2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习第三章3.1 双曲线及其标准方程 2 Word版含解析

[.基础达标]
．已知双曲线的右焦点为(，)，＝，则的标准方程是( )
－＝－＝
－＝
－＝
解析：选.由题意可知＝，＝，＝＝＝，故双曲线的标准方程为－＝.
．“<<”是“方程＋＝表示双曲线”的( )
．充分不必要条件
．必要不充分条件
．充要条件
．既不充分也不必要条件
解析：选.方程＋＝表示双曲线的充要条件是(－)(－－)<，即
(－)(－)·(＋)<.
解得<－或<<.故“<<”⇒“<－或<<”，但“<－或<<”⇒“<<”，
所以选.．已知△的顶点，分别为双曲线：－＝的左、右焦点，顶点在双曲线上，则
的值等于( )
解析：选＝＝＝＝.
．已知，为双曲线－＝的左，右焦点，点在该双曲线上，且＝，则∠＝( )
解析：选.双曲线方程可化为－＝，＝＝，＝，由得＝，＝，又因为＝＝，
在△中，由余弦定理得∠＝＝＝.
．如图，△外接圆半径＝，∠＝°，＝，弦在轴上且轴垂直平分边，则过点且以，为焦点的双曲线的方程为( ) －＝(＜) －＝(＜)
－＝(＜) －＝(＜)
解析：选.由正弦定理：＝，得＝.
由余弦定理：＝＋－∠，得＝，
所以＝＝，得＝，
因为＝，所以＝，
所以该双曲线的方程为－＝(＜)．
．若双曲线－＝的一个焦点为(，)，则的值为．
解析：依题意，双曲线方程可化为－＝，已知一个焦点为(，)，所以－－＝，解得＝－.
答案：－．已知双曲线－
＝(＞，＞)的两个焦点分别为(－，)，(，)，点(，)在双曲线上，则双曲线的方程为．
解析：因为＝，＝，所以＝＝，即＝，
又因为＝，所以＝＝，所以该双曲线的方程为－＝.
答案：－＝．已知为双曲线：－
＝的左焦点，，为上的点．若＝，点(，)在线段上，则△的周长为．解析：显然点(，)为双曲线的右焦点．由题意得，－＝，－＝，两式相加，利用双曲线
的定义得＋＝，所以△的周长为＋＋＝.
答案：．设圆与两圆(＋)＋＝，(－)＋＝中的一个内切，另一个外切．求圆心的轨迹的方程．
解：依题意得两圆的圆心分别为(－，)，(，)，
从而可得＋＝－或＋＝－，
所以－＝<＝，
所以圆心的轨迹是双曲线，其中＝，＝，＝－＝，
故圆心的轨迹的方程是－＝.
．双曲线－＝的两个焦点为，，点在双曲线上．若⊥，求点到轴的距离．解：设点坐标为(，)，而(－，)，(，)，则＝(－－，－)，＝(－，－)．
因为⊥，所以·＝，
即(－－)(－)＋(－)·(－)＝，
整理，得＋＝.①
又因为(，)在双曲线上，
所以)－)＝.②联立①②，得＝，即＝.因此点到轴的距离为.
联立①②，得＝，即＝.
因此点到轴的距离为.
[.能力提升]
．如图，从双曲线－
＝的左焦点引圆＋＝的切线交双曲线右支于点，为切点，为线段的中点，为坐标原点，则
－等于( )
＋
－
解析：选－＝－(－)
＝－(－)
＝－×
＝－.．已知为双曲线－
＝(＞，＞)右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，是△的内心，若△＝△＋λ△
成立，则λ的值为( )
解析：选.设△的内切圆半径为.
则△＝，△＝，
△＝，
由△＝△＋λ△得
λ＝－＝，
即λ·＝得λ＝＝.．若点在曲线：－
＝上，点在曲线：(－)＋＝上，点在曲线：(＋)＋＝上，则－的最大值是．
解析：连接并延长交于点，连接交于点.
－≤－＝(＋)－(－)＝－＋＝＋＝.
答案：．已知双曲线的方程为－
＝，如图，点的坐标为(－，)，是圆＋(－)＝上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，
则＋的最小值为．。