2019-2020年九年级第三次模拟(期中)考试数学试题

2019-2020年九年级第三次模拟（期中）考试数学试题
温馨提示：
1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；
2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；
3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效．
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确的答案，请把答案填在答题卡中对应题号的表格内）
1．xx的相反数是（）
A．xx B．－xx C．D．
2．xx年，永州市政府工作报告指出，要大力发展现代农业，做强优势产业，确保粮食面积825万亩，水果150万亩，蔬菜230万亩，烤烟25万亩．其中粮食面积825万亩中的“825万”用科学记数法表示为（）
A．8.25×107B．8.25×106
C．82.5×105D．0.825×107
3．下列运算正确的是（）
A．a3+a3=a6B．2（a+1）=2a+1
C．（－ab）2=a2b2D．a6÷a3=a2
4．为了解祁阳县居民的用电情况，我们随机对浯溪镇宝塔社区的10户居民进行了调查，下表是这10户居民xx年3月份用电量的调查结果：
居民（户） 1 3 2 4
月用电量（度/户）40 50 55 60 那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是55 B．众数是60
C．方差是29 D．平均数是54
5．已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
6．下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
7．以下四个命题是真命题的是（）
A．任意三点可以确定一个圆
B．菱形对角线相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．“打开电视机，中央一套正在直播巴西世界杯足球赛”是必然事件8．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．20m
C．20m D．10m
9．如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经
过（3，0），下列结论中，正确的一项是（）
A．abc＜0 B．2a+b＜0
C．a﹣b+c＜0 D．
10．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两
个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长
为，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把
答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
11．若分式的值为零，则x的值为．
12. 如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°，则
∠C= °．
13．计算：= .
14．因式分解：x3－x=.
15．已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），则当
x=﹣3时，y= ．
16．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△A0B绕点A
顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是．
三、解答题（本大题共有9小题，共72分，请把解答过程或证明步骤写在答
题卡中对应题号内）
17．（6分）（1）计算：24﹣+|1﹣4sin60°|+（π﹣）0；
（2）解方程：．
18．（6分）先化简，再求值：（a2b+ab）÷，其中a=，b=．
19．（6分）如图，我县某校新建了一座陶铸雕塑，小林
站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角
为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高
度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）
20．（8分）目前节能灯在城市已基本普及，今年湖南省
面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只）售价（元/只）
甲型25 30
乙型45 60
（1）如何进货，进货款恰好为46000元？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？
21．（8分）已知：如图，在□ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF．
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFED为菱形？请说明理由．
22．（8分）为了解xx年祁阳县体育达标情况，县教育局从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是；
（2）扇形图中∠α的度数是，并把条形统计图补充完整；
（3）我县九年级有学生7200名，如果全部参加这次体育测试，请估计不及格的人数为．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=2，求⊙O的半径．
24．（10分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
25. （10分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B 落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
祁阳县xx届初中第三次模拟考试试卷
九年级数学
（参考答案）
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确的答案）
1．B
2．B
3．C 解析：A ．a 3+a 3=2a 3，故选项错误；B ．2（a+1）=2a+2≠2a+1，故选项错误；C ．（-ab ）
2=a 2b 2，故选项正确；D ．a 6÷a 3=a 3≠a 2，故选项错误．故选：C ．
4．C 解析：A ．月用电量的中位数是55度，正确；B ．用电量的众数是60度，正确；C ．用
电量的方差是24.9度，错误；D ．用电量的平均数是54度，正确．故选C ．
5． A 解析：已知点P （3﹣m ，m ﹣1）在第二象限，3﹣m ＜0且m ﹣1＞0，解得m ＞3，m
＞1，故选：A ．
6．D 解析：A ．主视图是扇形，扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B ．主
视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C ．主视图是等腰梯形，
是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D ．主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心
对称图形，故正确．故选D ．
7．C 解析：A ．不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；B ．菱形的对角线垂直但不
一定相等，故错误；C ．正确；D ．“打开电视机，中央一套正在直播巴西世界杯足球赛．”
是随机事件，错误．故选C ．
8.C 解析：Rt △ABC 中，BC=10m ，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=10m，∴=20m ．故选C ．
9.D 解析：A ．根据图示知，抛物线开口方向向上，则a ＞0．抛物线的对称轴x=﹣=1＞0，
则b ＜0．抛物线与y 轴交与负半轴，则c ＜0，所以abc ＞0．故本选项错误；B ．∵x=﹣=1，
∴b=﹣2a ，∴2a+b=0．故本选项错误；C ．∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），∴该
抛物线与x 轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），∴当x=﹣1时，
y=0，即a ﹣b+c=0．故本选项错误；D ．根据图示知，该抛物线与x
轴有两个不同的交点，则△=＞0，则＜0．故本选项正确；故选D ．
10．D 解析：连接OB ．OE 、BE ，，因为B ．E 是半圆弧的三等分点，
所以BOE=60°，根据同底等高的三角形面积相等可知△OBE 和
△ABE 的面积相等，所以阴影部分的面积等于△ABC 减去扇形OBE 的面积.因为弧BE 的长为，
设半圆的半径为r ，根据弧长公式，解得r=2，323221OBE 2ππ=⨯⨯=扇形S ．根据圆周角的
性质可知，DAB=EAB=30°，连接BD ，则△ABD 是直角三角形，AD=2r=4，cosDAB=，AB=2，在
Rt △ABC 中，得BC=，由正切计算得AC=3，所以S △ABC=，所以阴影面积=－．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．﹣1 解析：由x2﹣1=0，得x=±1．当x=1时，x ﹣1=0，故x=1不合题意；当x=﹣1时，
x ﹣1=﹣2≠0，所以x=﹣1时分式的值为0．
12. 50 解析：∵EF ∥BC ，∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，∵AC 平分∠BAF ，∴∠CAF=∠
BAF=50°，∵EF ∥BC ，∴∠ C=∠CAF=50°．
13．解析：=.
14．x(x+1)(x －1)
15．2解析：∵反比例函数y=的图象经过点A （﹣2，3），∴k=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数
解析式为y=，∴当x=﹣3时，y=-=2．
16．（7，3） 解析：直线与x 轴，y 轴分别交于A （3，0），B （0，4）两点．旋转前后三角
形全等．由图易知点B′的纵坐标为OA 长，即为3，即横坐标为OA+OB=OA+=3+4=7．故
点B′的坐标是（7，3）．
三、解答题（本大题共有9小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
17．解：（1）（3分）原式=16﹣2+2﹣1+1=16；
（2）（3分）去分母得：2x=3x﹣6，解得：x=6（2分），经检验x=6是分式方程的解（1分）．
18．（6分）解：原式=ab（a+1）=ab，当a=+1，b=﹣1时，原式=3﹣1=2．
19．（6分）解：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9米，则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米，故塑像CD的高度大约为1.2米．
20．解：（1）（4分）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只（1分），由题意，得：25x+45（1200﹣x）=46000（1分），解得：x=400（1分）．∴购进乙型节能灯1200﹣400=800只（1分）．答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；
（2）（4分）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由题意，得：y=（30﹣25）a+（60﹣45）（1200﹣a）（1分），y=﹣10a+18000．
∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，∴﹣10a+18000≤[25a+45（1200﹣a）]×30%（1分），∴a≥450．∵y=﹣10a+18000，∴k=﹣10＜0（1分），∴y随a的增大而减小，∴a=450时，y最大=13500元（1分）．∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元．
21．（1）证明：（4分）∵在□ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO（1分），∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中：（2分），∴△DOE≌△BOF（ASA）（1分）；
（2）（4分）解：当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形（1分），理由：∵△DOE≌△BOF，∴BF=DE（1分），又∵BF∥DE，∴四边形EBFD是平行四边形（1分），∵BO=DO，∠EOD=90°，∴EB=DE，∴四边形BFED为菱形（1分）．
22．解：（1）（1分）本次抽样测试的学生人数是：=40（人），故答案为：40；
（2）（3分）根据题意得：360°×=54°；C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8=14（人），
如图：
（3）（1分）根据题意得：7200×=1440（人）；
（4）（3分）根据题意画树形图如下：
（1分）
共有12种情况，选中小明的有6种，则P（选中小明）==（2分）．
23．（1）证明：（4分）连结OC，如图，∵，∴∠FAC=∠BAC（1分），
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（1分），∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF（1分），
∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线（1分）；
（2）解：（4分）连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°（1分），
∵，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°（1分），
在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4（1分），在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴
AB=2BC=4，∴⊙O的半径为4（1分）．
24．（10分）（1）解（2分）：∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的
解析式为y=ax2（1分），将点A（1，）代入y=ax2得：a=（1分），∴二次函数的解
析式为y=x2；
（2）（5分）证明：∵点P在抛物线y=x2上，∴可设点P的坐标为（x，x2），过点P
作PB⊥y轴于点B，则BF=x2﹣1（1分），PB=x，∴Rt△BPF中，PF==x2+1（1分），∵
PM⊥直线y=﹣1，∴PM=x2+1（1分），∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF（1分），又∵PM∥x 轴，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP（1分）；
（3）解（3分）：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4（1分），∵PF=PM=FM，∴x2+1=4，
解得：x=±2，（1分）∴x2=×12=3，∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）（1分）．25. （10分）解：（1）（1分）如图1，①（2分）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=
∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠
POC（1分）．∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．∴△OCP∽△PDA（1
分）．
②（2分）∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴=．∴PD=2OC，
PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8（1分）．设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10（1分）．∴边AB的长为10．
（2）（2分）如图1，∵P是CD边的中点，∴DP=DC．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==（1分）．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°，∴∠OAB的度数为30°（1分）．
（3）（4分）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，∴∠APB=∠MQP，∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ（1分）．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（1分），∴QF=BF，∴QF=QB，∴
EF=EQ+QF=PQ+QB=PB（1分）．由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB==4，∴EF=PB=2（1分）．
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．
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