒唐, 左转两番朝后方. i2=-1.
5) 棣美弗:(cos a+isin a)n=cos n a+isin n a.
现成知识解决不现成问题
例6. 零向量平行于任意向量 垂直于任意向量
例7. 1既不是质数，也不是合数. 是什么？可逆元=0个素因子。

复数的几何模型
复数的几何模型
复数的几何模型
运算封闭性
例10. (IMO1975)
解.
形式幂级数
例11.(斐波那契)数列{F n}满足 F1=F2=1, F n=F n-1+F n-2 . 求通项公式.
解. U=x+x2+x=右移一位不定元x x U= x+x2+
x2U= x2+
(1-x-x2)U= -x=1
⇔
⇔
⇔⇔⇔通项F n=A a n-1+ B b n-1
三角形面积
例12.。