2020届高考数学二轮教师用书：第六章第5节 合情推理与演绎推理

第5
节　合情推理与演绎推理
1．合情推理合情推理
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，
推出该类事物的　全部对象　都具有
这些特征的推理，或者由　个别事实　
概括出　一般结论　的推理由两类对象具有某些类似特征和其中
一类对象的某些　已知特征　推出另
一类对象也具有这些特征的推理
特点
由　部分
　到　整体　、由　个别　
到　一般　的推理
由　特殊　到　特殊　的推理一般步骤
(1)通过观察个别情况发现某些相同性
质；(2)从已知的相同性质中推出一个
明确的一般性命题(猜想)
(1)找出两类事物之间的相似性或一致
性；(2)用一类事物的性质去推测另一
类事物的性质，得出一个明确的命题
(猜想)
共性
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，
再进行　归纳　、　类比　，然后提出　猜想　的推理，它们得到的结论　
不一定　成立需要进一步证明
2.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到　特殊　的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
1.合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理
形式都正确时，得到的结论一定正确．
2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )
(5)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三
段论推理，其大前提错误，其结论也是错误的．( )
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
[小题查验]
1．(2019·滁州市模拟)若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在( )
A．大前提 B．小前提
C．推理过程D．没有出错
解析：A　[要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和推理形式
是否都正确，只有这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．本题中大前提：任何实
数的平方都大于0，是不正确的．]
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：D　[由已知得偶函数的导函数为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)．]
3．给出下列三个类比结论．
①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；
②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中结论正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：B [只有③正确．]
4．(教材改编)已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝(n ＝1,2,3，…)，归纳该数列an
1＋an 的通项公式a n ＝　________　.
答案：1n
5．观察下列不等式：
1＋<，
122321＋＋<，122132531＋＋＋<，12213214274……
照此规律，第五个　不等式为　________　.
解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
∴第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
1
221
321
421
5216211
6答案：1＋＋＋＋＋<122132142152162116
考点一　归纳推理(多维探究)
[命题角度1]　数式的归纳　1．(2016·山东卷)观察下列等式：
－2
＋－2
＝×1×2；
(sin
π
3)(sin
2π3)4
3－2＋－2＋－2＋－2
(sin π5)(sin 2π5)(sin 3π5)(sin 4π5)
＝×2×3；4
3－2＋－2
＋－2＋…＋
－2＝×3×4；
(sin π7)(sin 2π7)(sin
3π
7)
(sin
6π7)
4
3－2＋－2＋－2
＋…＋
－2＝×4×5；
(sin π9)(sin 2π9
)(sin 3π9)
(sin 8π9)4
3
……照此规律，
－2
＋－2
＋－2＋…＋
－2＝　________　.
(
sin
π2n ＋1
)(
sin
2π2n ＋1
)(
sin
3π2n ＋1)
(
sin
2n π2n ＋1)
解析：观察前4个等式，由归纳推理可知
－2
＋－2＋…＋
－2＝×n ×(n ＋1)＝
.
(sin π2n ＋1)(sin 2π
2n ＋1)
(sin 2n π2n ＋1)
434n (n ＋1)
3
答案：
4n (n ＋1)3
2．观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝　________　.
解析：由已知中1＝12，
1＋2＋1＝4＝22，1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…
归纳猜想可得1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n 2.答案：n 2
[命题角度2]　图表的归纳　3．观察分析下表中的数据：
多面体面数(F )顶点数(V )
棱数(E )三棱柱569五棱锥6610立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是　________　.解析：∵5＋6－9＝2；6＋6－10＝2；6＋8－12＝2，归纳：F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝2
4．将全体正整数排成一个三角形数阵：
12　34　5　67　8　9　10
……
根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是　________　.
解析：前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)＝
个，即个，因此第n 行从
n (n －1)
2
n 2－n
2左至右的第3个数是全体正整数中第
＋3个，即为
.
n 2－n
2
n 2－n ＋6
2
答案：
n 2－n ＋6
2
(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．
(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．(3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．
考点二　类比推理(自主练透)
[题组集训]
1．(2019·沈阳市一模)在推导等差数列前n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝　________　.
解析：设S ＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°，则S ＝sin 289°＋sin 288°＋…＋sin 21°，
两式倒序相加，得2S ＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 289°＋sin 21°)＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 289°＋cos 289°)＝89，所以S ＝44.5.答案：44.5
2．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三
角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝
(其中a ，b 为直角三角形两直角边长)
a 2＋
b 2
2
．类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝　________　.
解析：把三棱锥补形为长方体，则长方体的对角线长即为三棱锥外接球的直径，则三棱
锥外接球的半径R ＝
.
a 2＋
b 2＋
c 2
2
答案：
a 2＋
b 2＋
c 2
2
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．
考点三　演绎推理(师生共研
)
逻辑推理——演绎推理中的核心素养
演绎推理是指从一般原理出发，依据一定的逻辑规则，推出命题的思维过程，是从一般到特殊的推理，
其最常见的推理形式是三段论．
[典例]　如图，A ，B ，C 三个开关控制着1,2,3,4号四盏灯．若开关A 控制着2,3,4号灯(即按一下开关A,2,3,4号灯亮，再按一下开关A,2,3,4号灯熄灭)，同样，开关B 控制着1,3,4号灯，开关C 控制着1,2,4号灯．开始时，四盏灯都亮着，那么下列说法正确的是(
)
A ．只需要按开关A ，C 可以将四盏灯全部熄灭
B ．只需要按开关B ，
C 可以将四盏灯全部熄灭C ．按开关A ，B ，C 可以将四盏灯全部熄灭
D ．按开关A ，B ，C 无法将四盏灯全部熄灭
[解析]　D [根据题意，按开关A,2,3,4号灯熄灭，1号灯亮；按开关B,1,2号灯熄灭，
3,4号灯亮；按开关C，则2,3,4号灯熄灭，1号灯亮．选D.]
(1)演绎推理的结构
演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、
结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一
般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一
般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．
(2)演绎推理的理论依据
其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
[跟踪训练]
(2019·全国Ⅱ卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次
序为( )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
解析：A　[若甲预测正确，则乙、丙预测都不对，那么三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．]
1．(2020·淄博市一模)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(x0)＝0，所以，x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误D．结论正确
解析：A　[大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，
因为对于可导函数f (x )，如果f ′(x 0)＝0，且满足当x ＞x 0时和当x ＜x 0时的导函数值异号时，那么x ＝x 0是函数f (x )的极值点，
∴大前提错误．]
2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( )
A ．45
B ．55
C ．65
D ．66
解析：B [由已知中：第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有3＝1＋2个，第3个图中黑点有6＝1＋2＋3个，第4个图中黑点有10＝1＋2＋3＋4个，…
故第10个图中黑点有a 10＝1＋2＋3＋ (10)
＝55个．故选B.]
10×11
2
3．二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，三维空间中，球的
二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”4
3的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝( )
A ．2πr 4
B ．3πr 4
C ．4πr 4
D ．6πr 4
解析：A [对于二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，(πr 2)′＝2πr ；
三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3，
′＝4πr 2
；
4
3(4
3πr 3)四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3；又∵(2πr 4)′＝8πr 3，
∴“超球”的四维测度W ＝2πr 4.]
4．(2020·南昌市模拟)为培养学生分组合作能力，现将某班分成A ，B ，C 三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B 组中的那位的成绩与甲不一样，在A 组中的那位的成绩比丙低，在B 组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是( )
A ．甲、丙、乙
B ．乙、甲、丙
C ．乙、丙、甲
D ．丙、乙、甲
解析：C [由“在B 组中的那位的成绩与甲不一样，在B 组中的那位的成绩比乙低”可得B 组是丙，且丙的成绩比乙低，
又在A 组中的那位的成绩比丙低，∴A 组是甲，
∴甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是：乙、丙、甲．]
5．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6614用算筹表示就是
，则
8335 用算筹可表示为( )
解析：B [由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十
位，千位，十万位用横式表示，则8 335 用算筹可表示为
.]
6．观察式子1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<…，则可归纳出1223
21
221325
31
221
321427
41＋＋＋…＋<　________　.
1
221
321
(n ＋1)2解析：根据题意，每个不等式的右边的分母是n ＋1.不等号右边的分子是2n ＋1，
∴1＋＋＋…＋<(n ≥1)
1
221
321
(n ＋1)22n ＋1
n ＋1
答案：(n ≥1)
2n ＋1n ＋17. 如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有≤f
.若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在
f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (xn )
n
(
x 1＋x 2＋ (x)
n
)△ABC 中，
sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是　________　.解析：由题意知，凸函数满足≤f ，
f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (xn )
n
(
x 1＋x 2＋ (x)
n
)又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin
＝3sin ＝.
A ＋
B ＋C
3
π
333
2答案：332
8．(2020·宜宾市模拟)某商场有五个门供顾客出入，使用这些门需遵守以下操作规则：①如果开启1号门，则必须同时开启2号门并且关闭5号门；②如果开启2号门或者是5号门，那么要关闭4号门；③不能同时关闭3号门和4号门．现在已经开启1号门，则还需同时开启的2个门的序号是　________　.
解析：根据题意知，
①开启1号门，则同时开启2号门且关闭5号门；②开启2号门或者是5号门，则关闭4号门；③不能同时关闭3号门和4号门；
∴现在要开启1号门，则同时开启2号门且关闭5号门，关闭4号门，且开启3号门；即需要同时开启2号和3号门．答案：2和3
9．若P 0(x 0，y 0)在椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为
x 2
a 2y 2
b 2P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若
x 0x a 2y 0y b 2P 0(x 0，y 0)在双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，x 2a 2y 2b 2则切点弦P 1P 2所在直线的方程是　________　.
解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1.
x 2a 2y 2b 2x 0x a 2y 0y
b 2答案：－＝1
x 0x a 2y 0y
b 210．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .
证明：因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B >，所以A >－B ，
π2π2因为y ＝sin x 在上是增函数，
(0，π2)所以sin A >sin ＝cos B ，(π2－B )
同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ，
所以sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .。