人大微积分课件5-5广义积分

2021/4/21
22
a
0
1 xp
dx
当
0
p 1 时收敛，当p 1时发散；
再考察a
1 xp
dx
p
0
的敛散性.
当 p 1 时，a 0
a
1dx x
lim
t
ln
t
ln
a
,
当 p 1 时，a 0
1 dx 1 lim t1p a1p
a xp
1 p t
2021/4/21
23
a1 p , p 1 p 1
2.说明
（1）设 Fx f x ，则
a
f xdx
lim Ft Fa F Fa； t
b
f xdx
Fb lim Ft Fb F ； t
2021/4/21
5
f
xdx
lim
t
F
t
lim
t
F
t
F F .
（2）当
f x为奇函数时,
f
x
dx
不能按积
分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为
tc a
tc t
2021/4/21
15
这至散时少. 称有广一义个积不分存在ab ，f 则x称dx广收义敛积，分若上ab f述 x两d极x发限
2.说明
（1）在定义2中f x在点a,b,c 的邻域内都无 界，这些点均为f x的无界间断点，也称为f x
的瑕点，故无界函数的广义积分也称为瑕积分.
（2）设 Fx f x ，则
解
sin
xdx
0 sin
xdx
0
sin
xdx
cos
x 0
cos
x 0
.
极限不存在
sin xdx
是发散的
若认为积分区间关于原点对称，被积函数为
奇函数，按定积分公式③计算就错了.
2021/4/21
8
例3 计算广义积分 ex sin xdx . 0
解 先计算定积分 Aex sin xdx 0
1
0
1
1 x
2
dx2Βιβλιοθήκη 111 x
2
dx
而
1
0
1
1 x
2
dx
1 lim 1 t1
t
1
，
所以
2
0
1
1－x
2
dx
发散.
2021/4/21
20
注：若按定积分计算（不考虑 x 1 是瑕点),
就会导致以下的错误.
2
0
1
1－x
2
dx
1 1
2
x 0
2.
.
例6
考察广义积分
0
1 xp
dx
p
0
的敛散性.
解 x 0是瑕点，积分区间是无穷区间，
f
xdx
lim
A
B
A
f
xdx,
B
这里A与B是相互独立的.
2021/4/21
6
3.例题
例1
计算广义积分
0 e
x
dx
.
解
0exdx
ex
0
1.
y
这个广义积分值的几
何意义是,当t
1
y ex
时，图5－7中阴影部
分向左无限延伸，但 其面积却有极限值1 .
2021/4/21
t
ox
图5－7
7
例2 计算广义积分 sin xdx .
f ( x)dx，即
0
f ( x)dx f ( x)dx 0 f ( x)dx
lim
0
f ( x )dx lim
t
f ( x )dx.
t t
t 0
2021/4/21
4
两极限均存在称
f
x
dx
收敛，两极限至少
有一个不存在称
f
x
dx发散.
上述各广义积分统称为无穷限的广义积分，
简称无穷积分.
1
e
A
sin
A
cos
A
则
e x sin xdx lim A e－x sin xdx
0
A 0
.
1 lim 1 eAsin A cos A 1
2 A
2
2021/4/21
10
二、无界函数的广义积分
1.定义2 设 f x 在a ,b上连续，在点 a的右邻
域内无界
,取 t
a，若 lim t a
0
1 xp
dx
a
0
1 xp
dx
a
1 xp
dx,0
a
2021/4/21
21
先考察
a
0
1 xp
dx
p
0的敛散性.
当 p 1时，a 0
a
0
1dx x
ln
a
lim ln
t 0
t
当 p 1时，a 0
a 1 dx 1 lim a1p t1p
0 xp
1 p t0
a1 p ,0 1 p
p
1
, p 1
第五节 广义积分
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分
2021/4/21
1
一、无穷限的广义积分
1.定义 1 设 f ( x)在[a,) 上连续，取t a ，
如果极限 lim t f ( x )dt 存在，则称此极限为 t a
f ( x)在无穷区间[a,) 上的广义积分，记作
a
f
( x)dx，
b
t
f
xdx 存在，则称此极
.
限为f
x在
a ,b上的广义积分，记作
b
a
f
x dx
即
b
a
f
x dx
lim
t a
b
t
f
x dx .
这时称广义积分 b a
f
x
dx
收敛；若极限不存在，
称广义积分
b
a
f
x
dx
发散.
2021/4/21
11
么么么么方面
• Sds绝对是假的
2021/4/21
12
么么么么方面
当 x a为 f x的瑕点时，
b
a
f
xdx
F
b
lim
t a
F
t
F
b
F
a
；
2021/4/21
16
当 x b为f x的瑕点时，
b
a
f
x
dx
lim
t b
F
t
F
a
F
b－
F
a
,
当 x c为f x的瑕点时 ,a c b,
b
a
f
xdx
c
a
f
xdx
,
b
c
f
xdx
Fb Fa Fc Fc
(3)若积分区间是有限的，必须先考察是定积分还 是瑕积分，如是瑕积分而按定积分计算就会出现 错误，即使是按定积分求得的结果与按瑕积分求 得的结果相同，前者的概念也是错误的.
a2 x2 ta
a
2
2021/4/21
18
这个广义积分的几何意义是当t a时，
图5－8中阴影部分趋近于x a 的面积值.
y y 1
a2 x2 1 a
o
ta x
图5－8
2021/4/21
19
例5
计算广义积分
2
0
1
1－x
2
dx
.
解
因为
lim
x1
1
1 x
2
，所以x
1是瑕点，
2
0
1
1－x
2
dx
f xdx lim
b
f ( x )dx
a
b a
这时称广义积分 a
f
xdx收敛；若极限不存
在，称广义积分
a
f
x dx发散.
2021/4/21
2
类似地，设函数 f ( x) 在区间(, b]上连续，取
t b，如果极限lim b f ( x )dx 存在，则称此极 t t
限为函数 f ( x) 在无穷区间(,b]上的广义积
• Sds绝对是假的
类似地，设f x在a ,b上连续，在点 b的
左邻域内无界，取 t
b，若 lim t tb a
f
xdx存
在，则称此极限为 f x在a ,b上的广义积分，
.
记作 b a
f
x dx
，即
b
a
f
x dx
lim
t b
t
a
f
x dx
这时称广义积分 b a
f
x
dx收敛；若极限不存在，
,0 p 1
a
1 当x p
dx时收p敛，1 当
时发散0 . p 1
则广义积分 1 dx 发散.
0 xp
2021/4/21
24
分，记作 b
f
( x)dx .
b
f ( x)dx
lim
t
b t
f ( x )dx.
b
这时称
f
xdx收敛；若极限不存在，称
b
f
xdx 发散.
2021/4/21
3
设
f
(
x
)
在(
,
)
上连续,若 0
f
( x)dx 和
0
f
( x)dx都收敛，则称上述两广义积分之和为
f ( x) 在 (,) 上 的 广 义 积 分 ， 记 作
2021/4/21
17
(4)若积分区间是无穷区间，被积函数是无界函 数的广义积分，应把广义积分分拆成几项，使 每项是单纯的无穷积分或瑕积分，再按各自的 积分方法计算.
3.例题
a dx
例4 计算广义积分 0 a2 x2 .
解 lim 1 ，x a 是瑕点， xa a2 x2
a
0
dx lim arctan t arctan0 .
A
0
e
x
sin
xdx
A 0
sin
xd
ex
ex
sin
x
A 0
A ex cos xdx
0
e
A
sin
A
A
0
cos
xd
ex
eA sin A
ex cos x
A 0
A ex sin xdx
0
e
A
sin
A
e
A
cos
A
1
A
0
e
x
sin
xdx
2021/4/21
9
A
0
ex
sin
xdx
1 2
称广义积分
b
a
f
x
dx
发散.
2021/4/21
14
设 f x 在a ,b上除点 c外连续，在点c 的
邻域内无界，若广义积分
c
a
f
x dx
和广义积分
b
c
f
xdx都收敛，则称上述两广义积分之和为
f
x
在
a
,b上的广义积分，记为
b
a
f
x
dx，
即
b
a
f
x dx
c
a
f
x dx
b
c
f
x dx
lim t f xdx lim b f xdx.