密云2015——2016学年度第一学期期末考试

密云县2015——2016学年度第一学期期末考试
初三数学试卷
一、 选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．已知：23x y =(0y ≠)，那么下列比例式中成立的是（ ）．
A ．23x y =
B ．32
x y
= C ．23x y = D ．32x y =
【答案】B
【解析】23x y =(0y ≠)，等式左右两边同时除以6得：32
x y =． 2．8aac49074e724b45014e7d10513c2c6e 已知1
sin 2
A =，则锐角A 的度数是（ ）． A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．75︒
3．8aac50a74e023208014e37bce71d7b26如图，ABC △中，DE BC ∥，1
3
AD AB =，2cm AE =，则AC 的长是（ ）．
A
．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm
4．8aac50a74e724b3f014e81dd47423986如图，A ，(0,0)O ，C 是⊙O 上的三个点，如果30BAC ∠=︒，那么BOC ∠的度数是（ ）．
A ．60
B ．45
C ．30︒
D ．15︒
5．ff8080814cfa9b24014d03d7747e1dc0下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
6．已知正六边形的边心距为2，则它的外接圆的半径是（需计算）（ ）．
A B
C ．
D ．4 【答案】B
【解析】如图，连接OA 、OB ， ∵六边形ABCDEF 为正六边形， ∴1
3606
AOB ∠=⨯︒．
∵OA OB =，
∴OAB △是等边三角形． ∴60OAH ∠=︒． ∵OH AB ⊥，2OH =．
∴sin 60OH OA =
︒．
7．在直角坐标系中，如果⊙O 是以原点(0,0)O 为圆心，以5为半径的圆，那么点(3,4)A -的位置（ ）． A ．在⊙O 内 B ．在⊙O 外 C ．在⊙O 上 D ．不能确定 【答案】C
【解析】∵(3,4)A -，
∴5AO ==， ∴点A 在⊙O 上．
8．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，60
PA=，那么弦AB的长是（）．
∠=︒，8
P
A．4B．8C．D．
【答案】B
【解析】∵PA，PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA PB
=．
又60
∠=︒，
P
∴APB
△是等边三角形．
∴8
==．
AB PA
9．小正方形的边长均为1，则下列图形中阴影部分的三角形与ABC
△相似的是（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意得：AB==AC2
BC=，
∴::2
AC BC AB==
A．三边之比为ABC
△不相似；
B．三边之比为ABC
△相似；
C3，与ABC
△不相似；
D．三边之比为2ABC
△不相似．
10．某同学在测量学校旗杆AC的高度时，先在测量点F处用高为1.2m的测角仪DF测得旗杆顶部A的仰角为α，再量出点F到旗杆的水平距离16.5m
FC=．请你帮助他计算出旗杆AC的高为（）．
A ．（16.5tan α）米
B ．(1.216.5sin α+)米
C ．(1.216.5cos α+)米
D ．(1.216.5tan α+)米 【答案】D
【解析】如图，AC AB BC =+， 1.2m BC DF ==，16.5m BD FC ==，
在Rt ABD △中， tan AB BD
α=
， ∴tan 16.5tan AB BD αα=⋅=⋅（m ）． ∴ 1.216.5tan AC AB BC α=+=+（米）．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．已知两个三角形的相似比为1:2，则他们的面积比为__________． 【答案】1:4
【解析】两个三角形的相似比为1:2， ∴他们的面积比为2(1:2)1:4=．
12．将抛物线265y x x -=＋化为2()y a x h k =-+的形式为__________． 【答案】2(3)4y x =--
【解析】222656995(3)4y x x x x x =-+=-+-+=--．
13．若扇形的半径为3cm ，圆心角为120︒，则这个扇形的面积为__________2cm ． 【答案】3π
【解析】扇形的面积2
2120π33πcm 360
⨯==．
14．请写出一个以y 轴为对称轴的二次函数表达式__________． 【答案】2y x =
【解析】以y 轴为对称轴的二次函数，则一次项系数为0，故可以为2y x =．
15．ff8080814a148866014a19e1c0cc0ed6如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边40cm
DE=，20cm
EF=，测得边DF
离地面的高度 1.5m
AC=，8m
CD=则树高__________．
以上作图的依据是__________．
【答案】垂径定理，等弧所对的弦相等、圆心角相等，四条边相等四个角相等的四边形是正方形．
【解析】
三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．计算：sin60cos3045tan45
︒︒︒-︒．
【答案】
3
4 =．
【解析】原式1
=
3
11
4
=+-
3
4
=．
18．ff8080814cd60e83014cd9c325ab04ef已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，AD CB
=．求证：AE CE
=．
19．8aac49074e724b45014e7be4891c2a3f 如图，ABC △中，点D 在AB 上，ACD ABC ∠=∠，若2AD =，6AB =，求AC 的长．
20．我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m ，拱高（即弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2m ，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m ）．
【答案】27.9m ．
【解析】设桥拱AB 所在圆的圆心为O ，半径为m R ，连接OA ， OB ，过点O 作OC AB ⊥，D 为垂足，与AB 相交于点C ． ∴AD BD =．
∵37.4AB =，7.2DC =，
∴11
37.418.722
AD AB ==⨯=，
7.2OD OC DC R =-=-．
在Rt OAD △中，由勾股定理，得 222OA AD OD =+．
即2218.72(7.2)R R =+-． 解这个方程，得27.9(m)R =．
答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为27.9m ．
21．已知二次函数2y x bx c =++，自变量x 的部分取值及对应的函数值如下表所示：
（1（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．
【答案】（1）223y x x =--． （2）顶点坐标为(1,4)-．
【解析】（1）把(1,0)-，(0,3)-）代入2y x bx c =++得： 10
3b c c -+=⎧⎨
=-⎩
， ∴23b c =-⎧⎨=-⎩
．
∴223y x x =--．
（2）2223(1)4y x x x =--=--． ∴顶点坐标为(1,4)-．
22．ff8080814a39795c014a3d890c670d0b 如图，天空中有一个静止的热气球A ，从地面点B 测得A 的仰角为30︒，从地面点C 测得A 的仰角为60︒．已知50m BC =，点A 和直线BC 在同一垂直平面上，求热气球离地面的高度．
23．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23
315
y x x =-++的一部分．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．
【答案】（1）最大高度是19
4
米． （2）这次表演成功．
【解析】（1）2233519
31()5524y x x x =-++=--+．
∴函数的最大值是19
4
．
∴演员弹跳的最大高度是19
4米．
（2）当4x =时，17
3.45
y ==．
所以这次表演成功．
24．ff80808149990d0a0149b91eec2d331f 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x =-的图象与反
比例函数k
y x
=的图象的一个交点为(1,)A n -．
（1）求反比例函数k
y x
=的解析式；
（2）若P 是坐标轴上一点，且满足PA OA =，直接写出点P 的坐标．
25．8aac49074e724b45014e7f4ddbab31fe 如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的⊙O 与边AC
交于点D ，过点D 的直线交BC 边于点E ，BDE A ∠=∠． （1）证明:DE 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径5R =，3
sin 5
A =
，求线段CD 的长．
26. 我们可以借鉴以前研究函数的经验，探索函数1
y x x
=+的图象和性质． （1）函数1
y x x
=+
的自变量x 的取值范围； （2）下表是y 与x 的几组对应值：
其中m =__________；
（3）画出函数1
0y x x x
=+>（）的图象；
（4）结合函数图象，写出该函数的一条性质：． 【答案】
【解析】（1）0x ≠．
（2）17
4
m =．
（3）如图所示：
（4）当1x =时，y 有最小值为2（当1x <时，y 随x 增大而减小）
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x mx n =
++与y 轴交于点(0,2)A ，过点3(1,)2
B ． （1）求抛物线的表达式；
（2）若点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，求点C 的坐标； （3）①求直线BC 的解析式；
②点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，则t 的取值范围．
【答案】
【解析】（1）把(0,2)A ，3(1,)2
B 代入21
2n
y x x m =++得
21322
n m n =⎧⎪⎨++=⎪⎩． ∴1m =-，2n =．
∴221
2
y x x =-+．
（2）C 的坐标为(2,2)．
（3）①∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，
∴点(2,2)
C在抛物线上．
设直线BC的解析式为y kx b
=+．
∵直线BC经过点
3
(1,)
2
B和点(2,2)
C，
∴
3
2
22
k b
k b
⎧
+=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
，
解得
1
2
1
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
．
∴直线BC的解析式为
1
1
2
y x
=+．
②t的取值范围13
t
<≤．
28．如图1，在Rt ABC
△中，90
ACB
∠=︒，60
B
∠=︒，D为AB的中点，90
EDF
∠=︒，DE交AC于点G，DF经过点C．
（1）tan ACD
∠=________；
（2）将图1中的EDF
∠绕点D顺时针方向旋转一定的角度，旋转过程中的DE交直线AC于点P，DF交直线BC于点Q：
①如图2，当DE AC
⊥时，求PD
QD
的值；
②当旋转到如图3位置时，求PD
QD
的值．
【答案】
【解析】（1
．
（2）①解∵D是AB的中点，DE BC
⊥，∴PD BC
∥．
∴
1
2
PD BC
=．
同理可证
1
2
DQ AC
=．
∴PD BC QD AC
=．
∵60
B
∠=︒，
∴
BC AC =． ②作DG AC ⊥于G ，DH BC ⊥于H ．
∴90DGC DHC ∠=∠=︒．
∵90C ∠=︒，
∴四边形CPDQ 是矩形．
∴90GDH ∠=︒．
∴90PDG EDH ∠+∠=︒．
∵90EDQ ∠=︒，
∴90EDH QDH ∠+∠=︒．
∴PDG QDH ∠=∠．
∴PDG QDH ∽△△． ∴PD DG QD DH
=． 由①DG BC DH AC
=，
∴PD QD = 29．ff8080814adcf592014ae255e1ea0673如图，A 、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与
A ，
B 重合）
，我们称APB ∠是⊙O 上关于A 、B 的滑动角． （1）已知APB ∠是⊙O 上关于A 、B 的滑动角．
① 若AB 是⊙O 的直径，则APB ∠=_________；
②若⊙O 的半径是1
，AB =APB ∠的度数．
（2）已知2O 是⊙1O 外一点，以2O 为圆心做一个圆与⊙1O 相交于A 、B 两点，APB ∠是⊙1O 上关于A 、
B 的滑动角，直线PA 、PB 分别交⊙2O 于点M 、
N （点M 与点A 、点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索APB ∠与MAN ∠、ANB ∠之间的数量关系．
B
A 0
P
2015年密云区九年级上期末试卷
数学参考答案和评分参考
一、选择题（本题共30分，每小题3分，）
1．B2．A3．C4．A5．A6．B7．C8．B9．B10．D
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．1：412．2(3)4y x =--13．3π14．21(0,)y x h =+=写对即可15．5．5cm16．垂径定理，等弧所对的弦相等、圆心角相等，四条边相等四个角相等的四边形是正方形．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17
．解：原式1- 3114=
+- 34=．
18．解：由圆周角定理可得：D B ∠=∠，
在ADE △和CBE △中，
D B AED CEB AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ADE △≌CBE △（AAS ），
∴AE CE =．
19．解：∵A A ∠=∠，ACD ABC ∠=∠，
∴ADC ACB ∽△△． ∴AD AC AC AB
=． ∴2AC AB AD =⋅．
∵2AD =，6AB =，
∴212AC =．
∴AC =
20．解：设桥拱AB 所在圆的圆心为O ，半径为m R ，连接OA ， OB ，过点O 作OC AB ⊥，D 为垂足，与AB 相交于点C ．
∴AD BD =．
∵37.4AB =，7.2DC =， ∴1137.418.722
AD AB ==⨯=， 7.2OD OC DC R =-=-．
在Rt OAD △中，由勾股定理，得
222OA AD OD =+．
即2218.72(7.2)R R =+-．
解这个方程，得27.9(m)R =．
答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为27.9m ．
21．解：（1）把(1,0)-，(0,3)-）代入2y x bx c =++得：
103b c c -+=⎧⎨=-⎩
， ∴23b c =-⎧⎨=-⎩
． ∴223y x x =--．
（2）2223(1)4y x x x =--=--．
∴顶点坐标为(1,4)-．
22．解：过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 的长为热气球离地面的高度． ∵30B ∠=︒，60ACD ∠=︒．
∴603030CAB ∠=︒-︒=︒．
∴B CAB ∠=∠．
∴50m AC BC ==．
∵90ADC ∠=︒．
∴30CAD ∠=︒．
∴AD ==．
答：热气球离地面的高度是．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．解：（1）223351931()5524
y x x x =-++=--+． ∴函数的最大值是194
． ∴演员弹跳的最大高度是194
米． （2）当4x =时，17 3.45
y ==． 所以这次表演成功．
24．（1）把(1,)A n -代入2y x =-中得：2n =．
把(1,2)A -代入k y x
=中得：2k =-． ∴2y x
=-． （2）1(2,0)P -，2(0,4)P
，3(0,0)P ．
25．解：（1）证明：连接OD ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴90ADB ∠=︒．
∴90A B ∠+∠=︒．
∵OB OD =，
∴B ODB ∠=∠．
∵BDE A ∠=∠，
∴90ODB BDE ∠+∠=︒．
∴OD OE ⊥．
∴DE 是⊙O 的切线．
（2）在⊙O 中，5R =，
∴10AB =． ∵3sin 5BD A AB
==， ∴6BD =．
∴8AD =．
∵90ADB CDB ∠=∠=︒，DBC A ∠=∠，
∴ABD BCD ∽△△． ∴AD BD BD CD
=， 866CD
=． ∴92
CD =．
26．（1）0x ≠．
（2）174
m =． （3）
（4）当1x =时，y 有最小值为2（当1x <时，y 随x 增大而减小）
五、解答题（本题22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．解：（1）把(0,2)A ，3(1,)2
B 代入212n y x x m =++得 21322
n m n =⎧⎪⎨++=⎪⎩． ∴1m =-，2n =． ∴2212
y x x =-+． （2）C 的坐标为(2,2)．
（3）①∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，
∴点(2,2)C 在抛物线上．
设直线BC 的解析式为y kx b =+．
∵直线BC 经过点3(1,)2
B 和点(2,2)
C ， ∴3222
k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得121
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．
∴直线BC 的解析式为112
y x =+． ②t 的取值范围13t <≤．
28．解：（1
． （2）①解∵D 是AB 的中点，DE BC ⊥， ∴PD BC ∥． ∴12
PD BC =． 同理可证12
DQ AC =． ∴PD BC QD AC
=． ∵60B ∠=︒，
∴BC AC =． ②作DG AC ⊥于G ，DH BC ⊥于H ． ∴90DGC DHC ∠=∠=︒．
∵90C ∠=︒，
∴四边形CPDQ 是矩形．
∴90GDH ∠=︒．
∴90PDG EDH ∠+∠=︒．
∵90EDQ ∠=︒，
∴90EDH QDH ∠+∠=︒．
∴PDG QDH ∠=∠．
∴PDG QDH ∽△△． ∴PD DG QD DH
=． 由①DG BC
=， ∴PD QD =
29．（
1）①90︒．
②∵半径是1，AB =
∴AOB
△是等腰直角三角形．
∴90
∠=︒．
AOB
∴45
∠=︒．
APB
（2）根据点P在⊙
O上的位置分为以下四种情况．一种情况一分．
1
第一种情况：点P在⊙
O外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①．
2
∵MAN APB ANB
∠=∠+∠，
∴APB MAN ANB
∠=∠-∠．
第二种情况：点P在⊙
O外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．
2
∵(180)
∠=∠+∠=∠+︒-∠，
MAN APB ANP APB ANB
∴180
∠=∠+∠-︒．
APB MAN ANB
第三种情况：点P在⊙
O外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．
2
∵180
∠+∠+∠=︒，
APB ANB MAN
∴180
∠=︒-∠-∠，
APB MAN ANB
第四种情况：点P在⊙
O内，如图④，
2
∠=∠+∠．
APB MAN ANB。