高三函数性质测试题与答案

高三函数性质测试题及答案
一 选择题
1．已知f （x ）是R 上的奇函数，对x ∈R 都有f （x+4）=f （x ）+f （2）成立，若f （﹣1）=﹣2，则f （2013）等于（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．﹣1
D ．2013
2．设函数()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()2(1)f x x x =-，则5()2f -=（ ） A -
21 B -41 C 41 D 2
1 3．已知函数()f x 的定义域为R ，(0)1f =，对任意x R ∈，都有(1)()2f x f x +=+，则
111(0)(1)(1)(2)(9)(10)
f f f f f f ++⋅⋅⋅+=（ ）
A.
109 B. 1021 C. 910 D. 11
21
4．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2)=0,当x>0时，0-(x 2
/<x
x f x f ）
（）有恒成立，则不等式0)(x
2
>x f 的解集是
A.(-2,0) ∪(2,+∞)
B.(-2,0) ∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(0,2) 5．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，12)(+-=
x x f ，则当0>x 时，
)(x f 的解析式为（ ）.
A 、12)(+=
x x f B 、12)(-=x x f C 、12)(+-=x x f D 、
12)(--=x x f 6．函数1
|()1|2
x y =-的图象与直线y k =的图象有一个公共点,则实数k 的取
值围是( )
A.01k <<
B.1k ≥
C.1k ≥或0k =
D.k R ∈ 7．设函数f （x ）定义在实数集上，f （2－x ）＝f （x ），且当x ≥1时，f （x ）＝ln x ，则有 （ ）
A ．f （）<f （2）<f （）
B ．f （）<f （）<f （2）
C ．f （）<f （2）<f （）
D ．f （2）<f （）<f （）
8．已知函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,且当x ∈(0,+∞)时,有f(x)=,则当x ∈(-∞,-2)时,f(x)
的解析式为( )
(A)f(x)=- (B)f(x)=- (C)f(x)= (D)f(x)=- 9．函数()1
f x l
g x x
=-
的零点所在的区间是（ ） A ．()01, B ．()110, C ．()10100, D ．()100,+∞
10．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．2a <- B ．2a >- C ．6a >- D ．6a <-
11．函数()()122
-+-+=a x b a ax x f 是定义在()()22,00,--a a 上的偶函数，则
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+522b a f （ ） A ．1 B ．3
C ．
2
5
D ．不存在
12．函数232||+-=x x x y 的图象与x 轴的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．1 D ．0 二 填空题
13．若函数()
12log 2
2++=x ax y 的值域为R ，则a 的围为__________。

14．2
2271
log log 12log 421482
--=________. 15．已知()()
212
log 3f x x ax a =-+在区间(2,)+∞上是减函数，则实数a 的取值围是 ．
16．已知函数ax x x x f +-=ln )(在()e ,0上是增函数，函数2
)(2
a a e x g x
+-=，当[]
3ln ,0∈x
时，函数)(x g 的最大值M 与最小值m 的差为2
3
，则=a ．
三、解答题
17．已知函数()1x
f x e ax =--.（1）判断函数()f x 的单调性;
（2）若()()ln F x f x x x =-,若函数()F x 存在零点 ,数a 的取值围.
18．已知)(x f 是定义在[1,1]-上的奇函数，且1)1(=f ，若]1,1[,-∈b a ，0a b +≠有
()()
0f a f b a b
+>+恒成立.
（1）判断)(x f 在[1,1]-上是增函数还是减函数，并证明你的结论；
（2）若,12)(2
+-≤am m x f 对所有]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，数m 的取值围。

19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时有4()4x
f x x =+. ①求()f x 的解析式；②求()f x 的值域；
③若2
(21)(24)0f m f m m ++-->，求m 的取值围.
20．设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a －2)－f(4－a 2)<0，数a 的取值围．
21．已知函数c x f x +-=+1
x
3
9)(（其中c 是常数）.
（1）若当[]1,0∈x 时,恒有0)(<x f 成立,数c 的取值围； （2）若存在[]1,00∈x ,使0)(0<x f 成立,数c c 的取值围；
（3）若方程x
c x f 3)(⋅=在[]1,0∈x 上有唯一实数解,数c 的取值围.
22．已知
)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且1)1(=f ，若[]0,1,1,≠+-∈n m n m 时，有
0)
()(>++n
m n f m f
（1）证明
)(x f 在[]1,1-上是增函数；（2）解不等式0)33()1(2
<-+-x f x f
（3）若12)(2
+-≤at t x f 对[][]1,1,1,1-∈-∈∀a x 恒成立，数t 的取值围
答案
一 选择题AABDDCBDBABB 二 填空题
[]1,0.13 14. 3
2- 15. 44a -≤≤16.
25
三 解答题
17.
试题分析：本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数
的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力、转化能力、计算能力．第一问，对()f x 求导，对a 进行讨论，分0a ≤和0a >两种情况，利用'
()0f x >和'
()0f x <进
行判断；第二问，将已知代入到()F x 中，转化为1
ln x e a x x x =--，构造函数1
()ln x e h x x x x
=--，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，可以画出函数的简图，
令y a =与函数图象相交，找出a 的取值围.
试题解析：（1） ()1x
f x e ax =--，()x
f x e a '=-，
当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，令()0x
f x e a '=-=，得ln x a =，
则()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增．
（2）令()()ln 0F x f x x x =-=，则1ln x e a x x x
=--， 令11()ln ln x x e e h x x x x x x
-=--=-，当x 无限靠近于0时，()h x 趋近于+∞. 22
11(1)(1)
()x x x xe e e x h x x x x
-+--'=-=，令()0h x '=可得1x =，可知(0,1)x ∈时，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增．因此()h x 的值域为[(1),)h +∞，即为[1,)e -+∞，因此函数()F x 存在零点时，实数a 的取值围是[1,)e -+∞.
考点：导数的运算、利用导数求函数的最值、利用导数判断函数的单调性. 18.
【解析】
试题分析：（1）要判断函数的单调性一般可用增函数和减函数的定义或利用导函数判断，由于本题没有函数解析式，再结合题目特点，适于用定义判断，解决问题的关键是对照增函数和减函数的定义，再结合奇函数的条件，怎样通过适当的赋值构造出与12()()f x f x -和12x x -相关的式子，再判断符号解决，通过观察，只要令12,a x b x ==-即可；(2)不等式恒成立问题一般要转化为函数的最值问题，先将原问题转化为121)(2max +-≤=am m x f 对任意[1,1]a ∈-成立，再构造函数2
()2g a am m =-+，问题又转化为任意[1,1],()0a g a ∈-≥恒成立，此时可对a 的
系数m 的符号讨论，但较为繁琐，较为简单的做法是只要)(a g 满足(1)0g ≥且(1)0g -≥即可. 试题解析：（1）设12x x <且12,[1,1]x x ∈，则2[1,1]x -∈-，
()f x 是奇函数
)()
()
()()()()()(2121212121x x x x x f x f x f x f x f x f --+-+=
-+=-∴由题设知
1212()()
0()
f x f x x x +->+-且120x x -<时
0)()()()(212121<--+-+∴x x x x x f x f ， 即1212()()0()()()f x f x f x f x f x -<∴<∴在[1,1]-上是增函数
（2）由（1）知，)(x f 在[1,1]-上是增函数，且1)1(=f 1)1(|)(|=≤∴f x f 要12)(2+-≤am m x f ，对所有]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，需且只需
121)(2max +-≤=am m x f 即220m am -≥成立，
令2
()2g a am m =-+，对任意[1,1],()0a g a ∈-≥恒成立 需且只需)(a g 满足
2
2(1)020
(1)020
g m m g m m ⎧≥-≥⎧⎪⇔⎨
⎨-≥+≥⎪⎩⎩，2m ∴≤-或0m =或2m ≥ 考点：函数的单调性、不等式恒成立. 19.
①
4(0)4()4(0)4x
x x f x x x x ⎧≥⎪⎪+=⎨
⎪≤⎪-⎩
；②(4,4)-
；③m m <>【解析】
试题分析：①当0x ≤时，0x -≥，根据()()f x f x -=-可推导出0x ≤时()f x 的解析式。

注意最后将此函数写成分段函数的形式。

②本题属用分离常数项法求函数值域。

当0x ≥时将
4()4x f x x =
+按分离常数项法将此函数化为16
()44
f x x =-+，根据自变量的围可推导出函数值的围，因为此函数为奇函数所以值域也对称。

故可得出()f x 的值域。

③本题属用单调性“知二求一”解不等式问题。

所以应先判断此函数的单调性。

同②当0x ≥时将4()4
x
f x x =
+化为16
()44
f x x =-
+，可知()f x 在[)0,+∞上是增函数，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在上(,)-∞+∞是增函数。

根据单调性得两自变量的不等式，即可求得m 的取值围。

试题解析：解：①∵当0x ≥时有4()4
x
f x x =
+∴当0x ≤时，0x -≥∴44()()44x x f x f x x x --===--+-∴4()4
x
f x x =-
-（0x ≤）∴4(0)4
()4(0)4x
x x f x x x x
⎧≥⎪⎪+=⎨
⎪≤⎪-⎩ （6
分）
②∵当0x ≥时有416
()444
x f x x x =
=-
++∴0()4f x ≤<又∵()f x 是奇函数∴当0x ≤时4()0f x -<≤∴()(4,4)f x ∈-（A ：13分）
③∵当0x ≥时有416
()444
x f x x x =
=-
++∴()f x 在[)0,+∞上是增函数，又∵()f x 是奇函数∴()f x 是在(,)-∞+∞上是增函数，（B ：13分）
∵2(21)(24)0f m f m m ++-->∴2
21(24)m m m +>---
∴m m <>考点：函数的奇偶性及值域，函数的单调性。

考查转化思想。

20. 【解析】由f(x)的定义域是()1,1-，知2121141a a <<⎧⎨<<⎩－－，
－－，
. 由f(a －2)－f(4－a 2)<0，得f(a －2)<f(4－a 2)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(|a －2|)<f(|4－a 2|)．
由于f(x)在(0，1)上是增函数，所以|a －2|<|4－a 2|，解得a<－3或a>－1且a≠2. 综上，实数a
a≠2.
21.
（1）()0-，
∞（2）⎪⎭⎫
⎝⎛∞49-，（3）(]0-，∞ 【解析】
试题分析：把函数1
2()93
(3)33x
x x x f x c c +=-+=-•+，我们用变量代换，转化为：
2()3(0)g t t t c t =-+>为二次函数，按二次函数的性质去讨论.
试题解析：（1）
2()(3)33x x
f x c =-⨯+,令3x t =,当[0,1]x ∈时,[1,3]t ∈.问题转化为当
[1,3]t ∈时，2()30g t t t c =-+<恒成立.
于是,只需()g t 在[1,3]上的最大值(3)0g <,即2
3330c -⨯+<,解得0c <.
实数c 的取值围是(,0).-∞ （2）若存在
0[0,1]
x ∈,使
0()0
f x <,则存在[1,3]t ∈,使
2
()30g t t t c =-+<.于是,只需()g t 在[1,3]上的最小值3()02g <,即233
()30
22c -⨯+<,解得
9.4c < 实数c 的取值围是
9
(,).
4-∞ （3）若方程()f x c =·3x
在[0,1]上有唯一实数解,
则方程2
(3)0t c t c -++=在[1,3]上有唯一实数解.
因
22
(3)4(1)80c c c ∆=+-=++>， 故2(3)0t c t c -++=在[1,3]上不可能有两个相等的实数解.
令()h t =2
(3)t c t c -++.
因(1)20h =-<,故只需(3)20h c =-≥,解得0c ≤.
∴实数c 的取值围是(,0].-∞
考点：函数单调性的应用及最大最小值。

22.
（1）详见解析 （2）⎥⎦⎤
⎝⎛∈34,1x （3）022=-≤≥t t t 或或
【解析】 试
题
分
析
：（
1
）
利
用
定
义
法
任
取
1
121≤<≤-x x 得
12()()f x f x -=12()()
f x f x +-121212
()()
()
f x f x x x x x +-=
--因为
0,0)
()(212
121<->--+x x x x x f x f 即可证明12()()f x f x <．（2）根据函数单调性确定
⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤-≤-≤--<-1
3311113
3122x x x x 即可解得⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,1x ．（3）因为)(x f 在[]1,1-是单调递增函数且max ()f x ＝1，
所以只要f(x ）的最大值小于等于2
21t at -+即2
211t at -+≥，然后即可求得t 的围. 试题解析：（1）任取1121≤<≤-x x ， 则)()
()()()()()(212
1212121x x x x x f x f x f x f x f x f ---+=
-+=- 2分
0)(,112121≠-+∴≤<≤-x x x x ，由已知
0,0)
()(212
121<->--+x x x x x f x f 4分
0)()(21<-∴x f x f ，即)(x f 在[]1,1-上是增函数 5分
（2）因为
)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且在[]1,1-上是增函数
不等式化为
)33()1(2-<-x f x f ，所以
⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤-≤-≤--<-1
3311113
3122x x x x ，解得⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,1x 9分
（3）由（1）知
)(x f 在[]1,1-上是增函数，所以)(x f 在[]1,1-上的最大值为1)1(=f ，
要使12)(2
+-≤at t x f 对[][]1,1,1,1-∈-∈∀a x 恒成立，只要0211222≥-⇒≥+-at t at t
10分
设[]0)(,1,1,2)(2
≥-∈∀-=a g a at t a g 对恒成立， 11分
所以⎩⎨⎧⎩⎨⎧≤≥-≤≥⇒≥-=≥+=-02200
2)1(02)1(2
2t t t t t t g t t g 或或所以022=-≤≥t t t 或或 12分 考点：1，函数单调性2，函数奇偶性3，含参函数不等式求解.。