我国人民大学出版社[第四版]高等数学一第8章课后习题详解

第八章空间解析几何与向量代数
习题7-1
★★1．填空：
（1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥
（2） 要使
b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向
★2．设c b a v c b a u
-+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32-
知识点：向量的线性运算
解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=-
★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点
R 在线段PQ 上，且
n
m
RQ
PR =
，证明点R 的向径为 n m m n
+=
+r r r 12
知识点：向量的线性运算
证明：在OPQ ∆中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+=
n
m m
PQ n m m PR ，
∴n
m m n n m m
PR OP OR
++=-++
=+=22r r r r r 1
11)(
★★4．已知菱形
ABCD 的对角线b a AC ==B D , ，试用向量b a , 表示DA CD BC AB , , , 。

知识点：向量的线性运算
解：根据三角形法则， b a ==-==+B , ，又ABCD 为菱形，
∴
=（自由向量），
∴222
AB AC BD AB CD DC AB --=-=-⇒=
⇒=-=-=
a b b a
a b ∴
2b a +=
=，2
DA +=-a b
★★5．把ABC ∆的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点
A 连接，试以
a c == , 表示向量 , , 321D D D 和D 4。

知识点：向量的线性运算
解：见图7-1-5，
根据三角形法则，
)5
1(51 ,11111a c +-=-=⇒=
=+AD D BD AD BD 同理：)5
4
( ),53( ),52((432a c a c a c +-=+-=+-=A D A D A D
习题7-2
★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
(2 , 2 , 3)A -； 5) , 3 , 3(-B ； )4 , 2 , 3(--C ； 2) , 3 , 4(--D
答：(2 , 2 , 3)A -在第四卦限，5) , 3 , 3(-B 在第五卦限，)4 , 2 , 3(--C 在第八卦限，
2) , 3 , 4(--D 在第三卦限
★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：
A B C D -(2,3,0); (0,3,2); (2,0,0); (0,2,0)
知识点：空间直角坐标
答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，
∴点
A 在xoy 坐标面上；
B 在yoz 坐标面上；
C 在x 轴上；
D 在y 轴上。

★3．求点a b c (,,)关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。

答：（1）a b c (,,)关于xoy 面的对称点的坐标为),,(c b a -；关于xoz 面的对称点的坐标为),,(c b a -；
关于yoz 面的对称点的坐标为),,(c b a -。

（2）a b c (,,)关于x 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；关于y 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；
关于z 轴的对称点的坐标为),,(c b a --
（3）a b c (,,)关于原点的对称点的坐标为),,(c b a ---
★★4．过点P x y z 0
000(,,)分别作平行于z 轴的直线和平行于xoy 坐标面的平面，问在它们上面的点的坐
标各有什么特点？
答：过点P x y z 0000(,,)平行于z 轴的直线上的点x 、y 坐标一定为00,y x ，因此坐标为x y z 00(,,)；过点P x y z 0
000(,,)平行于xoy 坐标面的平面上的点的竖坐标一定为0z ，因此坐标为x y z 0(,,) ★5．求点M -(5,3,4)到各坐标轴的距离。

解：∵),,(z y x M 到x 轴的距离为22y z +
∴M -(5,3,4)到x 轴的距离为516922=+=+y z ；
同理M -(5,3,4)到y 轴的距离为
41162522=+=+z x ；
M -(5,3,4)到z 轴的距离为3492522=+=+y x
★★6．在yoz 面上，求与三点
A B C --(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)等距离的点。

知识点：空间两点的距离
解：∵所求点在yoz 面上，∴设所求点的坐标为),,0(z y ，由条件可知：
2
22222)1()5()2()2(16)2()1(9-+-=++++=-+-+z y z y z y
⎩⎨
⎧-==⇒⎩⎨⎧=--=+⇒2
1
64543z y z y z y ，∴所求点为)2,1,0(- ★7．已知两点M M -12(0,1,2),(1,1,0)，试用坐标表示式表示向量
M M M M -1212,2。

知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算
解：}2 , 2,1{21--=M M ；}4 ,4 ,2{}2 , 2,1{2221-=---=-M M
★8．求平行于向量=-a
{6,7,6}的单位向量
知识点：向量的坐标表示及代数运算
解：平行于向量=-a {6,7,6}的单位向量有和a 同向和反向两个，
∴}116
,117 ,116{}6,7,6{36
49361-±=-++±=±
=a a a
★★9．已知两点
M M 12(3,0,2)，计算向量M M 12的模、方向余弦、方向角。

知识点：向量的坐标表示及代数运算
解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得：
2
2cos ,21cos , 2121}1 , 2 , 1{21-=-=
=++=⇒--=βαM M
21cos =
γ3
, 43 , 32πγπβπα===⇒
★★10．已知向量a 的模为3，且其方向角αγβ===60,45
，求向量a 。

知识点：向量的坐标表示及相关概念
解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得：
}2
3,223,23{}3cos ,4cos
,3
{cos
3}cos ,cos ,{cos ===ππ
π
γβαa a ★★11．设向量a 的方向余弦分别满足
αβαβ====(1)cos 0,(2)cos 1,(3)cos cos 0
问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何？
知识点：向量的方向余弦
解：（1）0cos =α表示向量和x 轴正向夹角为
2
π
，因此该向量和x 轴垂直，或平行于yoz 面 （2）1cos =β表示向量和y 轴正向夹角为零，因此该向量和y 轴平行且方向相同 （3）0cos cos ==βα表示向量和x 、y 轴正向夹角都为
2
π
，说明该向量和x 、y 轴都垂直，因此平行于z 轴
★12．已知
=r r 4,与轴μ的夹角是60
，求j μr Pr 。

知识点：向量在轴上的投影
解：根据投影公式2
),cos(Pr ==∧
μr r r μj
★★13．一向量的终点为B
-(2,1,7)，它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为-4,4,7，求该向量的起点
A 的坐标。

知识点：向量在坐标轴上的投影
解：∵向量的坐标分量即为它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影，设起点A 为),,(z y x A ，则：
)0 3, ,2(),,(}7 ,4 ,4{}7 ,1 ,2{-=⇒-=----=z y x z y x AB
★★14．求与向量=-a
{16,15,12}平行，方向相反，且长度为75的向量b 。

知识点：向量的坐标表示及代数运算
解：由条件可得：b a λ=，b 长度为75，∴ 375121516222±=⇒=++±λλ
∵b 和a 反向，∴3-=λ
⇒b {48,45,36}λ=--a =，
习题7-3
★★1．设
5 , 3==b a ，且两向量的夹角3/πθ=，试求)23()2(b a b a +⋅-。

知识点：向量的数量积及其运算规律
解：根据数量积的运算规律：2
2
4623)23()2(b a b b a a b a b a -⋅-⋅+=+⋅-
2
2443b
b a a -⋅-=，∵103)23()2(2
15
)cos(-=+⋅-⇒=
⋅=⋅∧
b a b a b a b a b a ★★2．已知(3,1,3)
3,3,1),( ),2 ,1,1(321M M M -，求同时与3221 , M M M M 垂直的单位向量
知识点：向量的向量积
解：∵由向量积性质：b b a a b a ⊥⨯⊥⨯ ,，}2 ,2,0{ , }1{2,4,3221-=-=M M M M
∴k j i k
j i
4462
2
014
2
3
221--=--=⨯M M M M 为同时与3221 , M M M M 垂直的向量 ∴所求单位向量为}172 , 172,173{
}2 ,2,3{2
2312
2
2
-
-
±=--++±
★3．设力
k j i f 532+-=作用在一质点上，质点由1,1,2)(1M 沿直线移动到3,4,5)(2M ，求此力
所做的功（设力的单位为N ，位移的单位为m ）
知识点：数量积的物理意义
解：数量积的物理应用之一：力沿直线作功。

位移为}3,3,2{21=M M ，
∴)(10)332()532(21m N M M ⋅=++⋅+-=⋅=k j i k j i f W
★4．求向量3,4)4,{-=a
在向量2,2,1}{=b 上的投影。

知识点：向量在轴上的投影
解：根据公式2),cos(Pr =⋅=⨯⋅==∧
b
b
a b a b a a
b a a a b j 。

★★5．设2,1,4}{ , }23,5,{=-=b a
，问λ与μ有怎样的关系能使b a μλ+与z 轴垂直？
知识点：两向量垂直的充要条件
解：根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零，取z 轴的单位向量)1,0,0{，则
(){0,0,1}2402λμλμλμ+⋅=-+=⇒=a b
★★★6．在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为
1x 的点1P 处，有一与1OP 成角1θ的力1F 作用着，
在O 的另一侧与点O 的距离为2x 的点2P 处，有一与2OP 成角2θ的力2F 作用着，如图，问1θ，2θ，1x ，
2x ，1
F ，
2
F 符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
知识点：向量积的物理应用
解：1P 处1F 作用产生的力矩11F M ⨯=1OP ，2P 处2F 作用产生的力矩22F M ⨯=2OP ，要使杠
杆平衡，只要
21M M =2211sin sin θθ21F F x x =⇒
★★7．设j i c k j i b k j i a
2 ,
3 , 32-=+-=+-=，求
（1）b c a c b a )((⋅-⋅)； （2）)()(c b b a +⨯+； （3）c b a ⋅⨯)(
知识点：向量运算的坐标表示
解（1）}24 ,8 , 0{88)((--=-=⋅-⋅b c b c a c b a )
（2）k j k
j i
c b b a
--=--=-⨯-=+⨯+3
32443}3 ,3,2{}4 ,4,3{)()(
（3）2}0 ,2,1{1} ,5 ,8{)3
11
132()(=-⋅--=⋅--=⋅⨯c k
j
i
c b a
★★★8．直线
L 通过点2,1,3)(-A 和,2)1
,0(-B 求点10,5,10)(C 到直线L 的距离。

知识点：向量积
思路：在C B A ,,为顶点组成的三角形中，AB
边上的高即为所求距离。

解：设所求的距离值为h 3
=
，又根据向量积的性质：1
2
S
AB AC ABC
=
⨯∆
21032
1
2303226107
4
12
122
=⇒⨯=⨯=
⇒=⇒+--=--=⨯∆h h S AC AB ABC k j i k
j i
★★★★9．试证向量
b
a a
b b a ++表示向量a 与b 夹角的平分角线向量的方向。

思路：按题意，只要证该向量在a 方向上的投影和它在b 方向上的投影相同。

解：设b a a
b b a
c ++=
，,)()(Pr b
a a
b b a a b b a a a b a b a a a a b a
c a c +⋅++=+⋅++⋅=⋅=a j
而c b
a a
b b a a b b a b b b a b a b a b b b
c b c a b j j Pr )()(Pr
=+⋅++=+⋅++⋅=⋅=
又)( , )1(b
a b b a b
a a
b b a
c +=
-+=++=
k k k ∴c 和a 、b 在同一平面上，
∴c 表示向量a 与b 夹角的平分角线向量的方向
★★10．设b a n , b a m
+=+=k 2，其中2 , 1==b a ，且b a ⊥。

知识点：向量的数量积、向量积及其性质
（1）k 为何值时，n m
⊥？
解：0=⋅⇔⊥n m n m ，由04)2(2)()2(0=+⋅++=+⋅+⇒=⋅b a b a b a n m k k k
∵b a
⊥，∴0=⋅b a 2-=⇒k
（2）k 为何值时，m 与n 为邻边的平行四边形面积为6。

解：m 与n 为邻边的平行四边形面积b a b a b a n m ⨯-=+⨯+=⨯=)2()()2(k k S
∵b a
⊥，∴2==⨯b a b a 1622-=⇒=-=⇒k k S 或5=k
★★★11．设c b a ,,均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但b a +与c 共线，b c +与a 共线，试
证
0c b a =++。

证明：∵b a +与c 共线，b c +与a 共线，∴可设)0,0(, ,)(2121≠≠=+=+λλλλ a b c c b a
代入可推得b a )1()(112λλλ+=-⇒，又∵其中任意两个向量不共线，则由b a ,不共线且为非
零向量，可得：
⇒-==⇒=+=-10112112λλλλλ0c b a =++
★★★12．试证向量k j i c k j i b k j i a
6123 , 432 , 23++-=--=++-=在同一平面上，并沿
a 和
b 分解
c 。

知识点：向量的混合积及其几何意义
解：根据向量混合积的几何意义：c b a ,,共面⇔0)(=⋅⨯c b a ，
又015203306
12
3432231
)(=⨯+⨯--=----=⋅⨯c
b a ，∴
c b a ,,共面
设c =b a 21λλ+，将c b a ,,代入 642 ,12)(3 ,32=-=--=-⇒
212112λλλλλλ
b a
c +=⇒==⇒5 1 ,521λλ
★★★13．设点
C B A ,,的向径分别为k j i r k j i r k j i r 3219104 , 573 , 42++=++=++=，
试证：
C B A ,,三点在一直线上。

思路：只要证：向量和平行
证明：{3,7,5}{2,4,1}{1,3,4}AB OB OA =-=-=；
{4,10,9}{2,4,1}{2,6,8}AC OC OA =-=-=
∵
2//AC AB AB AC =⇒
★★★14．已知},,{ , },,{ , },,{321321321c c c b b b a a a ===c b a
，试利用行列式的性质证明：
b a
c a c b c b a ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯)()()(
证明：32
1
321
321
)(c c c b b b a a a =⋅⨯c b a ， 3
2
1
321
321)(a a a c c c b b b =⋅⨯a
c b ，
而行列式
3
2
1
321321
a a a c c c
b b b 是行列式
3
2
1
321321
c c c b b b a a a 交换两次两行得到，
∴a c b c b a ⋅⨯=⋅⨯)()(。

同理可证：b a c a c b ⋅⨯=⋅⨯)()(， ∴b a c a c b c
b a ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯)()()(
★★★15．试用向量证明不等式：
3
322112
32221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++⋅++。

思路：2
32
22
1a a a ++可看作向量},,{321a a a =a 的模；
2
3
2221b b b ++是向量},,{321b b b =b
的模，而332211b a b a b a ++是b a ⋅的值。

证明：设},,{321a a a =a ，},,{321b b b =b ，则2
3
2221232221,b b b a a a ++=++=b a
∵b
a b a b a b a b a ⋅≤⇒⋅=⋅∧
)cos(
即：
3
322112
32
22
12
32
22
1b a b a b a b b b a a a ++≥++⋅++
习题7-4
★1．求以点)2 ,2,1(-O 为球心，且通过坐标原点的球面方程。

知识点：空间两点的距离
解：设球面上点的坐标为),,(z y x ，则根据两点距离公式：2
2
2
2
)2()2()1(R z y x =-+++-，
∵原点在球面上，∴,32)2(1222=+-+=R
∴球面方程：9)2()2()1(222=-+++-z y x 。

★2．一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，求该动点的轨迹方程。

解：设动点的坐标为（z y x ,,），则根据等距离的条件：
222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x
∴动点的轨迹方程为：0631044=-++z y x
★3．方程
07442222=--+-++z y x z y x 表示什么曲面？
解：方程可化为：16)2()2()1(2
2
2
=-+++-z y x ∴该方程表达的是以)2 ,2,1(-为球心、半径
为4的球面。

★★4．将xoz 坐标面上的抛物线
x z 52=绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。

知识点：旋转曲面
解：∵xoz 坐标面上的抛物线x z 52
=是绕x 轴旋转
∴旋转曲面方程为x z y x z y 55)(22222=+⇒=+±
★★5．将xoz 坐标面上的抛物线
922=+z x 绕z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。

解：∵xoz 坐标面上的抛物线92
2
=+z x 是绕z 轴旋转
∴旋转曲面方程为99)(2222222=++⇒=++±
z y x z y x 。

★★6．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？
（1）0=x
； （2）1+=x y ； （3）422=+y x ； （4）122=-y x
答：（1）0=x 在平面解析几何中表示y 轴，在空间解析几何中表示yoz 坐标面
（2）1+=x y 在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示平行于z 轴，在xoy 坐标面上投
影为
1+=x y 的一个平面。

（3）422
=+y x
在平面解析几何中表示xoy 面上，原点为心、半径为2的圆线，在空间解析几何中表
示准线为xoy 面上的圆线422
=+y x ，母线平行于z 轴的圆柱面。

（4）122
=-y x
在平面解析几何中表示xoy 面上的双曲线，在空间解析几何中表示准线为xoy 面上的
双曲线122
=-y x
，母线平行于z 轴的双曲柱面。

★★7．说明下列旋转曲面是怎样形成的：
（1）1994222=++z y x ； （2）14
222
=+-z y x ； （3）1222=--z y x 。

知识点：旋转曲面
解：方程1994222=++z y x 可变化为19
)(42
222=+±+z y x ，∴方程表达的是：xoy 坐标面上的曲线19
422=+y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面 注：方程1994222=++z y x 也可看作是：xoz 坐标面上的曲线19
42
2=+z x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面
★★8．指出下列各方程表示哪种曲面：
（1）0222
=-+z y x
； （2）022=-y x ； （3）022=+y x
（4）03=-z y ； （5）0342
=+-y y ； （6）
11692
2=+y x （7）19
2
2
=-y x ； （8）y x 42=； （9）0222=--y x z 答：（1）方程表达开口向着z 轴正向的圆抛物面（或旋转抛物面）
（2）2
20x y -=⇒y x =或y x -=，∴表达两个垂直于xoy 面的平面：y x =；y x -= （3）2
200,0x
y x y +=⇒==∴表示z 轴
（4）平行于x 轴且经过yoz 面上的直线03=-z y 的平面
（5）
3=y 和1=y 这两个平行于xoz 坐标面的平面
（6）准线为xoy 坐标面上的椭圆
116
92
2=+y x ，母线平行于z 轴的椭圆柱面
（7）准线为xoy 坐标面上的双曲线19
2
2
=-y x ，母线平行于z 轴的双曲柱面 （8）准线为xoy 坐标面上的抛物线y x 42
=，母线平行于z 轴的抛物柱面
（9）yoz 坐标面上的直线
z y =绕z 轴旋转一周所得的圆锥面
习题7-5
★★★1．画出下列曲线在第一象限内的图形：
（1）⎩⎨⎧==42y x ； （2）⎪⎩
⎪⎨
⎧=---=092
2y x y x z ； （3）⎩⎨⎧=+=+2
222
22a
z x a y x
解（1）
（2）
（3）
★★2．方程组⎩
⎨⎧-=+=522
5x y x y 在平面几何与空间解析几何中各表示什么？
答：方程组⎩⎨
⎧-=+=5
22
5x y x y 在平面几何中表示两条直线的交点，在空间解析几何中表示垂直于
xoy 坐标面
的两平面的交线。

★★3．方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+2
19
422x y x 在平面几何与空间解析几何中各表示什么？
答：方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+2
19
422x y x 在平面几何中表示一个点（2，0），在空间解析几何中表示椭圆柱面
1942
2=+y x 和平面2=x 的交线：⎩⎨⎧==0
2y x 。

★★4．求曲面
z y x 10922=+与yoz 平面的交线。

解：yoz 平面方程为0=x ，∴交线为22291091000x y z y z
x x ⎧⎧+==⇒⎨⎨==⎩⎩
★★5．分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0
16
22
22222y z x z y x 的柱面方程。

知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线
解：要求过曲线⎩⎨⎧=-+=++0
16
22
22222y z x z y x 且母线平行于x 轴的柱面方程，只要方程组消去变量x
∴所求柱面方程为16322
=-z y
要求过曲线⎩
⎨⎧=-+=++016
2222222y z x z y x 且母线平行于y 轴的柱面方程，只要方程组消去变量y
∴所求柱面方程为2
23216x
z +=
★★6．求曲线⎩⎨
⎧=++=+9
1
2
22z y x z x 在xoy 面上的投影方程。

知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线 解：要求曲线⎩⎨
⎧
=++=+9
1
2
2
2
z y x z x 在xoy 面上的投影方程，只需方程组消去变量z
∴所求柱面方程为：8229)1(22222
=-+⇒=-++x y x x y x
★★7．求曲线⎩⎨
⎧
=-+-++=+-033230
12
2
z x yz z x z y 在xoz 面上的投影方程。

解：要求曲线⎩⎨
⎧
=-+-++=+-0
33230
12
2
z x yz z x z y 在xoz 面上的投影方程，只需方程组消去变量y
∴所求投影方程为：224230
0x z x y ⎧+--=⎨=⎩
★★★8．将曲线⎩
⎨⎧==++x y z y x 9
222 化为参数方程。

思路：若将x y =代入92
2
2
=++z y x ，可得922
2=+z x ，因此可通过椭圆方程的参数式求出曲
线的参数式。

解：将x y =代入92
2
2
=++z y x ，可得922
2=+z x ，该方程可用参数式表达为：
⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θsin 3cos 223z x ，∴曲线⎩⎨⎧==++x y z y x 9222的参数式为⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧===θθ
θsin 3cos 223cos 223z y x
★★★9．将曲线的一般方程⎩
⎨⎧==+++-04
)1()1(222z z y x 化为参数方程。

解：将0=z 代入4)1()1(2
2
2
=+++-z y x ，⇒可得：3)1(2
2=+-y x ，
该圆方程的参数式为：⎩⎨⎧=+=θ
θ
sin 3cos 31y x ，
∴曲线⎩⎨⎧==+++-04)1()1(2
2
2
z z y x 的参数方程为：⎪⎩
⎪⎨⎧==+=0sin 3cos 31z y x θθ。

★★10．指出下列各方程组表示什么曲线：
（1）⎩⎨⎧=-=+030
2y x （2）⎩⎨⎧=-=++0220222z z y x （3）⎩⎨⎧==+-13694222y z y x
（4）⎩
⎨⎧-==-24422y z
y x （5）⎩⎨⎧==-88422z z y x
答：（1）两平面的交线，该直线平行于z 轴
（2）表示球面2
2220x
y z ++=与平行于xoy 面的平面2z =的交线，为一在2z =平面上的圆线：
2216
2
x y z ⎧+=⎨
=⎩ （3）表示单叶双曲面
2224936x y z -+=和1y =平面的交线，为一在1y =平面上的椭圆线：
22940
1x z y ⎧+=⎨
=⎩
（4）表示双曲抛物面（即马鞍面）2
244x
y z -=与2y =-平面的交线，为一在2y =-平面上的抛
物线：21642x z
y ⎧-=⎨=-⎩
（5）表示双曲抛物面（即马鞍面）2
248x
y z -=与8z =平面的交线，为一在8z =平面上的双曲线：
22464
8x y z ⎧-=⎨
=⎩
★★★11．求旋转抛物面
)40(22≤≤+=z y x z 在三坐标面上的投影。

知识点：曲面的投影和空间区域的投影
解：见图7-5-11，
（1）由于旋转抛物面)40(2
2
≤≤+=z y x z 投影到xoy 面上时，它的边界线是⎩⎨
⎧=+=4
2
2z y x z ，
∴在xoy 面上的投影为：⎩⎨⎧=≤+0
4
22z y x ；
（2）由于旋转抛物面)40(22≤≤+=z y x z
投影到yoz 面上时，它的边界线是：
⎩⎨
⎧=≤≤+=0)40(,22x z y x z ∴在yoz 面上的投影为：⎩⎨⎧=≤≤0
4
2x z y （3）同理，旋转抛物面)40(2
2
≤≤+=z y x z 在xoz 面上的投影为：⎩⎨⎧=≤≤0
4
2y z x
★★★12．假定直线
L 在
yoz 平面上的投影方程为⎩⎨
⎧==-0
1
32x z y ，而在
zox 平面上的投影方程为
⎩
⎨⎧==+02
y z x ，求直线L 在xoy 面上的投影方程。

解：∵直线L 在yoz 平面上的投影方程为⎩⎨
⎧==-0
1
32x z y ，∴直线L 一定在投影柱面132=-z y 上，
同理，直线L 也一定在投影柱面2=+z
x 上，∴直线L 方程为⎩⎨
⎧=+=-2
1
32z x z y ，消去z 得到直线L 在
xoy 面上的投影方程：⎩
⎨⎧==+07
23z y x
y
习题7-6
★ 1． 求通过点)3,4,2(-且与平面5532=-+z y
x 平行的平面方程。

知识点：平面及其方程
思路：已知平面上的一点和平面的法矢，可求出平面方程
解：∵所求平面∏与已知平面5532=-+z y x 平行，∴∏的法矢}5,3,2{-=，
由平面的点法式方程可得∏：315320)
3(5)4(3)2(2=-+⇒=+--+-z y x z y x
★2．求过点0(2,9,6)M -且与连接坐标原点及点0M 的线段0OM 垂直的平面方程。

知识点：平面及其方程
解：∵所求平面∏与0OM 垂直，∴∏的法矢0{2,9,6}n OM ==-，又∏过点0(2,9,6)M -，
∴∏：2(2)9(9)6(6)0296121x y z x y z
-+--+=⇒+-=
★★3．求过点)3,0,2( , )3,2,3( , )2,1,1(321M M M 三点的平面方程。

思路：根据条件，平面过已知点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。

解：∵所求平面∏过三点)3,0,2( , )3,2,3( , )2,1,1(321M M M ，∴平面∏的法矢n 应满足：
3121 , M M n M M n ⊥⊥，}1 , 1,1{ , {2,1,1}3121-==M M M M ；
∴可选择k j i k
j i
321
1111
2
3121--=-=⨯=M M M M ，
∴∏：05320)
2(3)1()1(2=+--⇒=-----z y x z y x
注：三点)3,0,2( , )3,2,3( , )2,1,1(321M M M 组成的任意两个向量的向量积都可作为平面∏的法矢n
★★4．平面过原点
O ，且垂直于平面02321=-++∏z y x :，02562=++-∏z y x :求此
平面方程。

思路：根据条件，已知平面过原点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。

解：设所求平面∏和已知平面1∏、2∏的法矢分别为n 、1n 、2n ，
∵∏
1∏⊥，∏⊥2∏，∴⊥1n ，⊥2n k j i k
j i
1313135
1632121-+=-=⨯=⇒n n
可选择∏的法矢}1,1,1{-=，∴∏：0=-+z y x
★★5．指出下列各平面的特殊位置：
（1）1=x ； （2）023=-y ； （3）0632=--y x ； （4）03=-y x ；
（5）
2=+z y ； （6）
； （7）
EMBED Equation.3。

答：（1）该平面平行于yoz 面；（2）该平面平行于xoz 面；（3）该平面平行于z 轴；
（4）该平面平行于z 轴且过原点，即过z 轴；（5）该平面平行于x 轴；（6）该平面平行于y 轴且过原点，即过y 轴（7）该平面过原点 ★★6．求平面 EMBED Equation.3
和各坐标轴的夹角余弦 知识点：平面及向量的方向余弦
解：∵平面
EMBED Equation.3
的法矢
EMBED Equation.3
，∴和x 、y 、z 轴的夹角
余弦分别为：
EMBED Equation.3
quation.3
，有条件
EMBED Equation.3
所在的平面与
EMBED Equation.3
的
距离等于2 ∴点
EMBED Equation.3 到平面的距离
EMBED Equation.3
∴ EMBED Equation.3 的方程为：
EMBED Equation.3
或 EMBED Equation.3
★★8．确定 EMBED Equation.3
的值，使平面
EMBED Equation.3
适合下列条件
之一： （1）经过点 EMBED Equation.3
； （2）与
EMBED Equation.3
垂直； （3）
与 EMBED Equation.3
平行；
（4）与
EMBED Equation.3
成
EMBED Equation.3
角； （5）与原点的距离等于
3； （6）在y 轴上的截距为 EMBED Equation.3。

解：（1）平面 EMBED Equation.3 经过点 EMBED Equation.3
，∴点代入平面方程可得： EMBED Equation.3 （2）平面
EMBED Equation.3
与平面
EMBED Equation.3
垂直，∴两平面的法矢
EMBED Equation.3 垂直，
∴ EMBED Equation.3
（3）平面
EMBED Equation.3
与平面
EMBED Equation.3
平行，两平面的法矢
EMBED Equation.3 平行
∴ EMBED Equation.3
（4）平面
EMBED Equation.3 与平面
EMBED Equation.3
成
EMBED Equation.3
角，两平面的法矢
EMBED Equation.3
夹角为
EMBED Equation.3
∴ EMBED Equation.3
（5）平面 EMBED Equation.3 与原点的距离等于3，∴ EMBED Equation .3
（6）平面
EMBED Equation.3
在y 轴上的截距为
EMBED Equation.3
，根据平面
的截距式方程： EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
★9．求点
EMBED Equation.3
到平面
EMBED Equation.3
的距离。

解：根据点到平面的距离公式： EMBED Equation.3
★★★10．求平行于平面 EMBED Equation.3 100=++
z y x 且与球面4222=++z y x 相
切的平面方程。

思路：所求平面∏//平面100=++z y x ，所以可知∏的法矢，由∏与球面相切的条件又可知
球心到平面的距离。

解：∵所求平面∏//平面100=++z y x ，∴∏的法矢}1,1,1{=n ，设∏的方程为：
0=+++
D z y x ，∵∏与球面相切，∴球心到平面的距离为球半径10，
∴∏⇒±=⇒==
3223
D D d ：0x y z ++±=
★★★11．求平面
02122=++-z y x 与05247=-+z x 的夹角的平分面的方程。

知识点：平面与平面的夹角、点到平面的距离
思路：两平面的夹角平分面上的点应满足到两平面的距离相等
解：设所求平面∏上的动点坐标),,(z y x ，∵∏是平面02122=++-z y x 与平面
05247=-+z x 的夹角的平分面，∴),,(z y x 到两平面的距离相等，于是：
)5247(3)2122(2525
5
2473
21
22-+±=++-⇒-+=
++-z x z y x z x z y x ，
02551625-23 ,027011252=++=---⇒z y x or z y x
习题7-7
★1．求过点)2 , 1,3(-且平行于直线
3
1
43-=
=-z y x 的直线方程。

知识点：直线的对称式方程
解：所求直线L //直线
3
1
43-=
=-z y x ，∴L 的方向矢}3,1,4{=s ，又已知L 过点)2 , 1,3(- ∴L ：3
21143-=
+=-z y x ★2．求过两点)5 , 1
,2(1-M 和,6)0 , 1(2-M 的直线方程。

知识点：直线的对称式方程
解：∵所求直线L 过两点)5 , 1,2(1-M 和,6)0 , 1(2-M ，L 的方向矢s 可取为
}1 1, ,3{21-==M M s ，∴L ：
1
5
1132-=
+=--z y x ★★3．用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨
⎧=--+=+--0
620
232z y x z y x 。

知识点：直线的各种表达式之间的转换 解：∵直线L 表达为两平面交的一般方程形式：⎩⎨
⎧=--+=+--0
620
232z y x z y x ，则L 的方向矢s 和两平面的法
矢都垂直，∴k j i k
j i s
571
21312+-=---=，取L 上的一点：令⎩⎨⎧=-+=+-⇒=0620
220y x y x z
0) , 514 , 52(⇒，∴L 的对称式方程：2/514/5715
x y z
--==-，
L 的参数方程：
2/514/5214
7,,571555
x y z t x t y t z t --===⇒=+=-+=- ★★4．证明两直线⎩⎨
⎧=++-=-+7272z y x z y x 与⎩⎨⎧=--=-+0
28
363z y x z y x 平行。

证明：根据上一题解答可知直线1L ⎩⎨⎧
=++-=-+7272z y x z y x 的方向矢 531
12121
k j i k
j i s 1++=--= 直线2
L ⎩⎨
⎧=--=-+028
363z y x z y x 的方向矢212s s k j i k
j i s -=⇒---=---= 531
12121， ∴1L //2L
★★★5．求过点)1 , 2,1(且与两直线⎩⎨
⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 和⎩⎨⎧=+-=+-0
2z y x z y x 都平行的平面方程。

思路：所求平面∏和两直线平行，则说明∏的法矢和两直线的方向矢都垂直。

解：设所求平面∏的法矢为n ；两直线1L ：⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 和2L ：⎩
⎨⎧=+-=+-00
2z y x z y x 的方向矢
分别为21s s ,。

∵∏//1L ，∏//2
L 2121s s n s n s n ⨯=⇒⊥⊥⇒ ,，其中
k j k
j i s k j i k j i s 21--=--=--=--=1
11112 , 3211
112
1
，
∴k j i k j i
s s n
21+-=--=⨯=1
1
321，
∴∏：00)
1()2()1(=+-⇒=-+---z y x z y x
★★6．求过点)4 , 2 ,0(且与两平面
12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程。

思路：所求直线L 与两已知平面平行，所以L 的方向矢和两平面的法矢都垂直。

解：设所求直线L 的方向矢为s ，两平面1∏：12=+z x 和2∏：23=-z y 的法矢分别为21n n ,
∵k j i k
j i
n n s n s n s 2121++-=-=⨯=⇒⊥⊥⇒∏∏323
1020
1,// , //2
1L L ，
∴L ：
1
4
322-=
-=-z y x ★★★7．求过点)2 , 1 ,3(-且通过直线
1
2354z
y x =+=-的平面方程。

思路：易知：已知点不在直线上，所以通过点和直线的平面方程和通过三点的平面方程的求法相似。

解：设所求的平面∏的法矢为n ，直线L ：
1
2354z
y x =+=-的方向矢s ，}1,2,5{=s ∵L 在∏上，∴s n
⊥；
取直线上的一点)0 ,3,4(-M ，和已知点)2 , 1 ,3(0-M 组成向量}2,4 ,1{0
--=MM ，
易知：0MM ⊥n
k j i k
j i
s n 22982
411250++-=--=⨯=⇒MM ， ∴∏：05922980)
2(22)1(9)3(8=+++-⇒=++-+--z y x z y x
★8．求直线⎩⎨
⎧=--=++0
3z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角。

知识点：直线与平面的夹角 解：设直线L ：⎩⎨
⎧=--=++0
3z y x z y x 的方向矢为s ，平面∏：01=+--z y x 的法矢为n ，直线L 与
平面∏的夹角为θ。

则 }1 ,1,1{ , 2421
1131
1
--=-+=--=n k j i k
j i
s
，可取}1,2,1{-=s
∴∏⇒=⇒=⋅=
=∧
//00),cos(sin L θθ
s
n s n s n
★★9．试确定下列各组中的直线和平面间的关系：
（1）
37423z y x =-+=-+和3224=--z y x ； （2）723z
y x =-=和8723=+-z y x ； （3）4
3
1232--=+=-z y x 和3=++z y x 。

思路：通过直线和平面的夹角即可确定它们的关系
解：在每道小题中都设直线L 的方向矢为s ，平面∏的法矢为n ，直线L 与平面∏的夹角为θ。

则（1）∏⇒=⋅=
=⇒--=--=∧
//0),(cos sin }1 ,1,2{},3 ,7 ,2{L n
s n s n s n s
θ，
又L 上的点)0 ,4 ,3(--不满足3224=--z y x ，∴L 不在∏上，∴∏//L
（2）∏⊥⇒=⋅=
=⇒-=-=∧
L 1),(cos sin }7 ,2,3{},7 ,2 ,3{n
s n s n s n s θ
（3）∏⇒=⋅=
=⇒=-=∧
//0),(cos sin }1 ,1,1{},4 ,1 ,3{L n
s n s n s n s θ
又L 上的点)3 ,2 ,2(-满足3=++
z y x ，∴L 在∏上。

★★★10．求点)0 ,2 , 1(-在平面
012=+-+z y x 上的投影。

思路：根据点在平面上的投影的定义可知求投影点的过程：（1）过点作平面的垂线；（2）垂线和平面的
交点（即投影点）
解：过点M )0 ,2 , 1(-作平面∏：012=+-+z y x 的垂线L ，设L 的方向矢为s ，平面∏的法
矢为n ，则可选n s =，∴L ：⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+=-=⇒=-=-=+t
z t y t x t z y x 221
12211， 将L 的参数方程代入∏求出L 和∏的交点（即投影点）0M ：
)3
2 , 32 , 35(3201)()22(2)1(0-=⇒-
=⇒=+--++-M t t t t ★★★11．设0M 是直线
L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s
，试证：点0M 到
直线L
的距离=
d 。

知识点：向量积和空间直线及其方程
思路：画简图可知：距离d 是由M 、0M 以及当把s 的起点放在M 时的终点坐标1M 三点组成的三角
形底边1MM 上的高，见图7-7-11
解：设当把s
的起点放在M 时s 的终点坐标为1M ，d 即为10MM M ∆底边1MM 上的高
根据向量积的性质可知10MM M ∆
的面积s
=S
，又d S s 2
1=
∴=
d
★★★12．求直线⎩
⎨
⎧=++-=--+010
1:z y x z y x L 在平面0=++∏z y x :上的投影直线方程。

方法一：可根据求投影直线的过程逐步求得：（1）求过直线L 垂直于∏的平面1∏；（2）∏与1∏的
交线即为L 在∏上的投影直线。

解：过L 的平面束方程为0)1(1=++-+--+z y x z y x λ
01)1()1()1(=-+-+-++⇒λλλλz y x ，此平面束中和∏垂直的平面应满足： 10)1()1()1(-=⇒=-+-++λλλλ，
∴过直线L 垂直于∏的平面1∏：10)1(1=-⇒=++----+
z y z y x z y x ，
∴L 在平面∏上的投影直线方程为：⎩
⎨
⎧=-=++10
z y z y x
方法二：可通过求L 和∏的交点以及L 的方向矢写出所求投影直线的对称式方程
解：L 和∏的交点),,(0z y x M 满足：)21 ,21 ,0(0
010
10-⎪⎩
⎪
⎨⎧⇒=++=++-=--+M z y x z y x z y x
L 的方向矢k j k
j
i
s 221
11111--=--=，设∏的法矢为n ，
则L 和它的投影直线组成平面的法矢1n 满足：s n 1
⊥且k j s n n n n 11+-=⨯=⇒⊥
图7-7-11
投影直线的方向矢1s 应满足：s s 1⊥且k j i s n s n s 1111-+=⨯=⇒⊥2
∴投影直线方程：
1
5
.015.02-+=
-=z y x 13．已知直线⎩
⎨
⎧=+--=-+0720
532:z y x z y L ，求：
★（1）直线在yoz 平面上的投影方程； ★（2）直线在xoy 平面上的投影方程； ★★★（3）直线在平面083=++-∏z y x
:上的投影直线方程。

解：（1）由曲线在坐标面上投影知识可知：⎩
⎨
⎧=+--=-+0720
532:z y x z y L 中消去x ，
可得L 在yoz 面上的投影：⎩
⎨
⎧==-+00532x z y
注：也可参照习题12的方法做
（2）⎩⎨
⎧=+--=-+0720532:z y x z y L 中消去在，可得L 在xoy 面上的投影：⎩
⎨⎧==+-001643z y x
注：也可参照习题12的方法做
（3）过L 的平面束方程为0)72(532=+-
-+-+z y x z y λ
057)3()22(=-+-+-+⇒λλλλz y x ，此平面束中和∏垂直的平面应满足：
⇒=-+--0)3(3)22(λλλ无解，说明这些平面都不垂直于∏，过L 且不在平面束方程中的平
面只有一个：072=+--z y x ，此平面设为1∏，确有：1
∏⊥∏，1∏即为过直线L 且垂直于∏
的平面∴L 在平面∏上的投影直线方程为：⎩⎨
⎧=+--=++-0
720
83z y x z y x
★★★14．证明直线
138131-=-=-z y x 与直线3
3
7241-=
-=-z y x 相交，并求它们交角的平分线方程。

知识点：直线及其方程 证：将直线1L ：
1
38131-=-=-z y x 化为参数式：3,18,13+=+=+=t z t y t x ，代入 直线2L （题有问题？）
习题7-8
1． 画出下列方程所表示的曲面：
（1）442
2
2
=-+z y x ； （2）442
2
2
=--z y x ； （3）9
432
2y x z +=。

★★2．指出下列方程所表示的曲线：
（1）⎩⎨⎧==++325222x z y x ； （2）⎩
⎨⎧==++136
94222y z y x ；
y
（3）⎩
⎨⎧-==+-325
4222x z y x ； （4）⎩⎨⎧==+-+408422y x z y 。

答：（1）3=x 平面上的圆162
2
=+z y ；（2）1=y 平面上的椭圆3292
2=+z x ；
（3）3-=x
平面上的双曲线16422=-y z ；（4）4=y 平面上的抛物线02442=+-x z
★★★3．画出下列各曲面所围成的立体的图形：
（1）012243 ,1 ,2 ,0 ,0 ,0=-++=====z y x y x z y x ；
（2） 4
y
z ,2 ,1 ,0 ,0=====y x z x
（3
）1 , 03 ,0 ,3 ,0 22=+=-=-==y x y x y x z z
，在第一卦限内。

（4）222222, ,0,0 ,0 R z y R y x z y x =+=+===，在第一卦限内。

总习题七
★★★1．已知c b a , , 为单位向量，且满足0c b a =++ ，计算a c c b b a ⋅+⋅+⋅。

知识点：向量的数量积
解：∵0c b a =++ ，∴1 ) (2
-=-=⋅+⋅⇒=⋅++a
a c a
b 0a
c b a （1）
同理可得：1 2
-=-=⋅+⋅b b
c b a （2）
1 2
-=-=⋅+⋅c c a c b （3）
（c b a , , 为单位向量）
∵向量的数量积满足交换律，将（1）、（2）、（3）式相加⇒2
3-
=⋅+⋅+⋅a
c c b b a ★★★2．设三角形的三边
c b a === , , ，三边中点依次为D 、E 、F ，试证明
0=++CF BE AD
知识点：向量及其线性运算
证明：根据向量线性运算的三角形法则，b -=-==
=+ ,2
1
, a b 2
1
--=⇒，同理可得： 21 , 21 c a b c --=--=；
∴)(2
3
c b a ++-=++CF BE AD ，∵c b a -=+
∴
0=++
★★★3．设) 2 7() 4 (), 5 7() 3 (b a b a b a b a -⊥--⊥+，求),(∧
b a 。

知识点：向量的数量积及其性质
解：∵) 2 7() 4 (), 5 7() 3 (b a b a b a b a -⊥--⊥+
∴0 15 16 70)
5 7() 3 (=-⋅+⇒=-⋅+2
2b b a a b a b a ；
0 8 30 70) 2 7() 4 (=+⋅-⇒=-⋅-2
2
b b a a b a b a
∴3
),(21 ),cos( , 21 23 46 π=⇒=⋅=
⇒==⋅⇒=⋅∧∧b a b a b a b a b a b b a b b a 2
222。

★★★4．已知
3
2),( , 5 , 2π
=
==∧
b a b a ，问：系数λ为何值时，向量b a m 17 +=λ与b
a n 3-=垂直
知识点：向量的数量积及其性质
解：根据两向量垂直的充要条件，要使向量b a m 17 +=λ与b a n 3-=垂直，必须
017)51(30) 3() 17 (02
2=-⋅-+⇒=-⋅+⇒=⋅b b a a b a b a n m λλλ，
由已知条件3
2),( , 5 , 2π
===∧
b a b a 5),cos(-==⋅⇒∧
b a b a b a ， ∴4002517)51(51217)51(32
2
=⇒=⨯---=-⋅-+λλλλλb b a a
★★★5．求与向量}2 , 1,2{-=a
共线且满足方程18-=⋅x a 的向量x 。

知识点：向量的线性运算以及向量的数量积
解：根据已知条件：x 与a 共线，可设}2, 1,2{-==λλa x ，
由}4,2 ,4{218182
--=⇒-=⇒-==⋅⇒-=⋅x a a a x
a λλλ
★★★6．设}3,2 , 1{-=a
，}4 , 3 ,2{--=b ，}6 , 12 ,3{-=c ，证明三向量c b a , , 共面，并用
a 和
b 表示c
知识点：向量的混合积
解：根据向量混合积的性质：三个向量宫面的充要条件是它们的混合积为零
∵06336) (364
32
23
1 =⨯-⨯=⋅⨯⇒--=---=
⨯c b a k i k
j i
b a
∴c b a , , 共面 若设}42 ,33 ,2{}6,12,3{21212121x x x x x x x x --+-=-⇒+=b a c
，
⇒1,5642 ,1233 ,3221212121==⇒=-=--=+-x x x x x x x x
∴b a c
+=5
★★★7．证明点
)
,,(0000z y x M 到一通过点
),,(c b a A 、方向平行于向量s
的直线的距离为
s
s r ⨯=
d ，其中0AM =r。

证明：该题类似于习题7-7的11题，把向量s 的起点放在),,(c b a A ，设此时s 的终点坐标为1M ，d
即为10AM M ∆底边1AM （即s ）上的高，根据习题7-7的11
题的结论：=
d
★★★8．已知向量 , b a 非零，且不共线，作b a c +=λ，λ是实数，证明：c
最小的向量c 垂直于 a ，
并求当}22, , 1{-=a ，}1 , 1 ,1{-=b 时，使c
最小的向量c 。

知识点：向量的数量积及其性质、一元函数的最值 解：b a c +=λ2
222
)(2) () (b
b a a c
b a b a
c c +⋅+=⇒+⋅+=⋅⇒λλλλ
设
=)(λf 2
22)(2b
b a a +⋅+λλ，则由
0)(22)(2
=⋅+='b a a λλf
2
a
b a ⋅-
=⇒λ（唯一驻点），∴
c 最小的向量b a a
b a
c +⋅-
=2
，
∵a c a b b a a b a a
b a a
c ⊥⇒=⋅+⋅-=⋅+⋅-
=⋅0)( 2
，
当}22, , 1{-=a ，}1 , 1 ,1{-=b 时，使c
最小的向量}31
, 31 , 34{ 2
-=+⋅-
=b a a
b
a c ★★9．将xoy 坐标面上的双曲线369422
=-y x
分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方
程。

知识点：旋转曲面及其方程
解：当xoy 坐标面上的双曲线36942
2
=-y x 绕x 轴旋转时旋转曲面方程为：
3699436)(942222222
=--⇒=+±-z y x z y x。

绕y 轴旋转时旋转曲面方程为：36944369)(42222222=-+⇒=-+±
y z x y z x
★★★10．求直线
L ：
1
1
211-=
=-z y x 绕z 轴旋转所得旋转曲面方程。

知识点：求旋转曲面方程的原理
解：设所求旋转曲面上的动点坐标为),,(z y x ，且它是由直线L ：
1
1
211-=
=-z y x 上的某一点),,(000z y x 绕z 轴旋转得到，所以，),,(z y x 和 ),,(000z y x 满足：
（1）0z z
=；（2）2
22
020y x y x +=+，
将
1
1211000-==-z y x 代入（2）可得：2222)1(4-+=+z z y x ★★11．求曲线⎩⎨⎧-+-=--=2
22
2)1()1(2:y x z y x z L 在三个坐标面上的投影曲线方程。

解：（1）方程组⎩⎨⎧-+-=--=2
22
2)1()1(2y x z y x z 消去z ，
可得L 在xoy 面上的投影曲线方程⎩⎨⎧==--+00
22z y x y x
（2）方程组⎩⎨⎧-+-=--=2
222)1()1(2y x z y x z ⇒⎩⎨⎧--=--=y x z y x z 222
2消去x 可得L 在yoz 面上的投影曲线方程⎩⎨⎧==+--++00
2342222x z y z yz y
（3）方程组⎩⎨⎧-+-=--=2
222)1()1(2y x z y x z ⇒⎩⎨⎧--=--=y x z y x z 222
2消去y 可得L 在yoz 面上的投影曲线方程22224320
0x xz z x z y ⎧++--+=⎨=⎩
★★12．求曲线⎩
⎨
⎧=+++=+--032520
1666:z y x z y x L 在三个坐标面上的投影方程。

解：（1）方程组⎩⎨
⎧=+++=+--0
32520
1666z y x z y x 消去z ，
可得L 在xoy 面上的投影曲线方程⎩
⎨
⎧==+-00
52z y x
（2）方程组⎩⎨
⎧=+++=+--0
32520
1666z y x z y x 消去x
可得L 在yoz 面上的投影曲线方程310
0y z x +-=⎧⎨=⎩
（3）方程组⎩⎨
⎧=+++=+--0
32520
1666z y x z y x 消去y
可得L 在yoz 面上的投影曲线方程6140
0x z y ++=⎧⎨=⎩
★★★13．求螺旋线
θθθb z a y a x === , sin , cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。

解：（1）螺旋线θθθb z a y a x === , sin , cos 消去z ，可得螺旋线在xoy 面上的投影曲线方程：
∵y x ,总是满足：2
2
2
a y x =+∴投影方程为⎩
⎨
⎧==+02
22z a y x
（2）螺旋线θθθb z a y a x === , sin , cos 消去x ，可得螺旋线在yoz 面上的投影曲线方程：
∵ cos b z a x =，代入2
22a y x =+，∴投影方程为⎪⎩⎪⎨⎧==0
sin x b z a y
（3）螺旋线θθθb z a y a x
=== , sin , cos 消去y ，可得螺旋线在xoz 面上的投影曲线方程：
∵ sin b z a y =，代入2
22a y x =+，∴投影方程为⎪⎩⎪⎨⎧==0
cos y b z a x
★★★14．求由上半球面
2
22y x a z --=，柱面022
=-+ax y x
及平面0=z 所围成的立体在
xoy 面和xoz 面上的投影。

解：（1）上半球面2
22y x a z --=
含在柱面022
=-+ax y x
内的立体在xoy 面上的投影就是：
⎩
⎨
⎧=≤-+00
22z ax y x （2）当投影到xoz 面上，该立体投影的边界为xoz 面上的：)0,0(,222
≥≥=+z x a z x
，
∴立体在xoz 面上的投影为：222,(0,0)
0x z a x z y ⎧+≤≥≥⎨=⎩
★★★15．求与已知平面0522=+++z y x
平行且与三坐标面构成的四面体体积为1的平面方程。

知识点：平面及其方程
解：所求平面∏和0522=+++z y x 平行，所以设∏的方程为D z y x =++22，化为截距式方
程：
12
/2/=++D z
D y D x ， ∵∏与三坐标面构成的四面体体积为1，∴33212
261±=⇒=⨯⨯⨯D D D D
∴∏：032223=±++
z y x
★★★16．求通过点)1 , 2 ,1(-且与直线⎩⎨
⎧=--+=-+-0
4230
532z y x z y x 垂直的平面方程。

思路：所求平面和已知直线垂直，则直线的方向矢即为平面的法矢
解：设直线L ⎩⎨⎧=--+=-+-0
4230
532z y x z y x 的方向矢s ，所求平面∏的法矢n ，
k j i k
j i s 11752
1
3
13
2++=--=，∵L ⊥∏，∴取k j i s n 1175++== ∴∏：811750)
1(11)2(7)1(5=++⇒=++-+-z y x z y x
★★17．求过直线⎩⎨
⎧=-++=+--0
240
122:z y x z y x L 且在y 轴和z 轴有相同的非零截距的平面方程。

思路：所求平面∏过直线L ，而L 又表达为一般方程，因此可用平面束方程表示∏ 解：过已知直线L 的平面束方程：0)24(122=-++++--z y x z y x λ
此方程化为：12)24()1()2(-=-+-++λλλ
λz y x ，
其中在y 轴和z 轴有相同的非零截距的平面应满足：3
1241=
⇒-=-λλλ 代入得所求平面∏：01227=+--z y x
★★★18．在平面0232=+-+z y x
和平面03455=+-+z y x 所确定的平面束内，求两个相互
垂直的平面，其中一个平面经过
)1 , 3,4(-A 。