2010年4月浙江省宁波市高考数学模拟试卷(理科)

2010年4月浙江省宁波市高考
数学模拟试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1、若（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数a+bi=（）
A、1+2i
B、﹣1+2i
C、﹣1﹣2i
D、1﹣2i
2、已知集合A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，B={（a+1）2，5}，若A∩B={1}，则实数a的值为（）
A、0
B、﹣1
C、﹣2
D、﹣2或0
3、若函数f（x）=，则f（f（2））等于（）
A、4
B、3
C、2
D、1
4、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（）
A、4
B、6
C、8
D、10
5、阅读右边的程序框图，若输入的N=100，则输出的结果为（）
A、50
B、
C、51
D、
6、已知α，β表示两个互相垂直的平面，a，b表示一对直线，则a⊥b的一个充分条
件是（）
A、a∥α，b⊥β
B、a∥α，b∥β
C、a⊥α，b∥β
D、a⊥α，b⊥β
7、某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，
具体结果如下表：
根据以上提供的信息，市场供需平衡点即供给量和需求量相等时的单价大约为（）
A、2.3元
B、2.5元
C、2.7元
D、2.9元
8、若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）
A、B、
C、D、
9、已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0，则
的大小关系是（）
A、c＜a＜b
B、c＜b＜a
C、a＜c＜b
D、a＜b＜c
10、若（2x﹣3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于（）
A、﹣10
B、﹣5
C、5
D、10
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11、某校在“五四”青年节到来之前，组织了一次关于“五四运动”的知识竞赛．在参加的同学中随机抽取100位同学的回答情况进行统计，答对的题数如下：答对5题的有10人；答对6题的有30人；答对7题的有30人；答对8题的有15人；答对9题的有10人；答对10题的有5人，则可以估计在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大约为_________题．
12、已知双曲线﹣=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1，则m=_________．
13、某个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图与侧视图是完全相同的图形，则这个几何体的体积为_________cm3．
14、在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且，，
则B=_________，A=_________．
15、在计算“++…+（n∈N﹡）”时，某同学学到了如下一种方法：
先改写第k项：=﹣，
由此得=﹣，=﹣，，=﹣，
相加，得++…+=1﹣=
类比上述方法，请你计算“++…+（n∈N﹡）”，其结果为_________．
16、已知点P（x，y）在由不等式组确定的平面区域内，O为坐标原点，点A（﹣1，2），则||•cos∠AOP 的最大值是_________．
17、过点M（a，0）的直线交圆O：x2+y2=25于点A、B，若•=﹣16，则实数a=_________．
三、解答题（共5小题，满分72分）
18、从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出不同的三个数字．
（1）求取出的这三个数字中最大数字是8的概率；
（2）记取出的这三个数字中奇数的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
19、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与y轴的交点为
（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．
（1）求f（x）的解析式及x0的值；
（2）若锐角θ满足，求f（4θ）的值．
20、如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E 是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD：
①求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
②求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．
21、已知椭圆的右焦点恰好是抛物线C：y2=4x的焦点F，点A是椭圆E的右顶点．过点A的直线l
交抛物线C于M，N两点，满足OM⊥ON，其中O是坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的左顶点B作y轴平行线BQ，过点N作x轴平行线NQ，直线BQ与NQ相交于点Q．若△QMN是以MN为一条腰的等腰三角形，求直线MN的方程．
22、设，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．
答案与评分标准
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1、若（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数a+bi=（）
A、1+2i
B、﹣1+2i
C、﹣1﹣2i
D、1﹣2i
考点：复数相等的充要条件。

专题：计算题。

分析：利用虚数单位i的性质，再利用2个复数相等的充要条件列方程组解出a，b的值，即得结果．
解答：解：∵（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，
∴2+ai=b﹣i，∴a=﹣1，b=2，
故a+bi=﹣1+2i，故选B．
点评：本题考查两个复数相等的充要条件是：两个复数的实部和虚部对应相等．
2、已知集合A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，B={（a+1）2，5}，若A∩B={1}，则实数a的值为（）
A、0
B、﹣1
C、﹣2
D、﹣2或0
考点：交集及其运算。

专题：计算题。

分析：由两集合交集的定义可知，元素1既属于A又属于B，经过判断得到（a+1）2等于1，求出此方程的解得到a的值，然后把a的值代入到集合A中，根据集合的互异性进行检验，得到符合题意的a的值．
解答：解：由A∩B={1}可知，1∈A且1∈B，
由1∈B得到，（a+1）2=1，解得a=﹣2或a=0；所以a+2≠1且a2+3a+3≠1，
经检验，a=﹣2不合题意，舍去，所以a=0
故选A
点评：此题考查学生掌握集合元素的互异性、确定性及无序性，理解两集合交集的意义，是一道基础题．学生做题时应把求出的a的值代入集合A进行检验．
3、若函数f（x）=，则f（f（2））等于（）
A、4
B、3
C、2
D、1
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。

专题：计算题。

分析：先求出f（2）的值，再根据函数的解析式求出f（f（2））的值．
解答：解：∵函数f（x）=，f（2）=23=8，
f（f（2））=f（8）=log28=3，
故选B．
点评：本题考查根据分段函数的解析式求函数值的方法，体现了分类讨论的数学思想．
4、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（）
A、4
B、6
C、8
D、10
考点：等比数列的性质。

专题：计算题。

分析：设等比数列项数为2n项，先根据奇数项的和与偶数相的和求得数列的公比，进而根据奇数项的和求得n
解答：解：设等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
则S奇=85，S偶=170，所以q==2，
∴S奇==85，解得n=4，
这个等比数列的项数为8，
故选择C
点评：本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是利用奇数项的和与偶数相的和求得数列的公比．
5、阅读右边的程序框图，若输入的N=100，则输出的结果为（）
A、50
B、
C、51
D、
考点：程序框图。

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算S=1+2+…+n的值，并输出．
解答：解分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算S=1+2+…+n并输出．
∵当N=100时，1+2+…+100=5050
故输出值为：=50
故选A
点评：要判断程序的运行结果，我们要先根据已知判断程序的功能，构造出相应的数学模型，转化为一个数学问题．
6、已知α，β表示两个互相垂直的平面，a，b表示一对直线，则a⊥b的一个充分条件是（）
A、a∥α，b⊥β
B、a∥α，b∥β
C、a⊥α，b∥β
D、a⊥α，b⊥β
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。

分析：由A，B，C三种情况得到的结论都是a与b相交、平行或异面，由D得到的结论是a⊥b，故求得答案．
解答：解：a∥α，b⊥β⇒a与b相交、平行或异面，故A不正确；
a∥α，b∥β⇒a与b相交、平行或异面，故B不正确；
a⊥α，b∥β⇒a与b相交、平行或异面，故C不正确；
a⊥α，b⊥β⇒a⊥b，故D正确．
故选D．
点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要熟练掌握空间直线和平面的位置关系．7、某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体结果如下表：
根据以上提供的信息，市场供需平衡点即供给量和需求量相等时的单价大约为（）
A、2.3元
B、2.5元
C、2.7元
D、2.9元
考点：函数模型的选择与应用。

专题：计算题；应用题。

分析：首先对两个表格进行分析，一个递增一个递减，然后找到市场供需平衡点求出平均单价即可．
解答：解：对于市场供给表与对于市场需求表，
均为相关关系．
当供给量=需求量=70时
单价：==2.7
故选：C．
点评：本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，找到相关关系，然后求值．属于中档题．
8、若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）
A、B、
C、D、
考点：数量积表示两个向量的夹角。

专题：计算题。

分析：利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公式求出两向量的夹角．
解答：解：依题意，∵|+|=|﹣|=2||
∴=
∴⊥，=3，
∴cos＜，＞==﹣，
所以向量与的夹角是，
故选C
点评：本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的夹角．
9、已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0，则
的大小关系是（）
A、c＜a＜b
B、c＜b＜a
C、a＜c＜b
D、a＜b＜c
考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质。

专题：综合题；转化思想；综合法。

分析：y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数可推断出f（x）是周期为4的函数，y=f（x）是偶函数，对任意0≤x≤1，都有f'（x）≥0，知y=f（x）在（0，1）上是增函数，由这些性质将三数化简为自变量在0≤x≤1的函数值来表示，再利用单调性比较大小．
解答：解：y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，故有f（﹣x）=f（x），f（﹣x+1）=﹣f（x+1），即f（x﹣1）=﹣f（x+1），f（x﹣1）=f（x+3），由此可推断出=f（x）是周期为4的函数故
=﹣f（﹣）=﹣f（），
=﹣f（﹣）=﹣f（），
=﹣f（﹣）=﹣f（）
故有
又y=f（x）对任意0≤x≤1，都有f'（x）≥0，知y=f（x）在（0，1）上是增函数，
故有f（）＜f（）＜f（）
故有﹣f（）＞﹣f（）＞﹣f（）
即有c＜a＜b
故选A．
点评：本题考点是函数奇偶性的运用，考查综合利用奇偶性来研究函数的性质，利用函数的单调性比较大小，在本题三数的大小比较中，利用到了把三数转化到一个单调区间上来比较的技巧．在利用单调性比较大小时注意这一转化技巧的运用．
10、若（2x﹣3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于（）
A、﹣10
B、﹣5
C、5
D、10
考点：二项式定理的应用。

专题：计算题。

分析：对已知等式求导数，对求导后的等式中的x赋值1，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值．
解答：解：对等式两边求导数得
10（2x﹣3）4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4
令x=1得10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5
故选D
点评：本题考查复合函数的求导法则、考查赋值法求展开式的系数和常用的方法．
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11、某校在“五四”青年节到来之前，组织了一次关于“五四运动”的知识竞赛．在参加的同学中随机抽取100位同学的回答情况进行统计，答对的题数如下：答对5题的有10人；答对6题的有30人；答对7题的有30人；答对8题的有15人；答对9题的有10人；答对10题的有5人，则可以估计在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大约为7题．
考点：众数、中位数、平均数。

专题：计算题；应用题。

分析：由题意知本题要求这次竞赛的答对题目数目的平均数，根据答对5题的有10人；答对6题的有30人；答对7题的有30人；答对8题的有15人；答对9题的有10人；答对10题的有5人，可以做出100人共答对的题目数，得到平均数．
解答：解：由题意知本题要求这次竞赛的答对题目数目的平均数，
∵答对5题的有10人；答对6题的有30人；答对7题的有30人；
答对8题的有15人；答对9题的有10人；答对10题的有5人，
∴答对题目的平均数是=7
故答案为：7
点评：加权平均数是初中和高中的交叉的知识点，是初中学过的，但高中学习的期望和它关系非常密切，这种题目做起来容易犯错误，即得到结果是把a与b求和除以2．
12、已知双曲线﹣=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1，则m=．
考点：双曲线的简单性质。

专题：计算题。

分析：先求出渐近线方程和顶点坐标，利用点到直线的距离公式求出个顶点到它的一条渐近线的距离的解析式，据此解析式等于1，解出m．
解答：解：依题意，一条渐近线的方程为3x﹣my=0，一个顶点坐标（0，3），
∴=1，
解得m=，
故答案为．
点评：本题考查双曲线的标准方程和简单性质．
13、某个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图与侧视图是完全相同的图形，则这个几何体的体积为
cm3．
考点：由三视图求面积、体积。

专题：计算题；图表型。

分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个正四棱锥，其高已知，底面是对角线长度为2的正方形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．
解答：解：由题设条件，此几何体为一个正四棱锥，其高为底面是一个对角线长为2的正方形
此正方形的面积为=2
故此四棱锥的体积为=
故答案为：
点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是正四棱锥的体积所
用的公式为S=×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，
本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．14、在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且，，
则B=60°，A=75°．
考点：解三角形的实际应用。

专题：计算题。

分析：首先根据三个角成等差数列求得B，进而利用正弦定理求得sinC的值，则C的值可求得，最后利用三角形的内角和求得A．
解答：解：∵A，B，C成等差数列
∴A+B+C=3B=180°
∴B=60°
由正弦定理可知
∴sinC==
∴C=45°或135°
若C=135°，则B+C=195°不符合题意
∴C=45°，A=180°﹣60°﹣45°=75°
故答案为60°，75°
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生对三角形基础知识的综合掌握．
15、在计算“++…+（n∈N﹡）”时，某同学学到了如下一种方法：
先改写第k项：=﹣，
由此得=﹣，=﹣，，=﹣，
相加，得++…+=1﹣=
类比上述方法，请你计算“++…+（n∈N﹡）”，其结果为
．
考点：归纳推理。

分析：本题考察的知识点是类比推理，是要根据++…+=1﹣=，类比猜想计算
“++…+（n∈N﹡）”的公式，其处理的方法是由++…+=1
﹣=的推导公式，类比分解采用消项法即可得到答案．
解答：解：∵=[﹣]，
∴++…+
=++…+[﹣]
=﹣]
=
故答案为：=．
点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
16、已知点P（x，y）在由不等式组确定的平面区域内，O为坐标原点，点A（﹣1，2），则||•cos∠AOP
的最大值是．
考点：简单线性规划的应用。

专题：计算题；数形结合；转化思想。

分析：先画出约束条件的可行域，再根据点A的坐标及点P的坐标，将||•cos∠AOP的最小值表
达为一个关于x，y的式子，即目标函数，然后将可行域中各角点坐标代入目标函数的解析式
解答：解：∵||•cos∠AOP==，
于是问题转化为求z=2y﹣x的最大值，
作出可行域如图所示，当直线经过点C（1，2）时，
z=2y﹣x取得最大值，z max=2×2﹣1=3，
从而||•cos∠AOP=的最大值为．
故答案为：
点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．
17、过点M（a，0）的直线交圆O：x2+y2=25于点A、B，若•=﹣16，则实数a=±3．
考点：直线与圆相交的性质；平面向量数量积的运算。

专题：计算题。

分析：先根据•=﹣16＜0判断出点M在圆内，进而可得到||•||的值，再由相似关系可得到垂直于x轴的特殊情况下的||•||的值仍然等于16，进而可确定a的值，得到答案．
解答：解：因为若•=﹣16＜0，故点M在圆内，即两向量方向相反
∴•=﹣|•||=﹣16，所以||•||=16，．
由特殊化思想知，当直线垂直于x轴时||•||=16，
故a=±3．
故答案为：±3．
点评：本题主要考查直线与圆的相交的性质和向量的数量积运算．考查基础知识的综合运用．
三、解答题（共5小题，满分72分）
18、从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出不同的三个数字．
（1）求取出的这三个数字中最大数字是8的概率；
（2）记取出的这三个数字中奇数的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差。

专题：计算题；分类讨论。

分析：（1）取出的这三个数字中最大数字是8，其余两个从1，2，3，4，5，6，7中取．
（2）取出的这三个数字中奇数的个数为0、1、2、3，求出相应的概率，即可求得分布列及期望．
解答：解：（1）设取出的这三个数字中最大数字是8为事件A
∴
（2）ξ的所有可能取值为：0、1、2、3 则
ξ的分布列为：
∴
点评：此题属于中档题，（1）求取出的这三个数字中最大数字是8的概率主要考查学生分析问题的能力．（2）记取出的这三个数字中奇数的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．主要考查学生分类讨论的数学思想．
19、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与y轴的交点为
（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．
（1）求f（x）的解析式及x0的值；
（2）若锐角θ满足，求f（4θ）的值．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；二倍角的余弦。

专题：计算题。

分析：（1）根据图象求出A，T，求出ω，图象经过（0，1），求出φ，然后求f（x）的解析式，根据（x0，2）求x0的值；
（2）锐角θ满足，求出sinθ，sin2θ，cos2θ，化简f（4θ），然后求f（4θ）的值．
解答：解：（1）由题意可得：，
即∴，，f（0）=2sinφ=1，
由，∴．（3分）
，
所以，，
又∵x0是最小的正数，∴；（7分）
（2），
∵，∴，
∴，
∴．（12分）
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，二倍角的余弦，考查计算能力，视图能力，是基础题．20、如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E 是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD：
①求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
②求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．
考点：直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题。

专题：计算题；综合题；转化思想。

分析：建立空间直角坐标系求出相关向量，
（1）利用共面向量定理：，证明BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD，①求出=（0，2a，﹣2a）和=（a，2a，0）的数量积来求异面直线PD与BC所成角的
余弦值；②求平面BDE的一个法向量为=（2，1，﹣1）；平面BDC的一个法向量为=（0，0，1）；然后求向
量的数量积来求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．
解答：解：设AB=a，PA=b，建立如图的空间坐标系，
A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），
C（（2a，2a，0），D（0，2a，0），E（a，a，）．
（1）=（0，a，），=（0，2a，0），=（0，0，b），
所以，BE∉平面PAD，∴BE∥平面PAD；
（2）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即=0
=（2a，2a，﹣b），∴==0，即b=2a．
①=（0，2a，﹣2a），=（a，2a，0），
cos＜，＞==，
所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为；
②平面BDE和平面BDC中，=（0，a，a），
=（﹣a，2a，0），=（a，2a，0），
所以平面BDE的一个法向量为=（2，1，﹣1）；
平面BDC的一个法向量为=（0，0，1）；
cos＜，＞=，所以二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．
点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，考查转化思想，计算能力，是中档题．
21、已知椭圆的右焦点恰好是抛物线C：y2=4x的焦点F，点A是椭圆E的右顶点．过点A的直线l
交抛物线C于M，N两点，满足OM⊥ON，其中O是坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的左顶点B作y轴平行线BQ，过点N作x轴平行线NQ，直线BQ与NQ相交于点Q．若△QMN是以MN为一条腰的等腰三角形，求直线MN的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的标准方程。

专题：计算题。

分析：（1）根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设直线l：x=a+my代入抛物线方程设M（x1，y1），N（x2，y2），根
据韦达定理可求得y1+y2和y1y2，进而求得x1x2，进而根据OM⊥ON得进而求得a和b，则椭圆方程可得．
（2）先看当QM为等腰△QMN的底边时，进而推断出O是线段MQ的中点，求得m；再看当QN为等腰△QMN 的底边时，根据y1y2=﹣16，求得m，则直线方程可得．
解答：解：（1）F（1，0），∴a2﹣b2=1，A（a，0），
设直线l：x=a+my代入y2=4x中，
整理得y2﹣4my﹣4a=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，
又∵12=4x1，y22=4x2，
∴，
由OM⊥ON得，
解得a=4或a=0（舍），得b2=15
所以椭圆E的方程为．
（2）椭圆E的左顶点B（﹣4，0），所以点Q（﹣4，y2）．易证M，O，Q三点共线．
（I）当QM为等腰△QMN的底边时，由于ON⊥OM，∴O是线段MQ的中点，
∴，所以m=0，即直线MN的方程为x=4；
（II）当QN为等腰△QMN的底边时，
又∵1y2=﹣16，
解得，或
∴，
所以直线MN的方程为，即；
综上，当△QMN为等腰三角形时，直线MN的方程为x=4或．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，
22、设，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程。

专题：计算题；综合题。

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，最后用直线的斜截式表示即可；
（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，先求导数，研究函数的极值点，通过比较与端点的大小从而确定出最大值和最小值，从而求出[g（x1）﹣g（x2）]max，求出M的范围；
（3）当时，恒成立等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，利用导数研究h（x）的最大值即可求出参数a的范围．
解答：解：（1）当a=2时，，，f（1）=2，f'（1）=﹣1，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣x+3；（4分）
（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立
等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，
考察g（x）=x3﹣x2﹣3，，
由上表可知：，
，
所以满足条件的最大整数M=4；（8分）
（3）当时，恒成立
等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，
记h（x）=x﹣x2lnx，h'（x）=1﹣2xlnx﹣x，h'（1）=0．
记m（x）=1﹣2xlnx﹣x，m'（x）=﹣3﹣2lnx，
由于，m'（x）=﹣3﹣2lnx＜0，
所以m（x）=h'（x）=1﹣2xlnx﹣x在上递减，
当时，h'（x）＞0，x∈（1，2]时，h'（x）＜0，
即函数h（x）=x﹣x2lnx在区间上递增，在区间（1，2]上递减，
所以h（x）max=h（1）=1，所以a≥1．（14分）
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了划归与转化的思想，属于中档题．
参与本试卷答题和审题的老师有：
Mrwang；caoqz115588；qiss；sllwyn；zhwsd；xintrl；wdnah；ccxiking；minqi5；zlzhan；涨停；安敬宝。

（排名不分先后）
菁优网
2011年12月29日。