北京市大兴区2016届高三下学期4月统一练习数学(理)试

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数)1(i i z
+=，则z
等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．
3
D ．2 【答案】B 【解析】
试题分析：
()11,z i i i z =+=-+∴=
=，故选B.
考点：1、复数的模；2、复数的运算.
2.在方程θ
θθ(2cos ,
sin ⎩
⎨⎧==y x 为参数）所表示的曲线上的点是（ ）
A ．)7,2(-
B ．)
3
2
,31
( C ．)
2
1,
2
1(
D ．(1,0) 【答案】C
考点：参数方程的应用.
3.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)(2324a a a +=，则
4
7S S 等于
（ ） A ．
4
7 B ．
5
14 C ．7
D ．14 【答案】C 【解析】
试题分析：设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由()
4
23a a a =+,得
11463a d a d
+=+,得1
a d
=-, 所以
4
7S S 117671427
43242
a d
d d
a d
⨯+⨯===⨯+
⨯，故选C.
考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前n 项和公式. 4.将函数y=sin2x 的图像向左平移4
π
个单位得到函数)
(x g y
=的图像，则)
(x g 的一个增区间是 （ ） A ．)4,
4(π
π
- B ．)
2
,
0(π
C ．)
,2
(
ππ
D ．)
4
5,
43(
π
π
【答案】C
考点：1、三角函数的平移变换；2、诱导公式及三角函数的单调性. 5.使“a>b ”成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1+>b a B ．
1>b
a C ．2
2
b
a
>
D ．3
3
b
a >
【答案】A 【解析】
试题分析：因为选项B 是必要不充分条件,C 是既不充分也不必要的条件, D 是充要条件，1a b >+成立一定有a b
>成立，而a
b
>成立1a b >+不一定成立，所
以a
b
>成立的充分不必要条件是1a b >+, 故选
A.
考点：1、不等式的性质；2、充分条件与必要条件.
【方法点睛】本题通过几个不等式主要考查不等式的性质、充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p
q q p
⇒⇒.对于带有否定性的命题或比
较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题. 6.下列函数：①1
1+-
=x y ；②3
)
1(-=x y
；③1log
2
-=x y
；④x
y )
2
1(
-=中，
在),0(+∞上
是增函数且不存在零点的函数的序号是（ ）
A ．①④
B ．②③
C ．②④
D ．①③④ 【答案】A 【解析】
试题分析：因为②的零点是1、③的零点是2；①④都是在),0(+∞上是增函数且不存在零点的函数，所以符合题意函数的序号是①④，故选A. 考点：1、函数的单调性；2、函数的零点.
7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
【答案】D
考点：1、几何体的三视图；2、三角形面积公式.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象
思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高
考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图
的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图
形的不同位置对几何体直观图的影响.
8.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的
是一位母亲记录的
孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，
根据图示可知，孩子已经出
生的天数是（）
A．336 B．510 C．1326 D．3603
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意，图中表示的是七进位制
1326，化为十进位制得，
()7
32
⨯+⨯+⨯+=,故选B.
1737276510
考点：1、数学建模能力；2、进位制及等比数列求和.
【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想、进位制及等比
数列求和，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题
的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读
题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理
解本题题意的关键是：对“满七进一”，的理解，进而转化为“七进制”的理
解和等比数列求和公式的应用.
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．） 9.5
)
1(x -
展开式中2x 的系数等于______.
【答案】10
考点：二项展开式的通项及系数. 10.已知向量)2,(),2,1(-==x b a ，且)(b a a -⊥，则实数x 等于_______.
【答案】9 【解析】
试题分析：由向量)2,(),2,1(-==x b a
得()1,4,a b x -=-因为)(b a a -⊥，所以
()1,4x -()
1,20
=， 9
x ∴=.故答案为9.
考点：1、平面向量数量积公式；2、向量垂直的性质. 11.若双曲线
)0,0(12
22
2>>=-
b a b
x a
y 的一条渐近线方程是02=-y x ，则它的离心
率等于______. 【答案】5
【解析】
试题分析：因为双曲线
)0,0(12
22
2>>=-
b a b
x a
y 的一条渐近线方程为
20,2,x y a b c -=∴=∴=,所以双曲线的离心率是2
c e
a
=
=
，故答案为
5
.
考点：1、双曲线的性质；2、双曲线的渐近线及离心率.
12.为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30名学生参加环保知识测试，得分（10
分制）如图所示，假设得分的中位数e m ，众数为0m ，平均数为x ，则e m ，
m ，x 之间的大小关系是
_____.
【答案】x
m m e <<0
考点：1、条形图的应用；2、众数、中数、平均数的求法.
13.已知AB 是圆O 的直径，AB=1，延长AB 到C ，使得BC=1，CD 是圆O 的切线，D 是切点，则CD
等于______，△ABD 的面积等于______.
6
考点：1、圆的性质及切割线定理的应用；2、三角形面积公式.
【方法点睛】本题主要考查三角形面积公式、圆的性质及切割线定理的应用，属于中档题. 圆的性质与相交弦定理、切割线定理的综合应用是高考命题热点，在实际应用过程中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，遇到切线和割线就要想到切割线定理，同时，与定理有关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分，做题过程中还要注意与相识三角形的性质相结合. 14.已知函数⎩
⎨
⎧>-≤≤-+-=3,3,
31,34)(2
x x x x x x f ，若在其定义域内存在),2(*∈≥N n n n 个不同的数
n x x x ,,,21⋅⋅⋅，使得
n
n x x f x x f x x f )()()(2
21
1=
⋅⋅⋅==
，则n 的最大值是______；若
2
=n ，则
n
n x x f )(的最大
值等于_______.
【答案】3 4-
【解析】
试题分析：画出函数
⎩⎨⎧>-≤≤-+-=3,3,31,34)(2
x x x x x x f 的图象，如图，使得
n
n x x f x x f x x f )()()(2
21
1=
⋅⋅⋅==的n x x x ,,,21⋅⋅⋅的个数就是直线y
k x
=与()y
f
x =的图
象交点个数，由图知直线y k x
=与()y
f
x =的图象交点个数最多有三个，所以
n
的最大值是是3；当2
n
=时
n
n x x f )(的最大值就是直线y
k x
=与
()2
43,13x x x -+-≤≤的图象相切时k
的值，由判别式可得4k
=-n
n x x f )(
的最大值是4-
4-.
考点：1、分段函数的解析式和图象；2、直线的斜率及数形结合思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和图象、转化与划归思想、直线的斜率及数形结合思想的应用，属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
如图，在四边形ABCD 中，AB=4，3
2
=AC ，B
D ACB ∠=∠=
∠2,3
1cos
.
（1）求sin ∠B ；
（2）若AB=4AD ，求CD 的长.
【答案】（1）3
6sin
=
∠B ；（2）3
C D
=.
（2）因为4
A B =,且4A B
A D
=，所以1A D
=.
因为B
D ∠=∠2，所以B
D ∠-=∠2
sin 21cos
，
即3
13221cos
-
=⨯
-=∠D ，
由余弦定理知，CD
AD AC
CD
AD
D ⨯-+=
∠2cos
2
2
2
，
即CD
CD
⨯⨯-+=
-
1212
13
12
，0
33232
=-+CD CD
，0
)113)(3(=+-CD CD
，解得
3
C D =.
考点：1、同角三角函数之间的关系；2、正弦定理及余弦定理. 16.（本小题满分12分）
2015年，中国社科院发布《中国城市竞争力报告》，公布了中国十佳宜居城市和中国十佳最美丽城市，见
下表：
（1）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得到的平均数分别为
x与2x，方差分别为21s与
1
2
s，试比较1x与2x，21s与22s的大小；（只需写出结论）；
2
（2）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳
宜居城市”的概率；
（3）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个城市进行调研，用X
表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复
计数），求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）1
x
<2
x
，2
1s >2
2
s ；（2）
23
；（3）分布列见解析，
1925
.
由已知，既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个：深圳，惠州，信阳，烟台.所以3
2)
(3
101
4
2636=
+=
C C C C A P .
（3）0,1,2
X
=, 25
9100
36)0(1
10
11016
1
6=
=
=
=C C C C X
P ，
25
13100
52)1(1
10
1
1016
1
61
41
4
1
4=
=
+=
=+C C C C C X P C C ，
25
3100
12)2(1
10
1
101
4
1414=
=
-=
=C C C C C X P ，
则X 的分布列为
25
1925
3225
13125
90=⨯
+⨯
+⨯
=EX .
考点：1、平均值和方差的应用；2、古典概型概率公式及离散型随机变量的分布列与期望.
17.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，BC=2，AD=CD=1，M 是PB 的中点. （1）求证：AM ∥平面PCD ； （2）求证：平面ACM ⊥平面PAB ；
（3）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2
PA.
=
（2）证明：因为P A⊥平面A B C D，A C⊂平面A B C D，所以P A A C
⊥.
因为1,A D
C D A D C D
==⊥，所以2
=AC ，
因为A B C ∆中，45A C B ∠=，2
=
AC
，2
B C =，所以2
=AB
.
因为2
2
2
BC
AC
AB
=+，所以90
C A B
∠=，所以A C A B
⊥，
又因为P A A B A
=，所以A C ⊥
平面P A B ，
又因为A C
⊂
平面A C M ，所以平面A C M
⊥
平面P A B .
（3）过C 作K C P A
，则K C
⊥
平面A B C D .
因为,,C D C B C K 两两垂直，如图建立空间直角坐标系C x y z
-，
考点：1、线面平行判定定理、线面垂直的判定定理；2、面面垂直的判定定理、空间向量夹角余弦公式. 18.（本小题满分13分） 已知函数x
a ax
x x f )12(ln )(2
+-+=，其中0
≠a
.
（1）当2
=a 时，求
)
(x f 在点))
1(,
1(f 处的切线方程；
（2）求
)
(x f 的单调区间；
（3）当a>0时，判断函数)
(x f 零点的个数.（只需写出结论）.
【答案】（1）30y +=；（2）当0
a <时，
)
(x f 的增区间为()0,1，
)
(x f 的减区间为),1(+∞，当2
1=a 时， )
(x f 的增区间为),0(+∞，当2
10
<<a 时，
)
(x f 的增
区间为()0,1，),21(+∞a
，
)
(x f 的减区间为)
1,21(
a
，当2
1>
a
时，)
(x f 的增区间
为)
21,
0(a
，),1(+∞，
)
(x f 的减区间为)
1,21(a
；（3）当0
a
>时，零点的个数为1.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求曲线的切线方程. 19.（本小题满分14分）
已知椭圆)0(1:
2
22
2>>=+
b a b
y a
x G
的长轴长为3
2
，右焦点F(1,0)，过F 作两
条互相垂直的直线分别
交椭圆G 于点A ，B 和C ，D ，设AB ，CD 的中点分别为P ，Q. （1）求椭圆G 的方程；
（2）若直线AB ，CD 的斜率均存在，求OQ
OP ⋅的最大值，并证明直线PQ 与x
轴交于定点. 【答案】（1）
12
3
2
2
=+
y
x
；（2）OQ OP ⋅有最大值5
1
，证明见解析.
（2）①证明： ()1,0F ，由题意设直线A B 的方程为()()10y
k x k =-≠由
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=123
)1(2
2y x
x k y ，消元得0
636)23(2
222
=-+-+k
x k x k ，
设
),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎩
⎪⎨⎧
+=+>∆236,022
21k k
x x ，
所以A B 的中点P 的坐标为)
2
32,
233(
2
2
2
+-+k
k
k
k ，
又由题意直线P 的方程为)1(1--
=x k
y
， 同理可得C D 的中点Q 的坐标为)3
22,
323(2
2
++k k
k
，
所以2
4
2
2
2
22
13665)
32)(23(49k
k
k
k k
k
k OQ OP
++=
++-=
⋅
考点：1、待定数法求椭圆方程；2、直线与椭圆的位置关系、基本不等式求最值.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系及基本不等式求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式
法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求OQ
OP ⋅最大值的.
20.（本小题满分13分）
数列{}n a 是由1,2,3，...，2016的一个排列构成的数列，设任意m 个相邻项的和构成集合B ，即
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨⎧
-⋅⋅⋅==
=∑
=+m
i i n m n a x x B 1
2016,,2,1,0,.
（1）若m=8，求B 中元素的最大值；
（2）下列两种情况下，集合B 能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列
{}n a ，若不能，说明理由.
①251,,2,1,0,8,8⋅⋅⋅===k k n m ； ②671
,,2,1,0,3,3⋅⋅⋅===k k n m
.
（3）对于数列{}n a ，若m=8，记B 中元素的最大值为S ，试求S 的最大值. 【答案】（1）16100；（2）①{}8068
=B ，②没有这样的数列{}n a 使集合B 只有
一个元素；（3）8068.
试题解析：（1）B 中元素的最大值
2016201520142013201220112010200916100
x =+++++++=.
（2）①数列：2016,1,2015,2,2014,3,...,1009,1008能使集合B 只有一个元素， 这时),
1008,,2,1(2017
),1008,,2,1(122⋅⋅⋅=-=⋅⋅⋅==-n n a n n a n n
)
251,,2,1,0)(()(8868482878583818188
1
⋅⋅⋅=+++++++==+++++++++=∑
k a a a a a a a a a k k k k k k k k k i
()()()()()()()()(
(201741201742201743201744414243k k k k k k k =-++-++-++-++++++++201748068
⨯=，所以{}8068=B .
②当3,3,0,1,2,...,671m n k k ===时，没有这样的数列{}n a 使集合B
只有一个元
素.
证明：假设存在一个数列{}n a 使集合B 只有一个元素，由题意，数列{}n a 中的
2016
个数分为672段，每段和都相等，设和为T ，则有
2
3
67220172
2016
)12016(201621672⨯⨯=
+=
+⋅⋅⋅++=T ，
所以2
3
2017⨯=
T ，与T 是整数矛盾，假设不成立.
当671
,,2,1,0,3,3⋅⋅⋅===k k n m
时，没有这样的数列{}n a 使集合B 只有一个元素.
（3）S 的最小值为8068.
考点：1、等差数列求和及集合的表示；2、元素与集合的关系及数学的划归思想.
【方法点晴】本题主要考查等差数列求和及集合的表示、元素与集合的关系及数学的划归思想，属于难题数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、数形结合思想、建模思想等等，做考查转化与划归思想的题型应耐心读题，弄清题设的性质，按题设的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以转化为常见数学知识，这样才能快速找准突破点. 充分利用数学的划归思想方法能够使问题化难为简，并使问题迎刃而解，解答本题的关键是将集合问题转化为数列问题.。