湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第2章 空间向量与立体几何 2.4.3 向量与夹角

(2)若l1与l2是两异面直线,v1,v2为直线l1,l2的方向向量,则v1与v2不平行.( √ )
2.已知两异面直线a,b的方向向量分别是 a=(1,0,-1),b=( -√2 ,0,0),则两异
面直线a,b所成的角为
解析
π
4
.
·
√2
∵a·b=1×(-√2)+0×0+(-1)×0=-√2,|a|=√2,|b|=√2,∴cos<a,b>= =- .
设m=(x,y,z)是平面A1BD1的一个法向量,
·1 = -4 + 4 = 0,
则
·1 = -4 + 2 + 4 = 0,
令x=1,则m=(1,0,1)是平面A1BD1的一个法向量,
|· |
所以|cos<m, >|=
||| |
即直线 AE 与平面
=
2
√2× √13
||||
2
3π
又<a,b>∈[0,π],∴<a,b>= .∴两异面直线
4
a,b 所成的角为
3π
π4
=
π
.
4
知识点2
直线与平面所成的角
当直线l与平面α相交但不垂直时,设它们所成的角为θ,v是直线l的一个方向
向量,n是平面α的一个法向量,v与n的夹角为φ,则θ=
θ=
π
φ-2
π
( 2 <φ<π),因此sin θ=|cos φ|=|cos<v,n>|=
与平面SCD所成二面角的平面角的余弦值.
SAB
解 以A为原点,AB,AD,AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标
系(图略).
因为 AD⊥平面 SAB,所以可取 =
1
0, 2 ,0
-(0,0,0)=
1
0, 2 ,0
为平面 SAB 的一
个法向量.
设平面 SCD 的一个法向量为 n=(x,y,z).
√3 3
=( 2 , 2,-a),则
3
=-2
+
3
=0,则
2
√3 3
·=( 2 , 2,-a)·(-√3,1,0)
⊥ ,即 AD⊥PE.
(2)解 =(√3,-1,-a), =(0,2,-a),若 PA⊥PC,则 · =(√3,-1,-a)·(0,2,-a)
=-2+a2=0,得 a=√2,即 =(0,2,-√2),=(√3,1,-√2),=(0,0,-√2),
1 2
-2
1
2
+ 12
=
+(-1)×1=-2,|'|= 12 + 02 + (-1)2 = √2,
3
,
2
所以直线 A'B 与直线 CE 夹角的余弦值为|cos<', >|=
-2
3
√2× 2
=
2√2
.
3
规律方法 利用向量法求异面直线所成的角的方法
(1)建立适当的空间直角坐标系.
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.
(4)结合异面直线所成角的取值范围得到两异面直线所成角.
易错警示
求异面直线所成的角的易错点
异面直线所成角的范围是
应取其补角.
π
0,
2
,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,
变式训练1已知三棱锥S-ABC中,底面三角形ABC为边长等于2的等边三角
形,SA垂直于底面ABC,SA= 2√2 ,D为SA的中点,那么直线BD与直线SC所成
课程标准
1.理解两异面直线所成的角与它们方向向量之间的关系,会用向量方法求
异面直线所成的角.
2.理解直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面的法向量之间的关
系,会用向量方法求直线与平面所成的角.
3.理解二面角的大小与两个平面法向量之间的关系,会用向量方法求两个
平面所成的角.
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
.
1=3
√6× 2
所以平面 SAB 与平面 SCD
-1
√6
夹角的余弦值为 3 .
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)直线与直线的夹角;(2)直线与平面所成的角;(3)两个平面所成的角.
2.方法归纳:直线的方向向量转化法求异面直线所成的角;直线的方向向量
与平面的法向量转化法求直线与平面所成的角;两平面的法向量转化法求
变式训练2
在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且侧棱AA1垂直于底面
ABCD,AA1=AD=2A1D1=4,E是DD1的中点.求直线AE与平面A1BD1所成角的
正弦值.
解 由侧棱AA1垂直于底面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,则AA1⊥AB,AA1⊥AD,
又ABCD是正方形,即AB⊥AD,故AB,AD,AA1两两垂直,以A为原点,
π
-φ
2
π
(0<φ< 2 )或
.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)直线l的方向向量与平面α的法向量n的夹角是直线和平面所成的
角.( × )
π
(2)直线l与平面α所成的角的取值范围是(0, ).( × )
2
2.若直线l与平面α所成的角为θ,v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个
·
cos<m,n>=| |||
=
√3
3
10
3
=
√10
,观察图形可知,二面角
10
B-PC-D
规律方法 利用空间向量求两平面所成的角的方法
设n1,n2分别是平面α,β的法向量,两个平面所成的角的大小可以利用向量n1
与n2的夹角求解,用坐标法的解题步骤如下:
(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系.
(2)求法向量:在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1,n2.
(3)计算:求n1与n2夹角θ,cos θ=
1 ·2
|1 ||2 |
.
(4)求角:两个平面所成角的大小的余弦值即为|cos θ|.
变式训练3[北师大版教材习题]如图, 四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角
梯形,SA⊥平面
π
1
ABCD,AD∥BC,∠ABC=2 ,SA=BC=AB=1,AD=2,求平面
· = 0,
即
1
√3
-
2
2
+ = 0,
取 x=1,则 z=1,y=√3,故 n=(1,√3,1)为平面 GEF 的一个
- = 0,
法向量,
|1-3-1|
所以|cos<n,1 >|= 5× 5
√ √
=
3
,
5
3
所以直线 B1F 与平面 GEF 所成角的正弦值为 .
规律方法 利用向量求直线与平面所成的角θ的方法
因为 =
1
0, 2 ,0
1
· = 2 - =
1
· = + 2
-(0,0,1)=
0,
= 0.
1
0, 2 ,-1
, =(1,1,0)-
1
0, 2 ,0
=
1
1, 2 ,0
,所以
取 x=1,则 n=(1,-2,-1),
所以
·
cos<n, >=||| |
=
√6
, , 1 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,并均以 1 为单位长度建立空间直角
坐标系,由 AA1=AD=2A1D1=4,可知
A(0,0,0),B(4,0,0),A1(0,0,4),D1(0,2,4),E(0,3,2),则
1 =(-4,0,4),1 =(-4,2,4), =(0,3,2),
· = √3 + -√2 = 0,
设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z),由
令 z=√2,则
· = 2-√2 = 0,
√3
y=1,x= 3 ,即
√3
n=( 3 ,1,√2)是平面
为 m=(1,0,0),则
√10
的余弦值是 10 .
PBC 的一个法向量.平面 PCD 的法向量可取
|cos<v1,v2>|=| || |
1 2
.
名师点睛
用向量方法求两条直线所成的角时,若能建立空间直角坐标系,则相关向量
可用坐标表示,通过向量坐标运算求解;若建系不方便,则可选用一组基表
示其他向量,通过向量运算求解.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两异面直线所成的角也就是两异面直线的方向向量的夹角.( × )
=
√26
,
13
√26
A1BD1 所成角的正弦值为 .
13
探究点三
两个平面所成的角的求法
【例3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为2
的菱形,且∠BAD=60°,E是BC的中点.
(1)求证:AD⊥PE;
(2)若PA⊥PC,求二面角B-PC-D的余弦值.
(1)证明∵PD⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,E是
角的大小为
π
4
.
解析 建立如图所示的空间直角坐标
系.A(0,0,0),B(√3,1,0),C(0,2,0),D(0,0,√2),S(0,0,2√2).
所以=(-√3,-1,√2), =(0,2,-2√2).
所以
√2
cos<, >=
=- .
2
| || |
所以直线 BD 与 SC
π
法向量,v与n的夹角为φ,当θ=0与θ=
时,直线l与平面α有什么关系,此时φ
2
为多少?
提示 当 θ=0 时,l∥α 或
当
π
θ= 时,l⊥α,φ=0
2
或 π.
π
l⊂α,φ= ;
2
知识点3
两个平面所成的角
1.二面角:从一条直线出发的 两个半平面
所组成的图形称为二面角,
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的范围为 [0,π]
ABCD-A'B'C'D',点E是A'D'的中点,求直线A'B与直线CE所成角的余弦值.
解 由已知得 A'(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),E
=
1
-1,- 2 ,1
| |= (-1) +
,则'=(1,0,-1),
.
所以' · =1×(-1)+0×
2
1
0, 2 ,1
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
知识点1
直线与直线的夹角

θ∈(0, ]
2
设v1,v2分别是两异面直线a,b的方向向量,且两异面直线a,b所成的角为θ,设
v1与v2所成的角为φ,则θ= φ 或θ= π-φ
,所以cos θ=|cos φ|
=
|1 ·2 |
在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则
1 √3
B1(0,√3,2),F(1,0,1),E( , ,0),G(0,0,2),1 =(1,-√3,-1),
2 2
1 √3
=( ,- ,1),=(1,0,-1).
2 2
· = 0,
设平面 GEF 的法向量为 n=(x,y,z),则
BC的中点,
∴建立以D为原点,在底面内作DC的垂线作为x轴,DC所在的直线作为y
轴,DP所在的直线作为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
√3 3
D(0,0,0),A(√3,-1,0),C(0,2,0),B(√3,1,0),E( 2 , 2,0),
则=(-√3,1,0),设 PD=a(a>0),则 P(0,0,a),
两平面所成的角.
3.常见误区:建立空间直角坐标系后不能
正确写出点的坐标.利用直线的方向向量转化法求异面直线所成的角时要
注意:若方向向量的夹角是钝角,应取其补角.直线和平面所成的角的取值
范围是[0,
π
π
],两平面所成的角的取值范围是[0, ],因此两平面的法向量的
2
2
夹角不一定是两平面所成的角.
学以致用·随堂检测促达标
.
2.两个平面所成的角:两个平面相交会形成四个二面角,一般规定较小的二
π
面角为两平面所成的角,其范围是[0, ],当两个平面平行时,它们所成的角
2
为 0° .
3.设两个平面α1和α2所成的角为θ,平面α1,α2的法向量分别为n1和n2,记
π
π
φ
π-φ
<n ,n >=φ,则θ=
(0≤φ≤
)或θ=
( ≤φ≤π),
量n=(0,-1,1),则二面角α-l-β的大小为
解析
·
∵cos<m,n>=
||||
2π
∴<m,n>= ,∴二面角
3
=
2π π
或
3
3
-1
1
=- ,
√2× √2 2
α-l-β
2π
π
的大小为 或 .
3
3
.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
利用向量方法求两异面直线所成的角
【例1】 [北师大版教材习题]如图,在空间直角坐标系中有单位正方体
1.若互相垂直的两异面直线的方向向量是a=(x,1,-2),b=(3,x,4),则x=( C )
·
π
所成角的大小为4 .
探究点二
利用向量求直线与平面所成的角
【例2】 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为
AB,AA1,A1C1的中点,求直线B1F与平面GEF所成角的正弦值.
解 设正三棱柱的棱长为2,取AC的中点D,连接DG,DB,分别以DA,DB,DG所
1
2
cos θ=|cos φ|=|cos<n1,n2>|.
2
2
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若向量n1,n2分别为二面角的两半平面的法向量,则二面角的平面角的大
小就是两个半平面法向量的夹角.( × )
(2)二面角即为两个平面所成的角.( × )
2.已知二面角α-l-β,其中平面α的一个法向量m=(1,0,-1),平面β的一个法向