高中数学第二章空间向量与立体几何2.1从平面向量到空间向量训练案北师大版选修2-1(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.1 从平面向量到空间向量训练案北师大版选修2-1
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2。

1 从平面向量到空间向量
［A。

基础达标]
1．下列说法正确的是( ）
A．如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量模的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
解析：选D.两个向量不相等，但它们的长度可能相等,A不正确．任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B不正确．向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D正确．
2。

如图，在四棱柱的上底面ABCD中，错误!＝错误!,则下列向量相等的是( )
A。

错误!与错误!
B.错误!与错误!
C。

错误!与错误!
D.错误!与错误!
解析:选D.因为错误!＝错误!，所以四边形ABCD为平行四边形．所以错误!＝错误!,错误!＝错误!,错误!＝错误!。

3．在四边形ABCD中，若错误!＝错误!，且|错误!|＝｜错误!|,则四边形ABCD为（）A．菱形B．矩形
C．正方形D．不确定
解析:选B.若错误!＝错误!，则AB＝DC，且AB∥DC,所以四边形ABCD为平行四边形．
又｜错误!｜＝|错误!|，即AC＝BD，
所以四边形ABCD为矩形．
4．下列有关平面法向量的说法中,不正确的是（）
A．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a，b与平面α平行，则a∥b
解析:选D.依据平面向量的概念可知A，B，C都是正确的．由立体几何知识可得a，b不一定平行．
5。

在正四面体A—BCD中，如图，〈错误!，错误!>等于( )
A．45° B．60°
C．90°D．120°
解析:选D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量错误!的起点平移到A点处，再求夹角得〈错误!，错误!〉＝120°，故选D.
6．在正四面体A-BCD中，O为平面BCD的中心,连接AO，则错误!是平面BCD的一个________向量．
解析：由于A-BCD是正四面体，易知AO⊥平面BCD，所以错误!是平面BCD的一个法向量．答案:法
7.如图在平行六面体AG中,①错误!与错误!；②错误!与错误!；③错误!与
错误!；④错误!与错误!,四对向量中不是共线向量的序号为________．
解析：因为错误!＝错误!，
所以AH →与错误!共线，其他三对均不共线．
答案：②③④
8。

如图,棱长都相等的平行六面体ABCD .A 1B 1C 1D 1中，已知∠A 1AB ＝60°，则〈错误!,错误!>＝________；<错误!，错误!〉＝______；〈错误!，错误!〉＝________．
解析：在平行六面体ABCD 。

A 1B 1C 1D 1中，错误!∥错误!，且方向相同，所以〈错误!，错误!〉＝0°；因为AB ∥CD ，CD ∥C 1D 1,所以AB ∥C 1D 1，所以错误!∥错误!，但方向相反，所以〈错误!，错误!〉＝180°；因为错误!＝错误!，所以<错误!，错误!>＝<错误!,错误!〉＝180°－∠A 1AB ＝120°。

答案：0° 180° 120°
9。

如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC —A 1B 1C 1。

（1）在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,写出与向量错误!相等的向量；
（2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量错误!的相反向量；
（3）若E 是BB 1的中点，写出与向量错误!平行的向量．
解：（1）由正三棱柱的结构特征知与错误!相等的向量只有向量错误!。

（2）向量AC →的相反向量为错误!，错误!.
（3)取AA 1的中点F ,连接B 1F （图略），则B 1F →,错误!,错误!都是与错误!平行的向量．
10．如图，在三棱锥S 。

ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，∠BAC ＝90°，O 是BC 的中点，证明：错误!是平面ABC 的一个法向量．
证明：由题意知，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，
故设SA ＝SB ＝SC ＝a ，
因为O 是BC 的中点，SB ＝SC ，所以SO ⊥BC .
因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，AO ⊥BC ,所以AO ＝错误!a 。

又SO ＝错误!a ,SA ＝a ，所以△ASO 是等腰直角三角形,
即SO ⊥OA 。

又OA ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC ,
所以错误!是平面ABC 的一个法向量．
［B 。

能力提升]
1．空间两向量a ，b 互为相反向量，已知向量｜b |＝3,则下列结论正确的是（ ）
A ．a ＝b
B ．｜a |＝－｜b |
C ．a 与b 方向相同
D ．|a ｜＝3
解析：选D 。

a 与b 互为相反向量，即a 与b 方向相反且｜a |＝｜b ｜.
2．在直三棱柱ABC。

A′B′C′中，已知AB＝5，AC＝3,BC＝4，CC′＝4,则以三棱柱的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5的向量的个数为( )
A．2 B．4
C．8 D．10
解析:选C。

向量错误!，错误!，错误!，错误!及它们的相反向量的模都等于5，共有8个．
3.如图,三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC,∠ABC＝90°，PA＝AC,则在向量错误!，错误!，错误!，错误!,错误!，错误!中，夹角为90°的共有________对．解析：因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，平面PAB⊥平面ABC。

又平面PAB∩平面ABC＝AB,BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.
由此知〈错误!,错误!〉，〈错误!，错误!〉，〈错误!，错误!>，〈错误!，错误!〉,〈错误!,错误!〉都为90°。

答案：5
4．下列命题中，真命题有________个．
①若A,B，C,D是不共线的四点，则错误!＝错误!是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；
②向量a，b相等的充要条件是错误!
③｜a｜＝|b｜是向量a＝b的必要不充分条件．
解析：对于②,｜a｜＝｜b｜,a∥b可知，a和b有可能为相反向量．
答案:2
5.如图,AB是圆O的直径，直线PA所在的向量是圆O所在平面的一个法向量，M是圆周上异于A，B的任意一点，AN⊥PM，点N是垂足，求证：直线AN的方向向量是平面PMB的法向量．
证明：因为AB是圆O的直径，
所以AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，
所以PA⊥BM。

因为PA∩AM＝A，
所以BM⊥平面PAM。

又AN平面PAM，
所以BM⊥AN.
又AN⊥PM,且BM∩PM＝M，
所以AN⊥平面PBM。

所以直线AN的方向向量是平面PMB的法向量．
6．(选做题)如图所示,正四面体A。

BCD中，E是AC的中点，求错误!与错误!的夹角的余弦值．
解：过E作EF∥CD交AD于F,连接BF.∠BEF为向量错误!与错误!的夹角的补角．设正四面体的棱长为1，
则BE＝错误!，EF＝错误!,BF＝错误!.
由余弦定理得
cos∠BEF＝错误!
＝错误!＝错误!。

所以错误!与错误!所成的角的余弦值为－错误!。