重庆市巴蜀中学2019_2020学年高二数学下学期月考试题含解析

重庆市巴蜀中学2019-2020学年高二数学下学期月考试题（含解析）
一、选择题.（共12题，每题5分，共60分.每题只有一个正确选项） 1.甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是13
，下成和棋的概率是1
2，则乙获胜的概
率是（ ） A.
56
B.
23
C. 1
3
D.
16
【答案】D 【解析】 【分析】
根据概率性质可知所有可能的概率和为1，即可得解.
【详解】甲、乙两人比赛下中国象棋，结果有三种：甲胜，和局，乙胜. 由概率性质可知，三种情况的概率和为1， 所以乙获胜的概率为1111236
--=， 故选：D.
【点睛】本题考查了概率性质的简单应用，属于基础题.
2.设随机变量X 服从两点分布，若()()100.2P X P X =-==，则成功概率()1P X ==（ ） A. 0.2 B. 0.4
C. 0.6
D. 0.8
【答案】C 【解析】 【分析】
根据两点分布概率性质可得解.
【详解】随机变量X 服从两点分布，()()100.2P X P X =-==，
根据两点分布概率性质可知：()()(
)()100.2101P X P X P X P X ⎧=-==⎪
⎨=+==⎪⎩，
解得()10.6P X ==， 故选：C.
【点睛】本题考查了两点分布概率性质的简单应用，属于基础题.
3.甲、乙两位同学将最近10次物理考试的成绩（满分100分）绘制成如图所示的茎叶图进行比较，下列说法正确的是（ ）
①甲同学平均成绩低于乙同学 ②甲同学平均成绩高于乙同学 ③甲同学成绩更稳定 ④乙同学成绩更稳定 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】A 【解析】 【分析】
根据茎叶图中数据分布特征，即可做出判断.
【详解】由茎叶图可知，甲组数据整体值偏小，乙组的数据整体值偏大，因而甲同学平均成绩低于乙同学，所以①正确；
而甲组数据分布更为集中，乙组数据分布较为分散，因而甲同学成绩更稳定，所以③正确； 综上可知，正确的为①③； 故选：A.
【点睛】本题考查了茎叶图的性质及简单应用，数据分析处理能力，属于基础题.
4.记525
0125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则12345a a a a a ++++=（ ）
A. 64
B. 63
C. 32
D. 31
【答案】D 【解析】 【分析】
利用赋值法即可得解.
【详解】525
0125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+， 令0x =，代入可得01a =，
令1x =，代入可得5
012345232a a a a a a +++++==，
所以5
123450231a a a a a a ++++=-=， 故选：D.
【点睛】本题考查了二项展开式中项的
系数和求法，赋值法的应用，属于基础题. 5.某校高一、高二、高三年级人数比为7:8:10，现按分层抽样的方法从三个年级一共抽取150人来进行某项问卷调查，若每人被抽取的概率是0.04，则该校高二年级人数为（ ） A. 1050 B. 1200
C. 1350
D. 1500
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分层抽样的抽样比，可得高二年级抽取的人数，即可由没人被抽到的概率得高二年级人数.
【详解】高一、高二、高三年级人数比为7:8:10，现按分层抽样的方法从三个年级一共抽取150人来进行某项问卷调查， 则高二年级抽取的人数为8
150=487+8+10
⨯ 人，
设高二年级人数为x ， 则
48
0.04x
= ，解得1200x = ， 所以高二年级人数1200 人，
故选：B.
【点睛】本题考查了分层抽样的简单应用，属于基础题.
6.演讲社团里现有水平相当的4名男生和5名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加“最美逆行者”的演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（ ） A. 140种 B. 80种
C. 70种
D. 35种
【答案】C 【解析】 【分析】
分类讨论，选出3名同学分别为1男2女，2男1女两种情况，即可得解. 【详解】选出3名同学既有男生又有女生有2种情况： 1男2女，则12
4554
4402
C C ⨯=⨯
=;
2男1女，则21
4543
530 2
C C
⨯
=⨯=；
所以共有403070
+=种不同选法.
故选：C.
【点睛】本题考查了组合问题的简单应用，属于基础题.
7.同时抛掷4枚质地均匀的硬币400次，记4枚硬币中恰好2枚正面向上的次数为X，则X 的数学期望是（）
A. 25
B. 100
C. 150
D. 200
【答案】C
【解析】
【分析】
根据独立重复试验，先求得4枚硬币中恰好2枚正面向上的概率，即可求得抛掷硬币400次恰好2枚正面向上的数学期望.
【详解】由独立重复试验可知，同时抛掷4枚质地均匀的硬币，4枚硬币中恰好2枚正面向上
的概率为
22
2
4
11113
6
22448 C
⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
由二项分布的期望求法可知抛掷硬币400次恰好2枚正面向上的数学期望为
3 400150
8
⨯=，
故选：C.
【点睛】本题考查了独立重复试验概率求法，二项分布数学期望的求法，属于基础题.
8.某高校需安排5位应届毕业生到3家企业实习，每家企业至少有1位实习生，并且实习生甲和乙必须去同一家企业实习，则不同实习安排方式共有（）
A. 12种
B. 18种
C. 24种
D. 36种【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意将甲乙捆绑看作一个整体，再与剩余3人一起分成三组，即可由排列组合的应用求解.
【详解】因为甲和乙必须去同一家企业实习，则将甲乙捆绑作为一个整体，
则共有4组人需要安排到3家企业实习，
将四组人分为3组，则为1,1,2，
因为出现重复的一组，所以总的安排方法数为11343322
43321
362
C C A A ⨯⨯⨯⨯=
= 种，
故选：D.
【点睛】本题考查了排列组合问题在实际问题中的应用，注意分组时出现重复的情况，属于中档题. 9.
设(5n
x 的展开式中各项系数之和为a ，二项式系数之和为b ，且3132a b -=，则展
开式中有理项共有（ ） A. 2项 B. 3项
C. 4项
D. 5项
【答案】B 【解析】 【分析】
利用赋值法可求得各项系数之和a ，由二项定理展开式性质可得二项式系数之和b ，结合
3132a b -=即可求得n 的值，进而由二项定理展开式的通项求得有理项个数.
【详解】二项式为(5n
x ，
展开式中各项系数之和为a ，令1x =，代入可得4n a =， 二项式系数之和为b ，则2n b =， 因为3132a b -=， 所以431232n
n
-⨯=，即()
2
2
312320n n -⨯-=，
所以()()
232210n n
-+=，解得5n =，
所以(
5
5x ，
由二项定理展开式的通项为(
)
(5155r r r r T C x -+= ()()1
552515r r r r C x
--=-⋅⋅， 当0,2,4r =时为有理项，所以共有3项有理项， 故选：B.
【点睛】本题考查了二项定理展开式的系数与二项式系数的概念，二项展开通项式的应用，有理项的求法，属于中档题.
10.6支钢笔中有4支为正品，2支为次品，现需要通过检测将其进行区分，每次随机抽出一支钢笔进行检测，检测后不放回，直到完全将正品和次品区分开，用X表示直到检测结束时检测进行的次数，则()4
P X==（）
A.
4
15
B.
7
15
C.
28
81
D.
10
27
【答案】A
【解析】
【分析】
完全将正品和次品区分开且4
x=，有2种情况：前四次检测均为正品；前三次检测有1次次品，第四次检测为次品，即可根据概率求解.
【详解】为将正品和次品区分开且4
x=，有2种情况：前四次检测均为正品；前三次检测有1次次品，第四次检测为次品，概率分别为：
前四次检测均为正品：43211 654315⨯⨯⨯=；
第一次检测为次品，第四次检测为次品，则24311 654315⨯⨯⨯=；
第二次检测为次品，第四次检测为次品，则42311 654315⨯⨯⨯=；
第三次检测为次品，第四次检测为次品，则43211 654315⨯⨯⨯=；
所以用X表示直到检测结束时检测进行的次数，则()14
44
1515
P X==⨯=，
故选：A.
【点睛】本题考查了分类、分步计数原理的应用，概率的求法，属于基础题.
11.已知A学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，B学校有10位数学老师，其中3位男老师，7位女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一位数学老师到B学校，然后从B学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在A学校抽到B学校的老师是男老师的情况下，从B学校抽取到市里上公开课的也是男老师的概率是（）
A. 2
3
B.
4
7
C.
4
11
D.
3
11
【答案】A 【解析】【分析】
当在A 学校抽到B 学校的老师是男老师时，B 学校男老师和总老师的数量可知，进而可求得从B 学校抽取到市里上公开课的也是男老师的概率
【详解】设A 学校抽到B 学校的老师是男老师事件为M ，B 学校抽取到市里上公开课的是男老师事件为N ，
A 学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，因而A 学校抽到
B 学校的老师是男
老师的概率为()93155
P M =
=； 从B 学校抽取到市里上公开课的也是男老师的概率为()314
10111
P N +==+， 因而由条件概率公式可得()
()()
411
P M N P N M P M ⋅==
, 故选：C.
【点睛】本题考查了条件概率的简单应用，条件概率的求法，属于基础题.
12.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为
，405表示为
）如果把6根火柴以适当的方式全部放
入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（ ）
A. 87
B. 95
C. 100
D. 103
【答案】D 【解析】 【分析】
将6根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解. 【详解】用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下：
1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的数为1；5根火柴可表示的数为8，和0一起，能表示
的数共有4个（108,180,801,810）.
2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有1248C ⨯= 个.
3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数分为2类：
除0外的两个数字相同，可表示的数有1248C ⨯=个；
除0外的两个数字不同，则有24424C ⨯=个，所以共有82432+= 个.
1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7组成的数，共有3个（117,171,711）. 1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一个，3、4、6、9中的一个数字组成的三
位数，共有113243243248C C A =⨯⨯⨯= 个.
2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有2个（222,555）；三个数字中的两个数字相同，则有1236C ⨯=个，共有268+= 个. 综上可知，可组成的三位数共有48323488103+++++= 个. 故选：D.
【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分类、分步计数原理的应用，注意分类时要做到“不重不漏”，属于难题.
二、填空题.（共4题，每题5分，共20分） 13.已知()1D X =，21Y X =-，则()D Y =______. 【答案】4 【解析】 【分析】
根据随机变量方差性质及公式即可得解. 【详解】()1D X =，21Y X =-， 则()21D X -，
所以()()2
2124D X D X -==，
故答案为：4.
【点睛】本题考查了随机变量方差性质及公式的简单应用，属于基础题. 14.()()5
121x x ++的展开式中3x 的系数为______.
【答案】30 【解析】 【分析】
将多项式展开，结合二项定理展开式的通项即可求解. 【详解】()()()()555
121121x x x x x ++=+++，
则()5
1x +展开式中3x 的系数为2
554
102
C ⨯=
=， ()521x x +展开式中3x 的系数即为()5
1x +展开式中2x 的系数乘以2，
所以3
554
22202
C ⨯⨯=⨯
=， 所以()()5
121x x ++的展开式中3x 的系数为102030+=， 故答案为：30.
【点睛】本题考查了多项式乘积系数的求法，二项定理展开式通项的应用，属于基础题. 15.有7人站成一排照相，要求A ，B 两人相邻，C ，D ，E 三人互不相邻，则不同的排法种数为______. 【答案】288 【解析】 【分析】
将A 、B 捆绑作为一个整体排列，再与剩余2人全排列，C 、D 、E 三人插空排列即可. 【详解】将A 、B 捆绑作为一个整体排列为2
2A ， 将A 、B 整体与剩余2人全排列则3
3A ，
再将C 、D 、E 三人插入4个空位排列，则3
4A ，
所以总的排列方法有233234232432288A A A =⨯⨯⨯⨯⨯= 种，
故答案为：288.
【点睛】本题考查了排列中相邻、不相邻问题的解法，属于中档题.
16.对于数列{}n x ，若123n x x x x ≤≤≤⋅⋅⋅≤，则称数列{}n x 为“广义递增数列”，若
123n x x x x ≥≥≥
≥，则称数列{}n x 为“广义递减数列”，否则称数列{}n x 为“摆动数列”.
已知数列{}n a 共4项，且{}()1,2,3,41,2,3,4i a i ==，则数列{}n a 是摆动数列的概率为
______. 【答案】
95128
【解析】 【分析】
根据数列的元素，先根据数列中数字的组成求得所有的数列，再将符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分类求得，即可求得“摆动数列”的个数，进而求得数列{}n a 是摆动数列的概率.
【详解】根据题意可知，{}()1,2,3,41,2,3,4i a i ==，则四位数字组成的数列有以下四类： （1）由单个数字组成：共有4个数列；
（2）由2个数字组成：则共有2
4
6C =种数字搭配，每种数字搭配又分为两种情况：由1个数字和3个相同数字组成4个数的数列（如1222,2111等），则有1248C ⨯=个数列；分别由2
个相同数字组成的4个数的数列（如1122等）共有6个数列，因而此种情况共有()248684
C +=种；
（3）由3个数字组成：共有3
44C =种数字搭配（如1123等）
，相同数字有3种可能，则共有4312144⨯⨯=个数列；
（4）由4个数字组成：共有4
4432124A =⨯⨯⨯=个数列. 因而组成数列的个数为48414424256+++=个数列.
其中，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分别为：
（1）由单个数字组成：4个数列均符合“广义递增数列”或“广义递减数列”，因而有4个数列；
（2）由2个数字组成：满足“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为
()2422236C ⨯++= 个；
（3）由3个数字组成：1143224C C ⨯=个；
（4）由4个数字组成：则有2个数列符合“广义递增数列”或“广义递减数列”， 综上可知，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为66个. 所以“摆动数列”的个数为25666190-=个，
因而数列{}n a 是摆动数列的概率为19095
256128
=， 故答案为：
95128
. 【点睛】本题考查了数列新定义的综合应用，数字排列的综合应用，概率的求法，分类过程较为繁琐，属于难题.
三、解答题.（共6小题，共70分，请在答题卡上写出必要的解答过程）
17.小蔡参加高二1班“美淘街”举办的幸运抽奖活动，活动规则如下：盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，小蔡需从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序分别作为一个三位数的百位、十位与个位. （1）一共能组成多少个不同
的
三位数？
（2）若组成的三位数是大于500的偶数，则可以获奖，求小蔡获奖的概率. 【答案】（1）120（2）1
6
【解析】 【分析】
（1）由抽取的三位数各不相同，可由排列数公式求得组成不同三位数的个数.
（2）分别求得百位为5和百位为6的偶数个数，结合（1）即可求得可以获奖的概率. 【详解】（1）因为抽取的三位数各不同，
因而组成三位数的总数为36
654120A .
（2）若百位为5，则个位可以为2、4、6中一个，十位可以是剩余4个数字中的一个，则有
113412C C ⨯=个；
若百位为6，则个位可以为2、4中的一个，十位可以是剩余4个数字中的一个，则有1
1
248C C ⨯=个，
∴大于500的偶数的概率为1281
1206
P +=
=. 【点睛】本题考查了排列组合问题的简单应用，数字排列的特征及应用，属于基础题.
18.某校高二年级共有1000 名学生，为了了解学生返校上课前口罩准备的情况，学校统计了所有学生口罩准备的数量，并绘制了如下频率分布直方图.
（1）求x 的值；
（2）现用分层抽样的方法，从口罩准备数量在[)10,20和[]50,60的学生中选10人参加视频会议，则两组各选多少人？
（3）在（2）的条件下，从参加视频会议的10人中随机抽取3人，参与学校组织的复学演练.记X 为这3人中口罩准备数量在[)10,20的学生人数，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）0.02x =（2）6人，4人（3）9
5
【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图的性质可知小矩形面积和为1，可求得x 的值； （2）根据分层抽样的特征，可分别求得两组各抽取的人数.
（3）由题意可知，0,1,2,3X =；分别求得各自对应的概率，即可得频率分布列及数学期望. 【详解】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积和为1，可得
(0.0150.0350.012)101x +++⨯=，
解得0.02x =.
（2）口罩准备数量在[)10,20的人数为0.015
1060.0150.01
⨯=+人，
在[]50,60的人数为0.01
1040.0150.01
⨯
=+人.
（3）由题0,1,2,3X =.
343104
(0)120C P X C ===，
126431036
(1)120
C C P X C ===，
216431060
(2)120C C P X C ===，
3631020
(3)120
C P X C ===，
故分布列为：
期望3660202169()1231201201201205
E X =⨯
+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及简单应用，分层抽样特征，离散型随机变量分布列及数学期望的求法，属于基础题.
19.已知从境外回国的8位同胞中有1位被新冠肺炎病毒感染，需要通过核酸检测是否呈阳性来确定是否被感染.下面是两种检测方案： 方案一：逐个检测，直到能确定被感染者为止.
方案二：将8位同胞平均分为2组，将每组成员的核酸混合在一起后随机抽取一组进行检测，若检测呈阳性，则表明被感染者在这4位当中，然后逐个检测，直到确定被感染者为止；若检测呈阴性，则在另外一组中逐个进行检测，直到确定被感染者为止. （1）根据方案一，求检测次数不多于两次的概率；
（2）若每次核酸检测费用都是100元，设方案二所需检测费用为X ，求X 的分布列与数学期望()E X . 【答案】（1）1
4
（2）见解析，325 【解析】 【分析】
（1）检测次数不多于两次即检测次数为1次或2次，即可求得其对应的概率，进而得检测次数不多于两次的概率；
（2）根据题意可知X 可以取200,300,400，分别求得各情况下的概率，即可求得其分布列
及数学期望.
【详解】（1）P （一次）1
8
=
， P （两次）711878
=
⨯=， ∴P （不多于两次）111
884
=+=.
（2）由题意可知，X 可以取200,300,400，则
11111(200)24244
P X ==
⨯+⨯=， 1311311
(300)2432434P X ==⨯⨯+⨯⨯=，
1(400)1(200)(300)2
P X P X P X ==-=-==
， 故分布列为：
X 200 300 400
P
14 14
12
均值111
()200300400325442
E X =⨯
+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了离散型随机变量概率、分布列及数学期望的求法，属于基础题. 20.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，PA PD ⊥，PA PD =，2AD =，
AC CD =.
（1）求证：PD ⊥平面PAB ；
（2）若直线PA 与平面PDC 2
65
CD 长. 【答案】（1）见解析（2）13CD =
【解析】 【分析】
（1）根据线面垂直性质可得PD AB ⊥，再根据题中PD PA ⊥，即可由线面垂直的判定定理证明PD ⊥平面PAB ；
（2）先证明ACD 为等腰三角形，然后以AD 中点O 为原点，OC ，OA ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设OC m =，写出各个点的坐标，并求得平面PDC 的法向量，
再根据直线PA 与平面PDC 所成的线面角的正弦值求得m 的值，即可求得CD 长. 【
详解】（1）证明：∵AB ⊥平面PAD ，PD ⊆平面PAD ， ∴PD AB ⊥，
∵PD PA ⊥，,PA AB ⊆平面PAB ，PA AB A =，
∴PD ⊥平面PAB .
（2）∵PA PD ⊥，PA AD =， ∴PAD △为等腰直角三角形， ∵AC CD =，
∴ACD 为等腰三角形.
以AD 中点O 为原点，OC ，OA ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
设OC m =，则()0,1,0A ，()0,0,1P ，(),0,0C m ，()0,1,0D -，
∴()0,1,1PA =-.
设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =，
∵(),1,0DC m =，()0,1,1DP =，
∴0
mx y y z +=⎧⎨
+=⎩，令1x =，则y m =-，z m =，∴()1,,n m m =-.
∴22
sin cos ,65
221
PA n m θ==
=
⨯+，解得23m =. ∴2213CD OC OD =+=.
【点睛】本题考查了线面垂直的判定，由空间向量法依据线面夹角求参数值，属于中档题. 21.如图，在矩形ABCD 中，23AB =，1
2
BC =
，以A ，B 为焦点的椭圆Γ：()22
22
10x y a b a b +=>>恰好过C ，D 两点.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）已知O 为原点，直线l ：()0y kx m m =+≠与y 轴交于点P ，与椭圆Γ相交于E 、F 两点，且E 、F 在y 轴异侧，若4OEF POE S S =△△，求m 的取值范围.
【答案】（1）2214
x y +=（2）112m -<<-或112m <<.
【解析】 【分析】
（1）根据矩形的边长，结合椭圆的性质即可求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程. （2）联立直线与椭圆方程，化简方程并由韦达定理可得12x x +，12x x ，由直线与圆相交可
得>0∆，并由题意可设()11,E x y ，()22,F x y 及120x x <<，再由2122
44
014m x x k -=<+求得m 的范围；由4OEF POE S S =△△，分别求得面积后代入，结合韦达定理即可求得21
14
m <<，
综合即可得m 的取值范围.
【详解】（1）∵AB =1
2
BC =
，
∴2c =21
2
b a =，222a b
c =+，
解得2a =，1b =，
∴椭圆的方程为2
214
x y +=.
（2）联立直线与椭圆方程，22
44
y kx m
x y =+⎧⎨
+=⎩， 化简可得()
222
148440k x kmx m +++-=，
∵直线与椭圆相交，∴(
)()
22
2
2
64414440k m k m
∆=-+->，
化简变形可得22410k m -+>①，
∵设()11,E x y ，()22,F x y ，不妨设120x x <<，
122814km x x k -+=+②，2122
44
14m x x k -=+③.
由2122
44
014m x x k
-=<+，得21m <， ∵1212OEF S OP x x =
-△，11
2
OPE S OP x =△，且4OEF POE S S =△△， 则1214x x x -=，去掉绝对值，则213x x =-④ 联立②④，得12414km x k =
+，2
2
1214km
x k -=+， 代入③得222212444141414km km m k k k --⋅=+++，化简可得22
2
1164m k m -=-， 代入①式有22
2
11041
m m m --+>-，化简可得2114m <<， 所以m 的范围为112m -<<-
或1
12
m <<. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，椭圆中三角形面积的应用，根据直线与椭圆位置关系求参数的取值范围，计算量较大，属于中档题.
22.已知()()321ln 12f x x x ax a x =-
+-，()23
12
g x x x =-+. （1）当1a =时，求()f x 在()()
1,1f 处的切线方程；
（2）当0a <时，若对任意的[]11,2x ∈，都存在21
,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()12120x x f x g x +=成
立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1
2
y x =-（2）[)2,0a ∈- 【解析】 【分析】
（1）将1a =代入，可得函数解析式，再代入1x =可得切点坐标；求得导函数，并由导数的几何意义求得切线斜率，进而得切线方程.
（2）将所给方程变形可得()()1212f x x x g x =-；可得()g x x 在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内的单调性，进而求得值域，即可求得()x g x -
的值域；构造函数2()1
()ln (1)2
f x h x x ax a x x =
=-+-，求得()h x '，由定义域及0a <分类讨论()h x 的单调情况，并求得最值即可求得符合题意的a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，3
1()ln 2
f x x x x =-
， 1(1)2f =-；所以切点坐标为11,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
而2
3()ln 12f x x x '=+-
， 所以31
(1)122
f '=-=-；
∴切线方程为11(1)22y x ⎛⎫--=-- ⎪
⎝⎭
. 化简可得1
2
y x =-
. （2）()()12120x x f x g x +=，所以
()()
1212f x x
x g x =-，
对于
()312g x x x x =-+，在1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上单调递减，()1,2x ∈上单调递增， ∴1x =时，
()1
2g x x =，12x =或2时，()1g x x
=， ∴当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
时，
()[]2,1x g x -∈--. 令2()1
()ln (1)2
f x h x x ax a x x =
=-+-， 对任意的[]11,2x ∈，都存在21,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
()()1212f x x x g x =-成立， 所以()h x 的值域是[2,1]--的子集，
21(1)1()1ax a x h x ax a x x ---'=-+-=-
1(1)a x x a x
⎛
⎫-+ ⎪
⎝⎭=-
， ①(],1a ∈-∞-时，()h x 在()1,2x ∈上单调递增， ∴(1)122
a
h =
-≥-，(2)ln 221h =-≤-，解得[]2,1a ∈--. ②11,2a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()h x 在11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭上单调递减，1,2x a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭上单调递增， ∵(1)112
a
h =
-≤-，(2)ln 221h =-≤-恒成立， 下面证明11ln()122h a a a ⎛⎫
-
=--+-≥- ⎪⎝⎭
恒成立. 令1()ln()12p a a a
=--+
-，211
()02p a a a '=-->，解得12a <-.
∴()p a 在11,2a ⎛
⎫
∈--
⎪⎝⎭
上单调递增， min 3
()(1)22
p a p =-=-
>-恒成立， ∴11,2a ⎛⎫∈--
⎪⎝⎭
.
③1,02a ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
时，()h x 在()1,2x ∈单调递减， ∴(1)112
a
h =
-≤-，(2)ln 222h =-≥-， 解得1,02a ⎡⎫
∈-
⎪⎢⎣⎭
. 综上所述[)2,0a ∈-.
【点睛】本题考查了导数几何意义的简单应用，根据导函数判断函数的单调性与值域，构造函数法分析函数的单调性与值域，分类讨论思想的综合应用，是高考的常考点和重点，属于难题.。