九年级数学上册 期末试卷(Word版 含解析)

九年级数学上册 期末试卷（Word 版 含解析）
一、选择题
1．sin 30°的值为（ ）
A ．3
B ．32
C ．12
D ．22
2．关于x 的一元一次方程122a x m -+=的解为1x =，则a m -的值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
3．如图，在Rt ABC ∆中，AC BC =，52AB =，以AB 为斜边向上作Rt ABD ∆，90ADB ∠=︒.连接CD ，若7CD =，则AD 的长度为（ ）
A ．3242
B ．3或4
C ．2242
D ．2或4 4．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ≥1
B ．m ≤1
C ．m ≥－1
D ．m ≤－1
5．在△ABC 中，若|sinA ﹣
12|+2cosB ）2=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．75°
C ．105°
D ．120° 6．sin30°的值是（ ）
A ．12
B 2
C 3
D ．1
7．小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是( )
A ．方差
B ．平均数
C ．众数
D ．中位数 8．把二次函数y =2x 2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）
A ．22(3)2y x =-+
B ．22(3)2y x =++
C ．22(3)?2y x =-
D ．22(3)?2y x =+ 9．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如
下表：
x 2- 1- 0 1 2
y 5 0 3- 4- 3-
以下结论： ①二次函数2y ax bx c =++有最小值为4-；
②当1x <时，y 随x 的增大而增大；
③二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有一个交点；
④当13x
时，0y <. 其中正确的结论有（ ）个 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 10．将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，再沿x 轴向左平移3个单位
长度，所得图象对应的函数表达式为（ ）
A ．y ＝（x +3）2+2
B ．y ＝（x ﹣3）2+2
C ．y ＝（x +2）2+3
D ．y ＝（x ﹣2）2+3
11．若关于x 的一元二次方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．16k ≤
B ．116k ≤
C ．1,16
k ≤
且0k ≠ D ．16,k ≤ 且0k ≠ 12．二次函数y =x 2﹣2x +1与x 轴的交点个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题 13．150°的圆心角所对的弧长是5πcm ，则此弧所在圆的半径是______cm ．
14．如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：AB=1：3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为______．
15．已知二次函数222y x x -=-，当-1≤x≤4时，函数的最小值是__________．
16．若53x y x +=，则y x
=______. 17．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0是一元二次方程，则m 满足的条件是_____.
18．如图，在Rt △ABC 中，BC AC ⊥，CD 是AB 边上的高，已知AB ＝25，BC ＝15，则BD ＝__________．
19．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，9BC =，圆P 在ABC ∆内自由移动.若
P的半径为1，则圆心P在ABC
内所能到达的区域的面积为______.
20．如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD
AB
＝
AE
AC
，AE＝2，EC＝6，AB＝
12，则AD的长为_____．
21．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.
22．如图，直线y=1
2
x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C
的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y=k
x
的图象上，CD平行于y轴，S△OCD=
5
2
，则k的值
为________．
23．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝______．24．一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是_____．
三、解答题
25．画图并回答问题：
（1）在网格图中，画出函数2y x x 2=--与1y x =+的图像；
（2）直接写出不等式221x x x -->+的解集.
26．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）两辆车中恰有一辆车向左转；
（2）两辆车行驶方向相同．
27．如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AD ⊥BC 垂足为D ，弧AE ＝弧AB ，BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ．
（1）判断△FAG 的形状，并说明理由；
（2）如图②若点E 与点A 在直径BC 的两侧，BE 、AC 的延长线交于点G ，AD 的延长线交BE 于点F ，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BG ＝26，DF ＝5，求⊙O 的直径BC ．
28．解方程：
（1）x2－8x＋6＝0
（2）(x -1)2 -3(x -1)=0
29．某公司研发了一种新产品，成本是200元/件，为了对新产品进行合理定价，公司将该产品按拟定的价格进行销售，调查发现日销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系y＝﹣2x+800（200＜x＜400）．
（1）要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为多少元？
（2）为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
30．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在AmB上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为y．
（1）⊙O的半径为；
（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．
31．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为AC的中点，过点D作
DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CE＝16
3
，AB＝6，求⊙O的半径．
32．对于实数a，b，我们可以用{}
max,a b表示a，b两数中较大的数，例如{}
max3,13
-=，{}
max2,22
=．类似的若函数y1、y2都是x的函数，则y＝min{y1， y2}表示函数y1和y2的取小函数．
（1）设1y x=，2
1 =
y
x ，则函数
1
max,
y x
x
⎧⎫
=⎨⎬
⎩⎭
的图像应该是___________中的实线部
分．
（2）请在下图中用粗实线描出函数()(){}22max 2,2y x x =---+的图像，观察图像可知当x 的取值范围是_____________________时，y 随x 的增大而减小．
（3）若关于x 的方程()()
{}22max 2,20x x t ---+-=有四个不相等的实数根，则t 的
取值范围是_____________________．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】
解：sin 30°＝
12
故选C
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键． 2．D
解析：D
【解析】
【分析】
满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x 的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解.
【详解】
解：根据题意得，
a-1=1,2+m=2,
解得，a=2,m=0,
∴a-m=2.
故选：D.
【点睛】
本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用A 、B 、C 、D 四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得出ADC ABC ∠∠=，再作AE CD ⊥，设AE=DE=x ，最后利用勾股定理求解即可.
【详解】
解：如图所示，
∵△ABC 、△ABD 都是直角三角形，
∴A,B,C,D 四点共圆，
∵AC=BC ，
∴BAC ABC 45∠∠==︒，
∴ADC ABC 45∠∠==︒，
作AE CD ⊥于点E,
∴△AED 是等腰直角三角形，设AE=DE=x,则AD 2x =
，
∵CD=7,CE=7-x,
∵AB 52=
∴AC=BC=5，
在Rt△AEC 中，222AC AE EC =+，
∴()22257x x =+-
解得，x=3或x=4，
∴AD =
=. 故答案为：A.
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理的综合应用，解题的关键是根据题目得出四点共圆，作出合理辅助线，在圆内利用勾股定理求解. 4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小．
【详解】
解：∵函数的对称轴为x=222
b m m a -
=-=-， 又∵二次函数开口向上，
∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，
∵x ＞1时，y 随x 的增大而增大，
∴-m≤1，即m ≥-1
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A 、∠B 的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
由题意得，sinA-12=0，2
-cosB=0，
即sinA=12，2
=cosB ， 解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，
【点睛】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
解：sin30°＝
12
． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．
【详解】
平均数，众数，中位数都是反映数字集中趋势的数量，方差是反映数据离散水平的数据，也就会说反映数据稳定程度的数据是方差
故选A
考点：方差
8．A
解析：A
【解析】
将二次函数2
2y x =的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为：22(3)2y x =-+.
故选A.
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据表中数据，可获取相关信息：抛物线的顶点坐标为（1，－4），开口向上，与x 轴的两个交点坐标是（－1，0）和（3，0），据此即可得到答案.
①由表格给出的数据可知（0，-3）和（2，-3）是一对对称点，所以抛物线的对称轴为202
+=1，即顶点的横坐标为x=1，所以当x=1时，函数取得最小值－4，故此选项正确； ②由表格和①可知当x ＜1时，函数y 随x 的增大而减少；故此选项错误；
③由表格和①可知顶点坐标为（1，－4），开口向上，∴二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，一个是（－1，0），另一个是（3，0）；故此选项错误；
④函数图象在x 轴下方y<0，由表格和③可知，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的两个交点坐标是（－1，0）和（3，0），∴当13x
时，y<0；故此选项正确；
综上：①④两项正确，
故选：B ．
【点睛】
本题综合性的考查了二次函数的性质，解题的关键是能根据二次函数的对称性判断：纵坐标相同两个点的是一对对称点． 10．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】
解：将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，得到：y ＝x 2+2，
再沿x 轴向左平移3个单位长度得到：y ＝（x+3）2+2．
故选：A ．
【点睛】
解决本题的关键是得到平移函数解析式的一般规律：上下平移，直接在函数解析式的后面上加，下减平移的单位；左右平移，比例系数不变，在自变量后左加右减平移的单位．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
一元二次方程有实数根，则根的判别式∆≥0，且k ≠0，据此列不等式求解．
【详解】
根据题意，得：
∆=1-16k ≥0且k ≠0， 解得：116
k ≤
且k ≠0． 故选：C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式与实数根的情况，注意k ≠0．
12．B
解析：B 【解析】
由△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，可得二次函数y=x 2-2x+1的图象与x 轴有一个交点．故选B ．
二、填空题 13．6； 【解析】
解：设圆的半径为x ，由题意得： =5π，解得：x=6，故答案为6．
点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l= （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．
解析：6； 【解析】
解：设圆的半径为x ，由题意得：
150180
x
π =5π，解得：x =6，故答案为6． 点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l =180
n R
π （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．
14．1：9． 【解析】
试题分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S △ADE ：S △ABC=（AD ：AB ）2=1：9. 考点：相似三角形的性质.
解析：1：9． 【解析】
试题分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S △ADE ：S △ABC =（AD ：AB ）2=1：9. 考点：相似三角形的性质.
15．-3 【解析】 【分析】
根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x≤4时，函数的最小值． 【详解】
解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随
解析：-3 【解析】 【分析】
根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x ≤4时，函数的最小值． 【详解】
解：∵二次函数2
22y x x -=-，
∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小， ∵−1≤x≤4，
∴当x ＝1时，y 取得最小值，此时y ＝-3， 故答案为：-3． 【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．【解析】 【分析】
将已知比例式变形化成等积式，整理出x 与y 的倍数关系，再化成比例式即可得. 【详解】 解：∵， ∴3x+3y=5x, ∴2x=3y, ∴.
故答案为：. 【点睛】 本题考查比例的
解析：2
3
【解析】 【分析】
将已知比例式变形化成等积式，整理出x 与y 的倍数关系，再化成比例式即可得. 【详解】 解：∵
5
3
x y x +=，
∴3x+3y=5x,∴2x=3y,
∴
2
3 y
x =.
故答案为：2 3 .
【点睛】
本题考查比例的基本性质，解题关键是将比例式与等积式之间能相互转换.
17．【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.
【详解】
解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴m-2≠0,
∴m≠
解析：2
m≠
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.
【详解】
解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴m-2≠0,
∴m≠2.
故答案为：m≠2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键.
18．9
【解析】
【分析】
利用两角对应相等两三角形相似证△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.
【详解】
解：∵，,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∵∠B=∠B,
解析：9
【解析】
【分析】
利用两角对应相等两三角形相似证△BCD ∽△BAC ，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可. 【详解】
解：∵BC AC ⊥，CD AB ⊥, ∴∠ACB=∠CDB=90°, ∵∠B=∠B, ∴△BCD ∽△BAC, ∴BC BD
AB BC
= , ∴
152515BD =, ∴BD=9.
故答案为：9. 【点睛】
本题考查利用相似三角形的性质求线段长，证明两三角形相似注意题中隐含条件，如公共角，对顶角等，利用相似的性质得出比例式求解是解答此题的关键.
19．24 【解析】 【分析】
根据题意做图，圆心在内所能到达的区域为△EFG ，先求出AB 的长，延长BE 交A C 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，根据圆的性质可知BH 平分∠ABC ，故CH=HM,设CH=x=HM ，根
解析：24 【解析】 【分析】
根据题意做图，圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域为△EFG ，先求出AB 的长，延长BE 交AC 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，根据圆的性质可知BH 平分∠ABC ，故CH=HM,设CH=x=HM ，根据Rt △AMH 中利用勾股定理求出x 的值，作EK ⊥BC 于K 点，利用
△BEK ∽△BHC ，求出BK 的长，即可求出EF 的长，再根据△EFG ∽△BCA 求出FG ，即可求出△EFG 的面积. 【详解】
如图，由题意点O 所能到达的区域是△EFG ，连接BE ，延长BE 交AC 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，EK ⊥BC 于K ，作FJ ⊥BC 于J ． ∵90C ∠=︒，12AC =，9BC =，
∴15=
根据圆的性质可知BH 平分∠ABC
∴故CH=HM,设CH=x=HM ，则AH=12-x ，BM=BC=9, ∴AM=15-9=6
在Rt △AMH 中，AH 2=HM 2+AM 2 即AH 2=HM 2+AM 2 （12-x ）2=x 2+62 解得x=4.5 ∵EK ∥AC ， ∴△BEK ∽△BHC ，
∴
EK BK HC BC =，即14.59BK
= ∴BK=2，
∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6， ∵EG ∥AB ，EF ∥AC ，FG ∥BC ，
∴∠EGF ＝∠ABC ，∠FEG ＝∠CAB ， ∴△EFG ∽△ACB ，
故
EF FG BC AC =,即6912FG
= 解得FG=8
∴圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为12FG×EF=1
2
×8×6=24, 故答案为24.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是熟知勾股定理、相似三角形的判定与性质.
20．3 【解析】 【分析】
把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案． 【详解】
解：∵＝，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴＝， 解得：AD ＝3， 故答案为：3． 【点睛】 本题
解析：3 【解析】 【分析】
把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案． 【详解】
解：∵
AD AB ＝AE
AC ，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226+， 解得：AD ＝3， 故答案为：3． 【点睛】
本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.
21．【解析】 【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红
解析：5
8
【解析】 【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是55538
=+ 故答案为: 58
． 【点睛】
本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝
m n
． 22．【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：把x=2代入y=x﹣2求出C的纵坐标，得出OM=2，CM=1，根据CD∥y 轴得出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D
解析：【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：把x=2代入y=1
2
x﹣2求出C的纵坐标，得出OM=2，CM=1，根据CD∥y轴得
出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．
解：∵点C在直线AB上，即在直线y=1
2
x﹣2上，C的横坐标是2，
∴代入得：y=1
2
×2﹣2=﹣1，即C（2，﹣1），∴OM=2，
∵CD∥y轴，S△OCD=5
2
，
∴1
2CD×OM=
5
2
，
∴CD=5
2
，
∴MD=5
2﹣1=
3
2
，
即D的坐标是（2，3
2
），
∵D在双曲线y=k
x
上，
∴代入得：k=2×3
2
=3．
故答案为3．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数、反比例函数的图象上点
的坐标特征、三角形的面积等知识点，通过做此题培养了学生的计算能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
23．1
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】
解：根据题意得：x1+x2=3，x1x2=2，
所以x1+x2-x1x2=3-2=
解析：1
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：根据题意得：x1+x2=3，x1x2=2，
所以x1+x2-x1x2=3-2=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
x1+x2=-b
a
，x1x2=
c
a
．
24．【解析】
【分析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．【详解】
在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是2，
故答案为：2．
【点睛
解析：【解析】
【分析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．
【详解】
在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查的是求一组数据的众数，掌握众数的定义是解决此题的关键．
三、解答题
25．（1）画图见解析；（2）x<-1或x>3 【解析】 【分析】
（1）根据二次函数与一次函数图象的性质即可作图, （2）观察图像,找到抛物线在直线上方的图象即可解题. 【详解】 （1）画图
（2）221x x x -->+在图象中代表着抛物线在直线上方的图象 ∴解集是x ＜-1或x ＞3 【点睛】
本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 26．（1）49；（2）13
【解析】 【分析】
此题可以采用列表法求解．可以得到一共有9种情况，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况，两辆车行驶方向相同有3种情况，根据概率公式求解即可．
【详解】
解：列表得：
相同有3种情况
（1）P（两辆车中恰有一辆车向左转）=4
9
；
（2）P（两辆车行驶方向相同）=31 93 ．
【点睛】
列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．解题时注意看清题目的要求，要按要求解题．概率=所求情况数与总情况数之比．
27．（1）△FAG是等腰三角形，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）BC＝52
3
．
【解析】
【分析】
（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，从而得到∠BAD＝∠C，然后利用等弧对等角等知识得到AF＝BF，从而证得FA＝FG，判定等腰三角形；
（2）成立，同（1）的证明方法即可得答案；
（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，推出∠BAD＝∠ABG，得到F为BG的中点根据直角三角
形的性质得到AF＝BF＝1
2
BG＝13，求得AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，根据勾股定理得到BD
＝12，AB＝ABC＝∠ABD，∠BAC＝∠ADB＝90°可证明△ABC∽△DBA，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）△FAG等腰三角形；理由如下：
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵AE AB
=，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形．
（2）成立，理由如下：
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵AE AB
=，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形．
（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，∴∠BAD＝∠ABG，
∴AF＝BF，
∵AF＝FG，
∴BF=GF，即F为BG的中点，
∵△BAG为直角三角形，
∴AF＝BF＝1
2
BG＝13，
∵DF＝5，
∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，
∴在Rt△BDF中，BD12，
∴在Rt△BDA中，AB＝
∵∠ABC＝∠ABD，∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABC∽△DBA，
∴BC
BA
＝
AB
DB
，
12
，
∴BC＝52
3
，
∴⊙O的直径BC＝52
3
．
【点睛】
本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
28．（1）x14，x24（2） x1=1，x2=4．
【解析】
【分析】
（1）根据配方法即可求解；
（2）根据因式分解法即可求解．
【详解】
（1）x2－8x＋6＝0
x2－8x＋16＝10
（x-4）2＝10
x-4=
∴x14，x24
（2）(x -1)2 - 3(x -1)=0
(x -1)(x -1-3)=0
(x -1)(x-4)=0
∴x-1=0或x-4=0
解得x1=1,x2=4．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知其解法的运用．
{题型:3-选择题}{题目}{适用范围:1.七年级}{类别:常考题}{章节:[1-1-3]003}计划开设以下课外活动项目：A 一版画、B 一机器人、C 一航模、D 一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有人；扇形统计图中，选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是 °；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校学生总数为 1500 人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数
（1）200；72（2）60（人），图见解析（3）1050人．
【解析】
【分析】
（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数，再用360°乘以D人数占总人数的比例可得；
（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；
（3）总人数乘以样本中B、C人数所占比例可得．
【详解】
（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，
∴这次被调查的学生共有：20÷36
360
＝200（人）；
选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是360°×40
200
＝72°，
故答案为：200、72；
（2）C项目对应人数为：200−20−80−40＝60（人）；补充如图．
（3）1500×8060
200
＝1050（人），
答：估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数为1050人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
29．（1）要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为250元或350元；（2）为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为300元．
【解析】
【分析】
（1）根据“总利润=每件的利润×销量”列出一元二次方程即可求出结论；
（2）设公司日销售获得的利润为w元，根据“总利润=每件的利润×销量”即可求出w与x的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可．
【详解】
（1）根据题意得，（﹣2x+800）（x﹣200）＝15000，
解得：x1＝250，x2＝350，
答要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为250元或350元；
（2）设公司日销售获得的利润为w元，
根据题意得，w＝y（x﹣200）＝（﹣2x+800）（x﹣200）＝﹣2x2+1200x﹣160000＝﹣2（x ﹣300）2+20000，
∵﹣2＜0，
∴当x＝300时，获得最大利润为20000元，
答：为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为300元．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键．
30．（1）4；（2）y=2x＋8
3
π－43 (0＜x≤23＋4)
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理得到△AOB是等边三角形，求出⊙O的半径；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H,先求出AH=BH=1
2
AB=2，再利用勾股定理得出OH的
值，进而求解.
【详解】
（1）解：（1）∵∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，又OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴⊙O的半径是4；
（2）解：过点O作OH⊥AB，垂足为H
则∠OHA＝∠OHB＝90°
∵∠APB＝30°
∴∠AOB＝2∠APB＝60°∵OA=OB，OH⊥AB
∴AH=BH=1
2
AB=2
在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2∴OH＝22
AO AH
-＝23
∴y＝1
6
×16 π－
1
2
×4×23＋
1
2
×4×x
=2x＋8
3
π－43 (0＜x≤23＋4).
【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
31．（1）DE与⊙O相切；理由见解析；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由D为AC的中点，得到AD CD
=，进而得到AD=CD，根据平行线的性质得到∠DOA＝∠ODE＝90°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据四边形对角互补得到∠DAB＝∠DCE，由AD CD
=得到∠DAC＝∠DCA ＝45°，求得△ABD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）解：DE与⊙O相切
证：连接OD，在⊙O中
∵D为AC的中点
∴AD CD
=
∴AD＝DC
∵AD＝DC，点O是AC的中点
∴OD⊥AC
∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵DE∥AC
∴∠DOA＝∠ODE＝90°
∵∠ODE＝90°
∴OD⊥DE
∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D
∴DE与⊙O相切.
（2）解：连接BD
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠DAB＋∠DCB＝180°
又∵∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上,
∴∠ADC＝∠ABC＝90°
∵AD CD
=,
∴∠ABD＝∠CBD＝45°
∵AD＝DC，∠ADC＝90°
∴∠DAC＝∠DCA＝45°
∵DE∥AC
∴∠DCA＝∠CDE＝45°
在△ABD和△CDE中
∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°
∴△ABD∽△CDE
∴
AB
CD
＝
AD
CE
∴
6
CD
＝16
3
AD
∴AD＝DC＝2, CE＝
16
3
，AB＝6，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝2，∴AC22
AD DC
+8
∴⊙O的半径为4.
【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
32．（1）D ；（2）见解析；20x -<<或2x >；（3）40t -<<．
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式，分别比较1x ≤- ，10x -<<，01x <≤，1x >时，x 与1x 的大小，可得函数1max ,y x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
的图像；
（2）根据{}max ,a b 的定义，当0x <时，()22x -+图像在()22x --图像之上，当0x =时，()22x --的图像与()22x -+的图像交于y 轴，当0x >时，()22x --的图像在()2
2x -+之上，由此可画出函数()(){}22max 2,2y x x =---+的图像； （3）由（2）中图像结合解析式()22x --与()22x -+可得t 的取值范围．
【详解】
（1）当1x ≤-时，1x x ≤
， 当10x -<<时，1x x >
， 当01x <≤时，1x x <
， 当1x >时，1x x
> ∴函数1max ,y x x ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
的图像为
故选：D ．
（2）函数()(){}22max 2,2y x x =---+的图像如图中粗实线所示：
令()2=02x -+得，2x =-，故A 点坐标为(-2,0),
令()2=02x --得，2x =，故B 点坐标为(2,0),
观察图像可知当20x -<<或2x >时，y 随x 的增大而减小；
故答案为：20x -<<或2x >；
（3）将0x =分别代入()()2212, =22y x y x =---+，得12==4y y -，故C(0,-4)， 由图可知，当40t -<<时，函数()()
{}22max 2,2y x x =---+的图像与y t =有4个不
同的交点．
故答案为：40t -<<．
【点睛】
本题通过定义新函数综合考查一次函数、反比例函数与二次函数的图像与性质，关键是理解新函数的定义，结合解析式和图像进行求解．。