北京市石景山区2019届高三数学3月统一测试(一模)试题文

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本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1. 已知集合{|1}P x x =∈R ≥，{1,2}Q =，则下列关系中正确的是 A. P ＝Q
B. P ÜQ
C. Q ÜP
D. P Q =R U
2. 设i 是虚数单位，若复数1i z =+，则复数z 的模为 A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
3. 某几何体的三视图如右图所示，该几何
体的体积为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
4. 若0x y >>，则下列各式中一定正确的是 A. sin sin x y >
B. ln ln()x y <-
C. e e x
y
< D.
11x y
> 5. 中国南宋时期的数学家秦九韶提出了
一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入的2,1n x ==，依次输入的a 为1，2，3，运行程序，输出的s 的值为 A. 1 B. 2
C. 3
D. 6
6. 已知平面向量(,2),(1,1),a k b k ==∈R r r ，则2k =是a r 与b r
同向的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 已知2π
()sin()5
f x x =，则(0)(1)(2)(3)(2019)f f f f f +++++=L A. 0
B. 505
C. 1010
D. 2020
8. 当[]0,1x ∈时，下列关于函数()2
1y mx =-的图象与y =数
说法正确的是
A. 当[]0,1m ∈时，有两个交点
B. 当(]1,2m ∈时，没有交点
C. 当(]2,3m ∈时，有且只有一个交点
D. 当()3,m ∈+∞时，有两个交点
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称. 若1
sin 3
α=
，则sin β=__________． 10. 若变量,x y 满足约束条件1,1,1,x y y x x +⎧⎪
-⎨⎪⎩≥≤≤则2z x y =-的最小值为_________.
11. 已知抛物线2
2(0)y px p =>的准线为l ，l 与双曲线2
214
x y -=的渐近线分别交于
,A B 两点．若||4AB =，则p =______ ．
12. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用n a 表示
解下*(9,)n n n ∈N ≤个圆环所需的最少移动次数，已知11a =， 11
21,22,n n n a a a ---⎧=⎨+⎩ ，则解下4个圆环所需的最少移动次数4a 为______．
13. 已知集合{5,1,2,4,5}A =--，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集 与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是______________．
14. 在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y 是单位圆22
1x y +=上两点，
=1AB ，则AOB ∠=______；12|2||2|y y +++的最大值为 _ ．
n 为偶数
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题13分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）． （Ⅰ）求n S ；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
16.（本小题13分）
在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，23b =，3c=，1
cos 3
B =-． （Ⅰ）求sin
C 的值； （Ⅱ）求ABC △的面积．
17. （本小题14分）
如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形．90BAE =∠︒，4AE=，2AD=，F,G,H 分别为,BE AE,AD 的中点． （Ⅰ）求证：CD ∥平面FGH ； （Ⅱ）求证：平面FGH ⊥平面ADE ；
（Ⅲ）在线段DE 求一点P ，使得AP ⊥FH ，并求出AP 的值．
已知某单位全体员工年龄频率分布表为:
年龄（岁）[25, 30）[30, 35）[35,
40）[40,
45)
[45, 50）[50, 55）合计
人数（人） 6 18 50 31 19 16 140
经统计，该单位35岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工
．．．的年龄频率分布直方图和如下：
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求该单位男女职工的比例；
（Ⅲ）若从年龄在[25，30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率．
设函数()e 2
x a
f x ax =-+
，0a >． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．
20．（本小题满分14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12
，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶
点B 在直线l :2x =上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．
2019年石景山区高三统一测试 数学（文）试卷答案及评分参考
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C
B
C
D
D
C
A
B
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．13
-； 10．1-； 11．8；
12．7； 13． (4)(6)0x x +->；（答案不唯一） 14． π3
34+．
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）， 所以12n n n a S S n -=-=（2n ≥，*n ∈N ）． 又因为12a =，
所以2n a n =（*n ∈N ）． 所以2(22)
2
n n n S n n +=
=+． （Ⅱ）24n a n n b ==，
所以4444
143
n n n T --==
-．
16．（本小题13分）
解：(Ⅰ)在ABC △中，1cos 3
B =-，
∴22122
sin 1cos 1()33
B =B =--=，
∵23b =，3c=，
由正弦定理
sin sin b c
B C =
得233sin 223
C =， ∴6
sin 3
C =
． （Ⅱ）由余弦定理222+2cos b =a c ac B -得21
12+923()3
=a a -⨯⨯-，
∴2230a a =+-，
解得1a=或3a=-（舍） ∴1sin 2
ABC S =ac B V
12213223
=⨯⨯⨯=． 17．（本小题14分）
（Ⅰ）证明：在矩形ABCD 中，CD ∥AB ，
∵F G ，分别为BE AE ，的中点， ∴FG ∥AB ，且FG 1
2
=
AB ， ∴CD ∥FG ， ∵CD ⊄平面FGH ，FG ⊂平面FGH ，
∴CD ∥平面FGH ．
（Ⅱ）证明：在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，
又∵90BAE ∠=︒，
∴AB AE ⊥，又AD AE =A I
∴AB ⊥平面ADE ， 又//GF AB
∴GF ⊥平面ADE ，
∵GF ⊂平面FGH ，
∴平面FGH ⊥平面ADE ．
（Ⅲ）解：作AP DE ⊥于P ，
∵GF ⊥平面ADE ， 且AP ⊂平面ADE ，
∴GF AP ⊥， ∵,G H 分别为AE,AD 的中点， ∴GH AP ⊥ ∵GF GH =G I ，
∴AP ⊥平面FGH ， ∵FH ⊂平面FGH ，
∴AP FH ⊥， ∵矩形ABCD ⊥平面AEB ，且平面ABCD I 平面AEB=AB ， ∴AE ⊥平面ABCD ，
∴AE ⊥平面AD ， 在直角三角形AED 中，4AE=，2AD=，可求得45
AP =
． 18．（本小题13分）
解：（Ⅰ）由男职工的年龄频率分布直方图可得： (0.010.040.080.0250.025)51a +++++⨯=．
所以0.02a =．
（Ⅱ）该单位[25, 35)岁职工共24人，由于[25, 35)岁男女职工人数相等，所以[25, 35)岁的男职工共12人． 由（Ⅰ）知，男职工年龄在[25, 35)岁的频率为0.15，
所以男职工共有12800.15
=人，
所以女职工有14080=60-人， 所以男女比例为4∶3．
（Ⅲ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在[25, 30)岁的频率为0.05． 由（Ⅱ）知，男职工共有80人，所以男职工年龄在[25, 30)岁的有4人，分别记为
1234,,,A A A A ．
又全体员工年龄在[25, 30)岁的有6人，所以女职工年龄在[25, 30)岁的有2人，分别记为12,B B ．
从年龄在25~30岁的职工中随机抽取两人的结果共有121314()()()A A A A A A ，，，，，，
111223242122343132()()()()()()()()()A B A B A A A A A B A B A A A B A B ，，，，，，，，，，，，，，，，，，
414212()()()A B A B B B ，，，，，15种情况，
其中一男一女的有111221223132()()()()()()A B A B A B A B A B A B ，，，，，，，，，，，，
4142()()A B A B ，，，8种情况，
所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为815
．
19．（本小题13分）
解：（Ⅰ）2)(a ax e x f x
+
-=Θ，
a e x f x -='∴)(，
a e f -='∴)1(，
由题设知0)1(='∴f ，即0=-a e ，解得e a =．
经验证e a =满足题意。

（Ⅱ）方法一：
令()0f x '=，即x e a =，则ln x a =， （1）当ln 1a <时，即0a e <<
对于任意(),ln x a ∈-∞有()0f x '<，故()f x 在(),ln a -∞单调递减； 对于任意()ln ,1x a ∈有()0f x '>，故()f x 在()ln ,1a 单调递增， 因此当ln x a =时，()f x 有最小值为3ln ln 022a a a a a a ⎛⎫
-+
=-> ⎪⎝⎭
成立．
（2）当ln 1a ≥时，即a e ≥
对于任意(),1x ∈-∞有()0f x '<，故()f x 在(),1-∞单调递减， 所以()(1)f x f >．
因为()f x 的图象恒在x 轴上方， 所以()10f ≥，
因为()0f x >，所以()10f ≥，即2a e ≤， 综上，a 的最大值为2e ．
方法二：由题设知，当1x <时，()02
x a
f x e ax =-+
>， （1）当1
12x <<时，12x e a x <-．
设()12x e g x x =-，则()22
132201122x x x x e e x e g x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
'==<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 故()g x 在()0,1单调递减，
因此，()g x 的最小值大于()12g e =，所以2a e ≤.
（2）当1
2
x =时，()120f x e =>成立．
（3）当1
2x <时，12
x e a x >-，
因为1012x e x +<-，所以当2a e =时12
x
e a x >-成立． 综上，a 的最大值为2e ．
20．（本小题14分）
解：（Ⅰ）依题可知(0)B a ，，2a = 因为1
2
c e a =
= ， 所以1c =
b
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=．
（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．
证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)(0)y k x k =+≠． 则点D 坐标为24)k （，，BD 中点E 的坐标为22)k （，， 由22
(2),
14
3y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩得
2222(34)1616120k x k x k +++-=．
设点P 的坐标为00(,)x y ，则202
1612234k x k --=+．
所以2026834k x k -=+，00
2
12(2)34k
y k x k =+=+． 因为点F 坐标为(1, 0)， ① 当12k =±
时，点P 的坐标为3
(1, )2
±，直线PF 的方程为1x =， 点D 的坐标 为(2, 2)±．
此时以BD 为直径的圆2
2
(2)(1)1x y -+=m 与直线PF 相切． ② 当1
2
k ≠±
时，直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--． 所以直线PF 的方程为2
4(1)14k y x k
=--,即2
14104k x y k ---=． 故点E 到直线PF 的距离
22
1414|221|
|2|k k k d k -+-⨯-===
（或直线PF 的方程为
22
4401414k k
x y k k --=--,
故点E 到直线PF 的距离
d =
32
2228142||14|14|
k k k k k k +-==+-）
又因为k R BD 42== ，故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．
综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．
解法二:
（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．
证明如下: 设点00(,)P x y ,则2200
01(0)43
x y y +=≠
① 当01x =时,点P 的坐标为3
(1, )2
±，直线PF 的方程为1x =， 点D 的坐标为(2, 2)±， 此时以BD 为直径的圆2
2
(2)(1)1x y -+=m 与直线PF 相切， ② 当1x ≠o 时直线AP 的方程为0
0(2)2
y y x x =++， 点D 的坐标为004(2,
)2y x +,BD 中点E 的坐标为002(2,)2y x +,故0
02||||2
y BE x =+ 直线PF 的斜率为0
01
PF y k x =-, 故直线PF 的方程为00(1)1y y x x =
--,即00
1
10x x y y ---=, 所以点E 到直线PF 的距离00
000
02
00
12|21|2|
|||2
11(
)x y y d BE x x y --
⨯-===+-+ 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．
综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．
【若有不同解法，请酌情给分】。