黑龙江省哈尔滨市高三数学下学期第一次模拟考试试题

哈尔滨市第六中学校2017届第一次模拟考试
数学（文史类）
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡， 满分150分，考试用时120分钟。

考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。

2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。

3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确. 1. 已知集合}2,1,0,1{-=A ，{
}
421|<≤=x
x B ，则=B A I ( )
A. {}1,0,1-
B. {}2,1,0
C. {}1,0
D.{
}2,1 2．已知i 是虚数单位，且复数2
1
21,21,3z z i z bi z 若
-=-=是实数，则实数b 的值为 ( ) A ．6 B ．6-
C ．0
D ．
6
1 3. 已知点),2,3(),1,0(B A 向量)3,4(--=→
AC ，则向量→
BC = ( ) A ．)4,7(-- B ．)4,7( C ．)4,1(- D ．)4,1(
4. 已知函数⎩⎨⎧≥<+=,
4,2,
4),1()(x x x f x f x 则=+)3log 2(2f ( )
A ．8
B ．12
C ．16
D ．24
5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为 ( )
（参考数据：sin150.2588sin 7.50.1305==o o
，
） A ．12
B ．24
C ．26
D ．48
6题图
5题图
6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ( ) A ．
160
3
B ．160 C. 64322+ D ．60 7.如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成（图②），第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为1。

将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为,,,,321⋅⋅⋅ααα则与4321αααα+++最接近的角是 ( )
参考值：428.155tan ≈ο，732.160tan ≈ο，145.265tan ≈ο
，414.12≈
A ．ο
120
B ．ο130
C ．ο135
D ．ο
140
8. 将函数x x x f cos 3sin )(-=的图像向左平移)0(>m m 个单位长度，若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值为 ( )
A ．
π32 B ．π31
C ．π81
D ．π6
5
9. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 过点)2,3(，当2
2b a +取得最小值时，椭圆的离心率为
( )
A ．
2
1
B ．
2
2
C ．
23 D ．3
3 10. 已知奇函数)(x f 在[)+∞,0上是增函数，若0)(ln <x f ，则 ( ) A ．
111
><<x x e
或 B ．e x <<1 C ．e x e x ><<或0 D ．10<<x
11. 过圆162
2=+y x 上一点P 作圆)0(:2
2
2
>=+m m y x O 的两条切线，切点分别为B A 、，
若π3
2
=
∠AOB ，则实数=m ( ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
12. 已知函数||,1|log |)(2x x f -=若函数b x af x f x g 2)()()(2
++=有6个不同的零点，则这6个零点之和为 ( ) A ．7
B ．6
C ．
211 D ．2
9
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置.
13.若y x 、满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥+-≤-+0120120
1y x y x y x ，则y x z -=的最大值为 。

14.点D C B A 、、、在同一个球的球面上，2,2===AC BC AB ，若四面体ABCD 体积的最大值为
4
3
，则该球的表面积为 。

15.在ABC ∆中，三边c b a ,,的对角分别为C B A ,,，若2
2
2
2018c
b a =+，则
=-C
C
B A 2cos 1cos sin sin 2 。

16.某比赛现场放着甲、乙、丙三个空盒，主持人从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次任取两
张牌，将一张放入甲盒，若这张牌是红色的（红桃或方片），就将另一张放入乙盒；若这张牌是黑色的（黑桃或梅花），就将另一张放入丙盒；重复上述过程，直到所有扑克牌都放入三个盒子
内，给出下列结论：
①乙盒中黑牌不多于丙盒中黑牌 ②乙盒中红牌与丙盒中黑牌一样多 ③乙盒中红牌不多于丙盒中红牌 ④乙盒中黑牌与丙盒中红牌一样多 其中正确结论的序号为 。

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且c a na S n n n -+=3
1
(c 是常数,*N n ∈),26a =. (1)求数列{}n a 的通项公式 (2)证明:9
111113221<+⋅⋅⋅+++n n a a a a a a
18. （本小题满分12分）
如图，已知AC 是圆O 的直径，E ABCD PA ,平面⊥是PC 的中点，AOB DAC ∠=∠. （1）证明：PAD BE 平面// （2）求证：PCD BEO 平面平面⊥
19. （本小题满分12分）
2017年某市开展了“寻找身边的好老师”活动，市六中积极行动，认真落实，通过微信关注评选“身边的好老师”，并对选出的班主任工作年限不同的五位“好老师”的班主任的工作年限和被关注数量进行了统计，得到如下数据： 班主任工作年限x （单位：年） 4 6 8 10 12 被关注数量y （单位：百人）
10
20
40
60
50
（1）若”好老师”的被关注数量y 与其班主任的工作年限x 满足线性回归方程，试求回归方程
∧
∧∧+=a x b y ，并就此分析：“好老师”的班主任工作年限为15年时被关注的数量；
（2）若用
)5,4,3,2,1(=i x y i
i
表示统计数据时被关注数量的“即时均值”（四舍五入到整数），从“即时均值”中任选2组，求这2组数据之和小于8的概率。

⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-=-⋅-=-∧-∧-==-
-∧
∑∑x b y a x
n y
x n y x b n
i i
n
i i i x
,2
1
21参考公式：
20. （本小题满分12分）
已知抛物线)0(2:2
1>=p px y C 的焦点为F ，准线为l ，圆2
2
2
2:p y x C =+被直线l 截得的线段长为32。

（1）求抛物线1C 和圆2C 的方程；
（2）设直线l 与x 轴的交点为A ，过点A 的直线n 与抛物线1C 交于N M 、两点，求证：直线MF 的斜率与直线NF 的斜率的和为定值。

21. （本小题满分12分） 已知函数)1()(+=x e x g x 。

（1）求函数)(x g 在)1,0(处的切线方程；
（2）设,0>x 讨论函数)0)(()()(2
3
>+-=a x x a x g x h 的零点个数。

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程
已知直线)(sin cos 2:为参数t t y t x l ⎩⎨⎧=+=αα，
椭圆)(sin 5cos 3:为参数ϕϕ
ϕ⎩⎨⎧==y x C ，F 为椭圆C 的右焦点。

（1）当4
π
α=时，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l 和曲线C 的极
坐标方程；
（2）设直线l 与椭圆C 交于B A 、两点，求||||FB FA •的最大值与最小值。

23.（本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知|1|)(+=x x f 。

（1）求不等式4)2()2(≥++x f x f 的解集；
（2）若1||,1||>>n m ，求证：
)(||)(m
n
f m mn f >。

哈尔滨市第六中学2017届高三第一次模拟考试试卷
文科数学答案
一．选择题
1-5 CAADB 6-10 ACDDD 11-12 AB 二．填空题
13. 1 14. π9 15. 2017 16. ② 三．解答题
17.(1) n a n 3= 6分 (2)左=
)1
11(91+-n 得证 6分 18.(1)略 6分 (2) 略 6分
19.(1) 126-=∧
x y 4分 78百人 2分 (2)
10
3
6分 20.(1) x y C 4:2
1= 3分 4:2
2
2=+y x C 1分 (2)定值为0 8分 21.(1) 12:+=x y l 4分
(2) 42e a = 1个 42e a > 2个 4
02
e a << 0个 8分
22.(1) 45)sin 45(:,2)4
sin(:22=+=+
ρϑπ
αρC l 5分
(2) 5max 0sin ;9
25
min 1sin ===
±=时，时，αα 5分 23.(1) (][)+∞⋃-∞-,02, 5分 (2) 略5分。