高数数学必修一《3.1.2.2分段函数念》教学课件

跟踪训练2
(1)函数f(x)＝x＋
x x
的图象是(
)
答案：B
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，在区间[0，4]上是抛物线的一段， 求f(x)的解析式．
题型 3 分段函数的实际应用 例3 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特
点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每 尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)表示为养殖密度x(单位：尾/立 方米)的函数．当0<x≤4时，v的值为2；当4<x≤20时，v是关于x的一 次函数．当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．( × )
(2)分段函数有多个定义域．( × )
(3)函数f(x)＝ቊ−xx，，xx
≤ ≥
00，是分段函数．(
×
)
2．已知f(x)＝ቊ−x2x，，xx
≤ >
00，则f(－3)＝(
A．－3
B．3
C．－9
答案：B
第2课时 分段函数
预学案
共学案
预学案
分段函数❶ 1．分段函数的定义 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应 关系，这样的函数通常叫做分段函数． 2．分段函数的定义域、值域 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、 值域的___并_集____；各段函数的定义域的交集是___空_集____． 3．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系 中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的 端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函 数的图象．
x2 x
− +
x，x 1，x
> ≤00中， Nhomakorabeaf(－2)＝|－2|＋1＝3.故选B.
(2)已知函数f(x)＝ቊx−2 +2x1，，xx>≤00，若f(a)＝10，则a＝________．
答案：－3
解析：当a≤0时，由f(a)＝a2＋1＝10可得a＝－3； 当a>0时，由f(a)＝－2a<0，此时f(a)＝10无解． 综上所述，a＝－3.
题后师说 (1)分段函数求值的步骤
注意：若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序， 层层处理．
(2)已知函数值求字母取值的步骤
跟踪训练1
(1)已知函数f(x)＝ቊ
x2 x
− +
x，x 1，x
> ≤
00，则f(－2)＝(
)
A．6
B．3 C．2
D．－1
答案：B
解析：由题意，
在f(x)＝ቊ
跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：① 5公里以内(含5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增 加1元(不足5公里的按5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，
(1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式； (2)画出该函数的图象．
随堂练习
1.函数y＝|x－1|＋1可表示为( )
题型 2 分段函数的图象及应用 例2 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即 f(x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域，值域．
学霸笔记：分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义 去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时， 先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可， 作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏．
微点拨❶
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)求分段函数的函数值的关键是分段归类，即自变量的取值属于哪 个区间，就只能用哪个区间上的解析式来进行计算． (3)写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．分段函数的定义 域是各个自变量取值区间的并集． (4)分段函数值域的求法是分别求出各段上的因变量的取值集合取并 集；分段函数的最大(小)值的求法是先求出每段函数的最大(小)值， 然后比较各段的最大(小)值，其中最大(小)的为分段函数的最大(小) 值．
2x + 3，x < −1.
(1)求f(f(－2))的值； (2)若f(a)＝32，求a.
一 题 多 变 将 本 例 中 函 数 f(x) 的 解 析 式 改 为 已 知 f(x) ＝
ቊf3xx2−−35
x x
<0 ≥0
，求f(10)的值．
解析：由题知，f(10)＝f(10－3)＝f(7)，f(7)＝f(7－3)＝f(4)，f(4)＝f(4－3)＝f(1)，f(1)＝f(1－3)＝f(－2)， f(－2)＝3×(－2)2－5＝7，∴f(10)＝7.
(1)当0<x≤20时，求函数v(x)的表达式； (2)当x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f(x)＝x·v(x)可以
达到最大？并求出最大值．
学霸笔记：
分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函 数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量 的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析 式．
A．y＝ቊ2
− x，x < x，x > 1
1
B．y＝ቊ2
− x，x > x，x ≤ 1
1
C．y＝ቊ2
x，x < 1 − x，x ≥
1
D．y＝ቊ2
− x，x < x，x ≥ 1
1
答案：D
解析：当x<1时，y＝1－x＋1＝2－x，当x≥1时，y＝x－1＋1＝x，即y＝ቊ2
− x，x x，x ≥
< 1
1，A，B，C都不正
) D．9
解析：由f(x)＝ቊ−x2x，，xx
≤ >
00可得f(－3)＝－(－3)＝3.
故选B.
共学案
【学习目标】 (1)通过实例了解简单的分段函数． (2)掌握分段函数的应用．
题型 1 分段函数求值 【问题探究】 为了保护水资源，提倡节约用水，我市对居民用水
实行“阶梯水价”，计算方法如下表：
每户每月用水量 不超过12 m3的部分 超过12 m3的部分但不超过18 m3的部分 超过18 m3的部分
水价 3元/m3 6元/m3 9元/m3
假如你家本月用了15 m3水，请你算一算你家本月交了多少水费？
提示：3×12＋3×6＝54(元)．
例1
已知函数f(x)＝
1
+
1 x
，x
>
1，
x2 + 1， − 1 ≤ x ≤ 1，
确，D正确．故选D.
2．函数f(x)＝
x x
的图象是(
)
答案：C
解析：∵f(x)＝
x x
＝ቊ−11，，xx><00，∴C选项图象满足．故选C.
x − 2，x < 2
3．函数f(x)＝൝ − 3 ，x ≥ 2 ，则f(f(3))＝( )
x
A．1
B．3
C．－1
D．－3
答案：D
解析：因为f(x)＝൝x−−3x2，，xx≥<22，则f(3)＝－33＝－1， 故f(f(3))＝f(－1)＝－1－2＝－3.故选D.
4．已知函数f(x)＝ቊ−xx+2，4，x ≥x
< 0
0，若f(m)＝4，则m＝____2____．
解析：根据题意，函数f(x)＝ቊ−xx+2，4，x ≥x
< 0
0，若f(m)＝4，
则有ቊ−mm+<40=
4
或ቊmm2
= ≥
04，
解可得：m＝2.
课堂小结 1.会用解析法和图象法表示分段函数． 2．解决分段函数的求值问题． 3．能用分段函数解决生活中的问题．