专题1 地位等价法(原卷+解析)-高考数学二轮复习

第1讲 地位等价法
知识与方法
在求最值时,如果x y 、互换位置,题目不变,我们称之为x y 、地位等价,通常可以使用地位等价法.为什么这个地方加“通常”二字,严格来讲,此方法并非万能,非要说它的原理,应该来源于基本不等式中“一正二定三相等”的“三相等”,所以建议在部分选择题或者实在不会做时使用.
地位等价法使用条件:当x y 、互换位置题目不变时或者当系数成比例时,合理换元(忽略乘积项).
地位等价法使用方法与步骤如下： 1.令x y =；2.求出x y 、值；3.代入即可.
典型例题
【例1】若实数,x y 满足2
2
1x y xy ++=,则x y +的最大值是( )
B. C.
D.【例2】已知0,0,1a b a b >>+=,则
11
a b
+的取值范围 ( ) A.()2,+∞ B.[)2,+∞ C.()4,+∞
D.[
)4,+∞
【例3】已知0,0,228x y x y xy >>++=,则2x y +的最小值是( )
A.3
B.4
C.
92
D.
112
【例4】已知0x >,0y >,lg 2lg8lg 2x y
+=,则
113x y
+的最小值是( )
A.2
B.
C.4
D.
【例5】已知22log log 1a b +,则39a b +的最小值为( ) A.6
B.9
C.16
D.18
【例6】已知,,2a b a b ∈+=R .则
22
11
11
a b +++的最大值为( )
A.1
B.
65
C.
1
2
D.2
强化训练
1.已知实数1m n +=,则33m n +的最小值为 .
2.已知实数,m n ,若0,0m n >>,且1m n +=,则22
(1)(1)n m m n
+++的最小值是 .
3.若a b 、为正实数,3a b +=,的最大值是 .
4.当点
()
,x y 在直线320x y +-=上移动时,则3271x y ++的最小值
为 .
5.设,x y 为实数,若2
2
45x y xy ++=,则2x y +的最大值是 . 6. 已
知
,m n ∈R ,且
22
m n +=,则
21
22m n m n +⋅+⋅的最小值
为 .
第1讲 地位等价法
知识与方法
在求最值时,如果x y 、互换位置,题目不变,我们称之为x y 、地位等价,通常可以使用地位等价法.为什么这个地方加“通常”二字,严格来讲,此方法并非万能,非要说它的原理,应该来源于基本不等式中“一正二定三相等”的“三相等”,所以建议在部分选择题或者实在不会做时使用.
地位等价法使用条件:当x y 、互换位置题目不变时或者当系数成比例时,合理换元(忽略乘积项).
地位等价法使用方法与步骤如下： 1.令x y =；2.求出x y 、值；3.代入即可.
典型例题
【例1】若实数,x y 满足2
2
1x y xy ++=,则x y +的最大值是( )
B. D.【解析】
【解法1】1∵实数,x y 满足2
2
1x y xy ++=,即2
()1x y xy +=+.
再由2()4x y xy +,可得22
()()114x y x y xy ++=++,解得24
()
3
x y +,
4
433x y +,故x y +=
【解法2】令x y =,则2
31,x x x y ==+=最大. 【答案】A.
【例2】已知0,0,1a b a b >>+=,则
11
a b
+的取值范围 ( ) A.()2,+∞ B.[)2,+∞
C.()4,+∞
D.[)4,+∞
【解析】 【解法1】
0,0,1a b a b >>+=,
则
()11112224b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=+++= ⎪⎝⎭
, 当且仅当1
2
a b ==
时取得最小值4. 【解法2】令111
,42a b a b
==
+=. 【答案】D .
【例3】已知0,0,228x y x y xy >>++=,则2x y +的最小值是( )
A.3
B.4
C.
92
D.
112
【解析】
【解法1】考查基本不等式()
2
228282x y x y x y +⎛⎫+=-⋅- ⎪⎝⎭
,
整理得()2(2)42320x y x y +++-, 即()()24280x y x y +-++, 又20x y +>,所以24x y +..
【解法2】将x 当作整体a ,将2y 当作整体b ,令2,22a b x y ====即可.
【答案】B
【例4】已知0x >,0y >,lg 2lg8lg 2x y
+=,则
11
3x y
+的最小值是( )
A.2
B.
C.4
D.【解析】 【解法1】:
()
lg 2lg8lg 2,lg 28lg 2,x y x y +=∴⋅=
322,31x y x y +∴=∴+=.
()1111330,0,32224333y x y x y x y x y x y x y x ⎛⎫>>∴+=++=+++= ⎪⎝⎭
,
当且仅当1
32
x y ==
时取等号. 【解法2】2:31,x y x +=与3y 地位等价,令1
32
x y ==
即可. 【答案】C.
【例5】已知22log log 1a b +,则39a b +的最小值为( ) A.6 B.9
C.16
D.18
【解析】 【解法1】
222log log log 1,0,0,2a b ab a b ab +=∴>>,
又223933233a b a b a b +=+⋅=, 因为222222224a b a b ab +⋅=⨯=, 所以4392318a b +=.
即39a b
+的最小值为18.
【解法2】()2:2,24ab a b ,令22a b ==即可. 【答案】D.
【例6】已知,,2a b a b ∈+=R .则
22
11
11
a b +++的最大值为( ) A.1 B.
65
C.1
2
D.2
【解析】此题不可用地位等价法,所以前面说了,此法不万能,特别是所求为二次式范围的时候,要谨慎使用.
,,2a b a b ∈+=R .则
()222222222222421112()2262111()1()2()52()(1)4
ab a b a b ab ab
a b a b ab a b ab ab ab ab ab --+++-+-+====
+++++++-+-+-+
令()2121(1)0t ab a a a =-=--=--,
则
()2242142(1)4
4
ab t
ab t ---=
-++, 令()424t s s -=,即42
s
t -=
, 可得
2
2
424
32(4)4
844
t
s s t s s -==-++-+
,
由3232
2s s s
s
+
⋅=
, 当且仅当2s t ==-,
可得
441322828
8
s s
=-+-,
则2211
11a b +++的最大值为12.
【答案】C.
强化训练
1.已知实数1m n +=,则33m n +
的最小值为 . 【解析】
【解法1】
30,30,1,3323m n m n m n m n +>>+=∴+=
当且仅当1
2
m n ==
取等号,故33m n +
的最小值为【解法2】令1
2
m n ==
即可. 【答案】2.已知实数,m n ,若0,0m n >>,且1m n +=,则22
(1)(1)n m m n
+++的最小值是 . 【解析】
【解法1】若0,0m n >>,且1m n +=,
则222222
(1)(1)(2)(2)4444n m m n n m n m m n n m m n m n m n
+++++=+=+++++ ()33
54m n m n mn +=++⋅=()()
2254m n m n mn mn
++-+⋅
22254549m n mn mn mn
mn mn
+--=+⋅+⋅=,
当且仅当1
2
m n ==
,取得最小值,且为9.
【解法2】令1
2
m n ==
即可. 【答案】9.
3.若a b 、为正实数,3a b +=,的最大值是 . 【解析】
【解法1】=
=又a b 、为正实数,3a b +=
524ab
=+=当且仅当3
2
a b ==
时等号成立. 【解法2】令3
2
a b ==
即可.
. 4.当点
()
,x y 在直线320x y +-=上移动时,则3271x y ++的最小值
为 . 【解析】
【解法1】3272327x y x +⋅=
又
32,3272327x y x x y +=∴+⋅==6=.
当且仅当327x y =即31x y ==时取等号,
则3271x y
++的最小值为7.
【解法2】令31x y ==即可.
【答案】7.
5.设,x y 为实数,若2
2
45x y xy ++=,则2x y +的最大值是 . 【解析】
【解法1】令2x y t +=,则2,y t x =-
()224(2)25x t x x t x ∴+-+-=,化为226350,x tx t -+-= x 为实数,()
22Δ9245
0t t ∴=--,解得28t ,解得222,t -
2x y ∴+的最大值为
【解法2】令2x y ==.
【答案】6.已知
,m n ∈R ,且
22
m n +=,则
21
22m n m n +⋅+⋅的最小值
为 . 【解析】 【解法1】
()()21222,22222m n m m n m f m m n m m +-=-∴=⋅+⋅=⋅+-⋅,
令()()()22,22m m g m m h m m -=⋅=-⋅,
当0m 时,()h m 为减函数,且()()()08,h m h g m ==2m
m --⋅,
从y x =与2x
y =的图象易知,2m m ,
所以()2
1,2
m
m
m g m m --⋅=⋅()()()1,187f m g m h m -=+-+=,
当2m 时,由()g m 与()h m 关于1x =对称,同上可得()7f m ,
当02m <<时,()()()()()()020,208,mln2120,m g h g h g m '=====+>
()()2ln21h m m ⎡⎤=--+⎣⎦
'.220m -<,且()(),g m h m ''均为单调递增, 当01m <<时,()()()12ln 21,g m g <=+''
()()()()()()122ln21,h m h f m g m h m <=-+'='+'''单调递减.
当12m <时,同理,可得()()()()()110f m g m h m g h '=++''''=单调递增(当1m =时等号成立)所以当1m =时,()f m 取最小值, 即当11,2
m n ==时,2122m n m n +⋅+⋅的最小值为4. 【解法2】令21m n ==即可.
【答案】4.。