2020届高考数学(文)二轮复习专题过关检测：专题11 三角恒等变换与解三角形 Word版含答案
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10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,2bcsinA＝b2＋c2－a2，△ABC的外接圆半径为 ，则a的值为( )
A．1B．2
C. D．2
解析：选B 由2bcsinA＝b2＋c2－a2及余弦定理，可得sinA＝ ＝cosA，故tanA＝1，因为0<A<π，所以A＝ ，sinA＝ ，又△ABC的外接圆半径R为 ，所以a＝2RsinA＝2× × ＝2.
8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ＋ ＝2a，则△ABC是( )
A．等边三角形B．锐角三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
解析：选C 因为 ＋ ＝2a，所以由正弦定理可得， ＋ ＝2sinA≥2 ＝2，
所以sinA＝1，当 ＝ 时，“＝”成立，
所以A＝ ，b＝c，
所以△ABC是等腰直角三角形．
6．若向量a＝ ，向量b＝(1，sin 22.5°)，则a·b＝( )
A．2B．－2
C. D．－
解析：选A 由题得a·b＝tan 67.5°＋
＝tan 67.5°＋
＝tan 67.5°－tan 22.5°
＝tan 67.5°－
＝
＝2× ＝2×
＝2.
7．(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a ，a＝2，c＝ ，则角C＝( )
9．若α，β∈ ，sinα＝ ，cos ＝ ，则β－α＝( )
A. B.
Hale Waihona Puke C. D.解析：选B 由sinα＝ ，及α∈ ，得cosα＝ ，
由cos ＝sinβ＝ ，
及β∈ ，得cosβ＝ ，
所以sin(β－α)＝sinβcosα－cosβsinα＝ × － × ＝ .
又因为β－α∈ ，所以β－α＝ .
2020届高考数学（文）二轮复习专题过关检测
专题11三角恒等变换与解三角形
A级
1. cos 15°－4sin215°cos 15°＝( )
A. B.
C．1D.
解析：选D cos 15°－4sin215°cos 15°
＝ cos 15°－2sin 15°×2sin 15°cos 15°
＝ cos 15°－2sin 15°sin 30°
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，则角B的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c，在△ABC中，由余弦定理得：
cosB＝ ＝ · －1，由基本不等式 ≥ ，所以cosB≥ ×4－1＝ ，所以B的取值范围是 .
解析：由正弦定理可得c＋2c× ＝a，即a＝ c，又a＝ ，所以c＝ .由cosB＝ ＝ ＝ ，得b2＝6＋ － ＝ ，所以b＝ .
答案：
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径为1，若abc＝6，则△ABC的面积为________．
解析：由题意及正弦定理得 ＝2R＝2(R为△ABC外接圆的半径)，即c＝2RsinC＝2sinC.
13．(2019·安徽五校联考)若α是锐角，且cos ＝ ，则cos ＝________.
解析：因为0<α< ，所以 <α＋ < ，又cos ＝ ，所以sin ＝ ，则cos ＝sinα＝sin ＝sin cos －cos sin ＝ × － × ＝ .
答案：
14．(2019·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC＋2sinCcosB＝sinA，C∈ ，a＝ ，cosB＝ ，则b＝________.
A. B.
C. D.
解析：选D 由b＝a ，得sinB＝sinA· .因为sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋ sinAsinC(sinC≠0)，cosA＝ sinA，所以tanA＝ .因为0<A<π，所以A＝ .由正弦定理 ＝ ，得sinC＝ .因为0<C< ，所以C＝ .故选D.
5．(2019·福州质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝ b，A－B＝ ，则角C＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为△ABC中，A－B＝ ，所以A＝B＋ ，所以sinA＝sin ＝cosB，因为a＝ b，所以由正弦定理得sinA＝ sinB，所以cosB＝ sinB，所以tanB＝ ，因为B∈(0，π)，所以B＝ ，所以C＝π－ － ＝ ，故选B.
11.为了竖一块广告牌，要制造一个三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为( )
A. 米B．2米
C．(1＋ )米D．(2＋ )米
解析：选D 设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为(y－0.5)米，在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，得(y－0.5)2＝y2＋x2－2xy× ，化简得y(x－1)＝x2－ .因为x>1，所以x－1>0，因此y＝ ＝(x－1)＋ ＋2≥ ＋2，当且仅当x－1＝ 时取等号，即x＝1＋ 时，y取得最小值2＋ ，因此AC最短为(2＋ )米．
结合abc＝6可得abc＝ab·2sinC＝2absinC＝6，
＝ cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝ .
2．已知cos ＝2cos(π－α)，则tan ＝()
A．－3B．3
C．－ D.
解析：选A∵cos ＝2cos(π－α)，∴－sinα＝－2cosα，∴tanα＝2，∴tan ＝ ＝－3，故选A.
3．若 ＝－ ，则cosα＋sinα的值为()
A．－ B．－
C. `D.
解析：选C 因为 ＝
＝－ (sinα＋cosα)＝－ ，
所以cosα＋sinα＝ .
4．(2020届高三·湘东六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sinC＝ sinB，则其最小内角的余弦值为( )
A．－ B.
C. D.
解析：选C 由sinC＝ sinB及正弦定理，得c＝ b.又b2＝ac，所以b＝ a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，可得cosA＝ ＝ ＝ ，故选C.
A．1B．2
C. D．2
解析：选B 由2bcsinA＝b2＋c2－a2及余弦定理，可得sinA＝ ＝cosA，故tanA＝1，因为0<A<π，所以A＝ ，sinA＝ ，又△ABC的外接圆半径R为 ，所以a＝2RsinA＝2× × ＝2.
8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ＋ ＝2a，则△ABC是( )
A．等边三角形B．锐角三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
解析：选C 因为 ＋ ＝2a，所以由正弦定理可得， ＋ ＝2sinA≥2 ＝2，
所以sinA＝1，当 ＝ 时，“＝”成立，
所以A＝ ，b＝c，
所以△ABC是等腰直角三角形．
6．若向量a＝ ，向量b＝(1，sin 22.5°)，则a·b＝( )
A．2B．－2
C. D．－
解析：选A 由题得a·b＝tan 67.5°＋
＝tan 67.5°＋
＝tan 67.5°－tan 22.5°
＝tan 67.5°－
＝
＝2× ＝2×
＝2.
7．(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a ，a＝2，c＝ ，则角C＝( )
9．若α，β∈ ，sinα＝ ，cos ＝ ，则β－α＝( )
A. B.
Hale Waihona Puke C. D.解析：选B 由sinα＝ ，及α∈ ，得cosα＝ ，
由cos ＝sinβ＝ ，
及β∈ ，得cosβ＝ ，
所以sin(β－α)＝sinβcosα－cosβsinα＝ × － × ＝ .
又因为β－α∈ ，所以β－α＝ .
2020届高考数学（文）二轮复习专题过关检测
专题11三角恒等变换与解三角形
A级
1. cos 15°－4sin215°cos 15°＝( )
A. B.
C．1D.
解析：选D cos 15°－4sin215°cos 15°
＝ cos 15°－2sin 15°×2sin 15°cos 15°
＝ cos 15°－2sin 15°sin 30°
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，则角B的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c，在△ABC中，由余弦定理得：
cosB＝ ＝ · －1，由基本不等式 ≥ ，所以cosB≥ ×4－1＝ ，所以B的取值范围是 .
解析：由正弦定理可得c＋2c× ＝a，即a＝ c，又a＝ ，所以c＝ .由cosB＝ ＝ ＝ ，得b2＝6＋ － ＝ ，所以b＝ .
答案：
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径为1，若abc＝6，则△ABC的面积为________．
解析：由题意及正弦定理得 ＝2R＝2(R为△ABC外接圆的半径)，即c＝2RsinC＝2sinC.
13．(2019·安徽五校联考)若α是锐角，且cos ＝ ，则cos ＝________.
解析：因为0<α< ，所以 <α＋ < ，又cos ＝ ，所以sin ＝ ，则cos ＝sinα＝sin ＝sin cos －cos sin ＝ × － × ＝ .
答案：
14．(2019·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC＋2sinCcosB＝sinA，C∈ ，a＝ ，cosB＝ ，则b＝________.
A. B.
C. D.
解析：选D 由b＝a ，得sinB＝sinA· .因为sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋ sinAsinC(sinC≠0)，cosA＝ sinA，所以tanA＝ .因为0<A<π，所以A＝ .由正弦定理 ＝ ，得sinC＝ .因为0<C< ，所以C＝ .故选D.
5．(2019·福州质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝ b，A－B＝ ，则角C＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为△ABC中，A－B＝ ，所以A＝B＋ ，所以sinA＝sin ＝cosB，因为a＝ b，所以由正弦定理得sinA＝ sinB，所以cosB＝ sinB，所以tanB＝ ，因为B∈(0，π)，所以B＝ ，所以C＝π－ － ＝ ，故选B.
11.为了竖一块广告牌，要制造一个三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为( )
A. 米B．2米
C．(1＋ )米D．(2＋ )米
解析：选D 设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为(y－0.5)米，在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，得(y－0.5)2＝y2＋x2－2xy× ，化简得y(x－1)＝x2－ .因为x>1，所以x－1>0，因此y＝ ＝(x－1)＋ ＋2≥ ＋2，当且仅当x－1＝ 时取等号，即x＝1＋ 时，y取得最小值2＋ ，因此AC最短为(2＋ )米．
结合abc＝6可得abc＝ab·2sinC＝2absinC＝6，
＝ cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝ .
2．已知cos ＝2cos(π－α)，则tan ＝()
A．－3B．3
C．－ D.
解析：选A∵cos ＝2cos(π－α)，∴－sinα＝－2cosα，∴tanα＝2，∴tan ＝ ＝－3，故选A.
3．若 ＝－ ，则cosα＋sinα的值为()
A．－ B．－
C. `D.
解析：选C 因为 ＝
＝－ (sinα＋cosα)＝－ ，
所以cosα＋sinα＝ .
4．(2020届高三·湘东六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sinC＝ sinB，则其最小内角的余弦值为( )
A．－ B.
C. D.
解析：选C 由sinC＝ sinB及正弦定理，得c＝ b.又b2＝ac，所以b＝ a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，可得cosA＝ ＝ ＝ ，故选C.