丽水市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学

丽水市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞2
B ．m ＞4
C ．m ＞6
D ．m ＞8
2． 函数f （x ）＝kx ＋b
x ＋1，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
3． 已知函数f （x ）=1+x ﹣
+
﹣
+…+
，则下列结论正确的是（ ）
A ．f （x ）在（0，1）上恰有一个零点
B ．f （x ）在（﹣1，0）上恰有一个零点
C ．f （x ）在（0，1）上恰有两个零点
D ．f （x ）在（﹣1，0）上恰有两个零点
4． 数列{a n }满足a 1=， =﹣1（n ∈N *
），则a 10=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）
A ．（﹣∞，）
B ．（﹣，+∞）
C ．（0，+∞）
D ．（﹣∞，﹣）
6． 函数f （x ）=log 2（x+2）﹣（x ＞0）的零点所在的大致区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，e ） D ．（3，4）
7． 如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C 对隧道底AB 的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C 到AB 的距离是（ ）
A ．2m
B ．2m
C ．4 m
D ．6 m
8． 已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}，则A ∩（∁R B ）=（ ）
A ．{x|x ≤0}
B ．{x|2≤x ≤4}
C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}
D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}
9． 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，
N ，P 的关系（ ）
A ．M P N =⊆
B ．N P M =⊆
C ．M N P =⊆
D ．M P N ==
10．已知全集U=R ，集合M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无穷多个
11．设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．直线l 过点P （2，﹣2），且与直线x+2y ﹣3=0垂直，则直线l 的方程为（ ）
A ．2x+y ﹣2=0
B ．2x ﹣y ﹣6=0
C ．x ﹣2y ﹣6=0
D ．x ﹣2y+5=0
二、填空题
13．经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为 ．
14．已知M N 、为抛物线2
4y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，
||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.
15．在复平面内，复数
与
对应的点关于虚轴对称，且
，则
____．
16．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1
sin 3
BAM ∠=，则AC 的长为_________. 17．已知函数32
()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ．
18．不等式()2
110ax a x +++≥恒成立，则实数的值是__________.
三、解答题
19．已知△ABC 的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC 的面积．
20．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f ．
（I ）若R x ∈∃0，使得不等式m x f ≤)(0成立，求实数m 的最小值M ； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=，证明：31
3b a
+≥.
21．设f （x ）=x 2﹣ax+2．当x ∈，使得关于x 的方程f （x ）﹣tf （2a ）=0有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．
22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．
（1）若不等式1()21(0)2
f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；
（2）若不等式()2|23|2
y
y a
f x x ≤+
++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值． 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
23．在平面直角坐标系XOY 中，圆C ：（x ﹣a ）2+y 2=a 2，圆心为C ，圆C 与直线l 1：y=﹣x 的一个交点的横坐标为2．
（1）求圆C 的标准方程；
（2）直线l 2与l 1垂直，且与圆C 交于不同两点A 、B ，若S △ABC =2，求直线l 2的方程．
24．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数
()()()3244f x x a x a b x c =+--++(),,R a b c ∈有一个零点为4，且满足()01f =.
（1）求实数b 和c 的值；
（2）试问：是否存在这样的定值0x ，使得当a 变化时，曲线()y f x =在点()()
00,x f x 处的切线互相平行？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由； （3）讨论函数()()g x f x a =+在()0,4上的零点个数.
丽水市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：由f ′（x ）=3x 2
﹣3=3（x+1）（x ﹣1）=0得到x 1=1，x 2=﹣1（舍去）
∵函数的定义域为[0，2]
∴函数在（0，1）上f ′（x ）＜0，（1，2）上f ′（x ）＞0， ∴函数f （x ）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f （x ）min =f （1）=m ﹣2，f （x ）max =f （2）=m+2，f （0）=m
由题意知，f （1）=m ﹣2＞0 ①； f （1）+f （1）＞f （2），即﹣4+2m ＞2+m ②
由①②得到m ＞6为所求．
故选C 【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大
值
2． 【答案】
【解析】解析：选B.设点P （m ，n ）是函数图象上任一点，P 关于（－1，2）的对称点为Q （－2－m ，4－n ），
则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝
km ＋b m ＋1
4－n ＝k （－2－m ）＋b
－1－m
，恒成立．
由方程组得4m ＋4＝2km ＋2k 恒成立， ∴4＝2k ，即k ＝2，
∴f （x ）＝2x ＋b x ＋1，又f （－2）＝－4＋b －1＝3，
∴b ＝1，故选B. 3． 【答案】B
【解析】解：∵f ′（x ）=1﹣x+x 2﹣x 3+…+x 2014
=（1﹣x ）（1+x 2+…+x 2012）+x 2014； ∴f ′（x ）＞0在（﹣1，0）上恒成立； 故f （x ）在（﹣1，0）上是增函数；
又∵f （0）=1，
f （﹣1）=1﹣1
﹣
﹣﹣…
﹣＜0；
故f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点；
故选B．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数零点的个数的判断，属于中档题．
4．【答案】C
【解析】解：∵=﹣1（n∈N*），
∴﹣=﹣1，
∴数列是等差数列，首项为=﹣2，公差为﹣1．
∴=﹣2﹣（n﹣1）=﹣n﹣1，
∴a n=1﹣=．
∴a10=．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），
∴0＜a＜1，
∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，
0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．
t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），
∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），
故选：D．
【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．
6．【答案】B
【解析】解：∵f（1）=﹣3＜0，f（2）=﹣=2﹣＞0，
∴函数f（x）=log2（x+2）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（1，2），
故选：B．
7．【答案】A
【解析】解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），
将点（4，﹣4）代入，可得p=2，
所以抛物线方程为x2=﹣4y，
设C（x，y）（y＞﹣6），则
由A（﹣4，﹣6），B（4，﹣6），可得k CA=，k CB=，
∴tan∠BCA===，
令t=y+6（t＞0），则tan∠BCA==≥
∴t=2时，位置C对隧道底AB的张角最大，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及tan∠BCA，正确运用基本不等式是关键．
8．【答案】C
【解析】解：∵≤1=，
∴x≥0，
∴A={x|x≥0}；
又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，
∴2≤x ≤4． ∴B={x|2≤x ≤4}， ∴∁R B={x|x ＜2或x ＞4}， ∴A ∩∁R B={x|0≤x ＜2或x ＞4}， 故选C ．
9． 【答案】A 【解析】
试题分析：通过列举可知{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±±，所以M P N =⊆.
考点：两个集合相等、子集．1 10．【答案】B
【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M ∩N ， 又由M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}得﹣1≤x ≤3， 即M={x|﹣1≤x ≤3}， 在此范围内的奇数有1和3．
所以集合M ∩N={1，3}共有2个元素， 故选B ．
11．【答案】B
【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，
∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点， 对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，
但5个以上的交点不能实现．
故选B
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．
12．【答案】B
【解析】解：∵直线x+2y ﹣3=0的斜率为﹣，
∴与直线x+2y ﹣3=0垂直的直线斜率为2， 故直线l 的方程为y ﹣（﹣2）=2（x ﹣2），
化为一般式可得2x ﹣y ﹣6=0
故选：B
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
二、填空题
13．【答案】 x=﹣3 ．
【解析】解：经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为：x=﹣3． 故答案为：x=﹣3．
14．【答案】20x y --=
【解析】解析： 设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的
中点坐标为(4,2).由2114y x =，2
224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而
12
22
y y +=，∴12
12
1y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=.
15．【答案】-2
【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知：
所以
故答案为：-2
16． 【解析】
考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可， 对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）. 17．【答案】5 【解析】
试题分析：'
2
'
()323,(3)0,5f x x ax f a =++∴-=∴=． 考点：导数与极值． 18．【答案】1a = 【解析】
试题分析：因为不等式()2
110ax a x +++≥恒成立，所以当0a =时，不等式可化为10x +≥，不符合题意；
当0a ≠时，应满足20(1)40a a a >⎧⎨∆=+-≤⎩，即2
(1)0
a a >⎧⎨-≤⎩，解得1a =.1 考点：不等式的恒成立问题.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：由题意设a=n 、b=n+1、c=n+2（n ∈N +），
∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A ，
由正弦定理得，则，
∴
，得cosA=
，
由余弦定理得，cosA==
，
∴
=
，
化简得，n=4，
∴a=4、b=5、c=6，cosA=，
又0＜A ＜π，∴sinA==，
∴△ABC 的面积S=
=
=
．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查转化思想和基本运算能力．
21．【答案】
【解析】设f （x ）=x 2
﹣ax+2．当x ∈，则t=，
∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；
∴
时，t 取得最小值
，此时x=9
∴税率t 的最小值为
．
【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！ 22．【答案】
【解析】（1）由题意，知不等式|2|21(0)x m m ≤+>解集为(][),22,-∞-+∞．
由|2|21x m ≤+，得11
22
m x m --
≤≤+，……………………2分 所以，由122m +=，解得3
2
m =．……………………4分
（2）不等式()2|23|2
y
y a f x x ≤+++等价于|21||23|22y y a x x --+≤+，
由题意知max (|21||23|)22
y
y a x x --+≤+．……………………6分
23．【答案】
【解析】解：（1）由圆C 与直线l 1：y=﹣x 的一个交点的横坐标为2， 可知交点坐标为（2，﹣2），
∴（2﹣a ）2+（﹣2）2=a 2
，解得：a=2， 所以圆的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2
=4，
（2）由（1）可知圆C 的圆心C 的坐标为（2，0）
由直线l 2与直线l 1垂直，直线l 1：y=﹣x 可设直线l 2：y=x+m ，
则圆心C 到AB 的距离d=，
|AB|=2
=2
所以S △ABC =|AB|•d=•2
•
=2
令t=（m+2）2，化简可得﹣2t 2+16t ﹣32=﹣2（t ﹣4）2
=0， 解得t=（m+2）2
=4，
所以m=0，或m=﹣4
∴直线l 2的方程为y=x 或y=x ﹣4．
24．【答案】（1）1
,14
b c ==；（2）答案见解析；（3）当1a <-或0a >时，()g x 在()0,4有两个零点；当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点.
【解析】试题分析：
（1）由题意得到关于实数b ,c 的方程组，求解方程组可得1
,14
b c =
=； （3）函数
()g x 的导函数()()2132444
g x x a x a ⎛⎫
=+--+ ⎪⎝
⎭
'，结合导函数的性质可得当1a <-或0a >时，()g x 在
()0,4有两个零点；当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点.
试题解析：
（1）由题意()()01
{ 440
f c f b c =+=-+=，解得1
{ 41
b c =
=；
（2）由（1）可知()()3
2
4f x x a x =+--1414a x ⎛⎫
+
+ ⎪⎝⎭
， ∴()()2
132444f x x a x a ⎛⎫=+--+
⎪⎝⎭
'； 假设存在0x 满足题意，则()()2
000132444f x x a x a ⎛⎫
=+--+ ⎪⎝⎭
'是一个与a 无关的定值， 即()20001
24384
x a x x -+--
是一个与a 无关的定值， 则0240x -=，即02x =，平行直线的斜率为()1724
k f ==-'； （3）()()()3
2
4g x f x a x a x =+=+-1414a x a ⎛⎫
-+
++ ⎪⎝⎭
， ∴()()2
132444g x x a x a ⎛
⎫=+--+
⎪⎝⎭'， 其中()21441244a a ⎛
⎫∆=-++= ⎪⎝
⎭()224166742510a a a ++=++>，
设()0g x '=两根为1x 和()212x x x <，考察()g x 在R 上的单调性，如下表
1°当0a >时，()010g a =+>，()40g a =>，而()15
2302
g a =--
<， ∴()g x 在()0,2和()2,4上各有一个零点，即()g x 在()0,4有两个零点； 2°当0a =时，()010g =>，()40g a ==，而()15
202
g =-
<， ∴()g x 仅在()0,2上有一个零点，即()g x 在()0,4有一个零点；
3°当0a <时，()40g a =<，且13024g a ⎛⎫=-> ⎪
⎝⎭
， ①当1a <-时，()010g a =+<，则()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上各有一个零点，
即()g x 在()0,4有两个零点；
②当10a -≤<时，()010g a =+≥，则()g x 仅在1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上有一个零点， 即()g x 在()0,4有一个零点；
综上：当1a <-或0a >时，()g x 在()0,4有两个零点； 当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点.
点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f （x ）在[a ，b ]内所有使f ′（x ）＝0的点，再计算函数y ＝f （x ）在区间内所有使f ′（x ）＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．。