2014-2015年上海师大二附中高二(下)期中数学试卷和答案

2014-2015学年上海师大二附中高二（下）期中数学试卷
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号
的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．（3分）“直线l与平面α相交于点P”用集合语言表示为．
2．（3分）倾斜角为且经过点P（1，﹣2）的直线l的方程为．3．（3分）等轴双曲线＝1（b＞0）的焦距为．
4．（3分）已知圆柱的侧面积为3π，底面周长为2π，则它的体积为．5．（3分）用一个平面去截球所得的截面面积为2πcm2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的体积为cm3．
6．（3分）已知定点A（3，2），若点P为抛物线y2＝2x上的动点，则当P到抛物线的焦点F的距离|PF|与|P A|之和最小时，点P的坐标为．
7．（3分）已知定点A（4，2）和圆（x+2）2+y2＝1上的动点B，则线段AB的中点P的轨迹方程为．
8．（3分）已知F1、F2是双曲线x2﹣＝1（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为．
9．（3分）不论a为何实数，直线ax+y+1＝0与椭圆+＝1总有公共点，则
实数m的取值范围是．
10．（3分）圆锥底面半径为3，母线长为12，B是母线P A的中点，则点A绕圆锥一周到达点B的最短距离为．
11．（3分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•＝
0，•＝0，•＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD 的面积，则S1+S2+S3的最大值为．
12．（3分）在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B、CC1的中点，设过D、M、N三点的平面与B1C1交于点P，则PM+PN的值为．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写选项，选对得3分，否则一律得零分.
13．（3分）已知a、b为异面直线，若c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面
C．平行D．相交或异面．
14．（3分）若点P的坐标为（x0，y0），曲线C的方程为F（x，y）＝0，则“F （x0，y0）＝0”是“点P在曲线C上”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
15．（3分）若要做一个正六棱锥形的铁皮烟囱帽，底口边长为0.4m，高为0.5m，则下列各数中与所需要的铁皮面积数最接近的是（）
A．0.73 m2B．1.62 m2C．1.78 m2D．2.63 m2．16．（3分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，E、F为线段B1D1的两个动点，且EF＝，给出下列四个命题：
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③点B到平面AEF的距离为定值；
④异面直线AE与BF所成的角为定值．
其中真命题的个数为（）
A．4个B．3个C．2个D．1个．
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸
相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（6分）已知直线l：5x+2y+3＝0．
（1）求直线：5x+2y﹣1＝0与直线l的距离；
（2）求直线l2：3x+7y﹣13＝0与直线l的夹角的大小．
18．（6分）如图，已知圆锥的轴截面SAB是等腰直角三角形，且该圆锥体积为π，求该圆锥的表面积．
19．（8分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB＝2．
（1）求该正四棱锥的体积V；
（2）设E为侧棱PB的中点，求异面直线AE与PC所成角θ的大小．
20．（8分）已知双曲线，P为C上的任意点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（3，0），求|P A|的最小值．
21．（12分）如图，AB是圆柱OO′的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O
＝2πrh＝100π．
上一点．已知AB＝BC＝10，S
侧
（1）求该圆柱的表面积；
（2）将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积；
（3）求点B到平面ACD的距离．
22．（12分）已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x 轴上，焦距与长轴长的比为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；
（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
2014-2015学年上海师大二附中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号
的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．（3分）“直线l与平面α相交于点P”用集合语言表示为l∩α＝P．
【解答】解：直线l与平面α相交于点P，用集合语言表示为l∩α＝P；
故答案为：l∩α＝P．
2．（3分）倾斜角为且经过点P（1，﹣2）的直线l的方程为x+y+1＝0．【解答】解：斜率k＝＝﹣1．
∴直线l的方程为y+2＝﹣（x﹣1），
化为x+y+1＝0；
故答案为：x+y+1＝0．
3．（3分）等轴双曲线＝1（b＞0）的焦距为．
【解答】解：由双曲线的标准方程知道b＝，c＝，
∴该双曲线的焦距．
故答案为：．
4．（3分）已知圆柱的侧面积为3π，底面周长为2π，则它的体积为．【解答】解：由圆柱的侧面积为3π，底面周长为2π，
故圆柱的高h＝，
圆柱的底面半径r＝1，
故圆柱的体积V＝πr2h＝；
故答案为：．
5．（3分）用一个平面去截球所得的截面面积为2πcm2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的体积为4πcm3．
【解答】解：用一平面去截球所得截面的面积为2πcm2，所以小圆的半径为：cm；
已知球心到该截面的距离为1cm，所以球的半径为：＝
所以球的体积为：＝4π（cm3）
故答案为：4π．
6．（3分）已知定点A（3，2），若点P为抛物线y2＝2x上的动点，则当P到抛物线的焦点F的距离|PF|与|P A|之和最小时，点P的坐标为（2，2）．【解答】解：由题意得F（，0），准线方程为x＝﹣，设点P到准线的距离为d＝|PM|，
则由抛物线的定义得|P A|+|PF|＝|P A|+|PM|，
故当P、A、M三点共线时，|P A|+|PF|取得最小值为|AM|＝3﹣（﹣）＝．
把y＝2代入抛物线y2＝2x得x＝2，故点P的坐标是（2，2），
故答案为：（2，2）．
7．（3分）已知定点A（4，2）和圆（x+2）2+y2＝1上的动点B，则线段AB的中点P的轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
【解答】解：设P（x，y），B（a，b）
由A（4，2），P是AB的中点，故有a＝2x﹣4，b＝2y﹣2
又B为圆（x+2）2+y2＝1上一动点，
∴（2x﹣2）2+（2y﹣2）2＝4，
整理得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
故AB的中点P的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
8．（3分）已知F1、F2是双曲线x2﹣＝1（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为
．
【解答】解：把x＝c代入双曲线x2﹣＝1，
可得|y|＝|PF2|＝b2，
Rt△PF1F2中，tan∠PF1F2 ＝＝tan30°＝，
∴b＝，
∴渐近线方程为．
故答案为：．
9．（3分）不论a为何实数，直线ax+y+1＝0与椭圆+＝1总有公共点，则实数m的取值范围是[1，4）∪（4，+∞）．
【解答】解：直线ax+y+1＝0恒过点（0，﹣1），
由直线ax+y+1＝0与椭圆+＝1恒有公共点，
所以（0，﹣1）在椭圆上或椭圆内，
∴0+≤1，
∴m≥1，
又∵椭圆+＝1，
∴m＞0且m≠4．
∴实数m的取值范围是[1，4）∪（4，+∞）．
故答案为：[1，4）∪（4，+∞）．
10．（3分）圆锥底面半径为3，母线长为12，B是母线P A的中点，则点A绕圆
锥一周到达点B的最短距离为．
【解答】解：圆锥的展开图为扇形，扇形的圆心角为，母线长为12，B是母线P A的中点，则点A绕圆锥一周到达点B的最短距离为展开图中AB ＝＝＝；
故答案为：6．
11．（3分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•＝
0，•＝0，•＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD 的面积，则S1+S2+S3的最大值为2．
【解答】解：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，
因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2＝4R2＝4
+S△ACD+S△ADB＝（ab+ac+bc）≤（a2+b2+c2）＝2
所以S
△ABC
即最大值为：2
故答案为：2．
12．（3分）在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B、CC1的中点，设过D、M、N三点的平面与B1C1交于点P，则PM+PN的值为5+
．
【解答】解：延长D1C1，在D1C1的延长线上取点E，使C1E为6，
延长D1A1，在D1A1的延长线上取点Q，
使A1D为2，
连结DQ，交AA1于R，
连结EQ，交A1B1于M，交B1C1于P，
连结PN，MR．
∵NC1∥DD1，∴＝，
∵PC1∥QD1，∴，
∴PN∥DR，
∴D，R，Q，M，P，N，E共面，
又PN⊂平面BB1C1C，∴D，M，N点的平面与平面BB1C1C的交线为PN．
同理，MR∥DN，
∴D，R，Q，M，P，N，E共面，
又MR⊂平面AA1B1B，∴过D，M，N点的平面与平面BB1C1C的交线为MR．∴过D，M，N三点的平面是△DQE，
且PC1＝4，PB1＝2，C1N＝B1M＝3，
∴PM+PN＝+5
故答案为5+．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写选项，选对得3分，否则一律得零分.
13．（3分）已知a、b为异面直线，若c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面
C．平行D．相交或异面．
【解答】解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，故选：D．
14．（3分）若点P的坐标为（x0，y0），曲线C的方程为F（x，y）＝0，则“F （x0，y0）＝0”是“点P在曲线C上”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解答】解：由“F（x0，y0）＝0”可得点P（x0，y0）的坐标满足曲线F（x，y）＝0的方程，
故“点P（x0，y0）在曲线F（x，y）＝0上”，故充分性成立．
由“点P（x0，y0）在曲线F（x，y）＝0上”可得点P（x0，y0）的坐标满足曲线F（x，y）＝0的方程，
故有“F（x0，y0）＝0”，故必要性成立．
综上可得，“F（x0，y0）＝0”是“点P（x0，y0）在曲线C上”的充要条件，故选：C．
15．（3分）若要做一个正六棱锥形的铁皮烟囱帽，底口边长为0.4m，高为0.5m，则下列各数中与所需要的铁皮面积数最接近的是（）
A．0.73 m2B．1.62 m2C．1.78 m2D．2.63 m2．
【解答】解：由题意，侧面三角形的高为＝，
∴正六棱锥形的表面积为6×≈0.73m2．
故选：A．
16．（3分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，E、F为线段B1D1的两个动点，且EF＝，给出下列四个命题：
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③点B到平面AEF的距离为定值；
④异面直线AE与BF所成的角为定值．
其中真命题的个数为（）
A．4个B．3个C．2个D．1个．
【解答】解：①AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；
②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面
上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面
积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，
又由△AEF的面积为定值，可得点B到平面AEF的距离为定值，此命题正确；
④异面直线AE、BF所成的角为定值，由图知，当F与B1重合时，令上底面顶
点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F 与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值．
综上知①②③正确
故选：B．
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸
相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（6分）已知直线l：5x+2y+3＝0．
（1）求直线：5x+2y﹣1＝0与直线l的距离；
（2）求直线l2：3x+7y﹣13＝0与直线l的夹角的大小．
【解答】解：（1）因为l1∥l，所以l1与l的距离为；…（3分）（2）直线l2与直线l的夹角的余弦值为，
因为，所以，即直线l2与直线l的夹角的大小为．…（6分）
18．（6分）如图，已知圆锥的轴截面SAB是等腰直角三角形，且该圆锥体积为π，求该圆锥的表面积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高也为r．
由，得：r＝2，
故母线长．…（2分）
圆锥的底面积，…（3分）
圆锥的侧面积，…（5分）
故圆锥的表面积．…（6分）
19．（8分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB＝2．
（1）求该正四棱锥的体积V；
（2）设E为侧棱PB的中点，求异面直线AE与PC所成角θ的大小．
【解答】解：（1）设O为底面正方形ABCD中心，则PO为该正四棱锥的高
正方形ABCD中，，
∴Rt△POA中，，…（4分）
所以正四棱锥的体积为：．…（6分）
（2）设F为BC中点，连接EF、AF，
∵△PBC中，EF是中位线，∴EF∥PC
由此可得：异面直线AE与PC所成角θ等于AE、EC所成的锐角或直角…（8分）
等边三角形P AB中，边长为2，所以，
△PBC中，EF＝PC＝1，
Rt△ABE中，AF＝＝，…（3分）∴△AEF中，
．…（10分）
所以，异面直线AE与PC所成角．…（12分）
20．（8分）已知双曲线，P为C上的任意点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（3，0），求|P A|的最小值．
【解答】解：
（1）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是x﹣2y＝0和x+2y＝0．
点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，
它们的乘积是•．
点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．
（2）设P的坐标为（x，y），则|P A|2＝（x﹣3）2+y2＝＝
∵|x|≥2，∴当时，|P A|2的最小值为，
即|P A|的最小值为．
21．（12分）如图，AB是圆柱OO′的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O
＝2πrh＝100π．
上一点．已知AB＝BC＝10，S
侧
（1）求该圆柱的表面积；
（2）将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积；
（3）求点B到平面ACD的距离．
【解答】解：（1）圆柱的底面半径r＝5，高h＝10，
圆柱的侧面积S
＝2πrh＝100π，…（2分）
侧
圆柱的表面积．…（3分）
（2）由题意可知BD＝8．
△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积是分别以AC、AD为母线的
圆锥的体积之差，即．…（7分）
（3）由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥CD ，而CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，则CD ⊥平面
ABD ，故CD ⊥AD ．…（8分）
而AD ＝2，所以Rt △ACD 的面积为S ＝＝6．…（9分）
设点B 到平面ACD 的距离为h ，由V A ﹣BCD ＝V B ﹣ACD ，得：h ＝
， 即点B 到平面ACD 的距离为．…（12分）
22．（12分）已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，焦距与长轴长的比为．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程；
（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不
存在，说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆E 的方程为
（a ＞b ＞0）， 由，得：a ＝2c ，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3c 2， ∴椭圆方程具有形式
． 将A （2，3）代入上式，得：，解得：c ＝2，
∴椭圆E 的方程为；
（2）解：由（1）知F 1（﹣2，0），F 2（2，0），
∴直线AF1的方程为3x﹣4y+6＝0，直线AF2的方程为x＝2．
由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数．
设点P（x，y）为直线l上任意一点，则，
化简得：x+2y﹣8＝0（斜率为负，舍）或2x﹣y﹣1＝0．
∴∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程为2x﹣y﹣1＝0；
（3）假设存在B（x1，y1），C（x2，y2）两点关于直线l对称，则l⊥BC，∴设直线BC的方程为，
代入椭圆E的方程，得：x2﹣mx+m2﹣12＝0．
由△＝m2﹣4（m2﹣12）＞0，得：m∈（﹣4，4）．
由根与系数的关系，得：x1+x2＝m，于是，∴线段BC的中点坐标为．
又线段BC的中点在直线2x﹣y﹣1＝0上，∴，
解得：m＝4∉（﹣4，4），
∴不存在满足题设条件的相异两点．。