广西省贵港市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

广西省贵港市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若随机变量ξ服从正态分布(
)2
2,,N σξ在区间(4,)+∞上的取值概率是0.2，则ξ在区间
02（，）上的取值概率约是( ) A ．0.3
B ．0.4
C ．0.6
D ．0.8
2．用数学归纳法证明：“1(12)(123)(123)n +++++++++++(1)(2)
6
n n n ++=
”，由n k =到
1n k =+时，等式左边需要添加的项是（）
A ．
(1)
2k k + B ．
(1)
12k k ++ C ．(1)(1)(2)122k k k k +++⎡⎤
⎡⎤
+++⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
D ．
(1)(2)
2
k k ++
3．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：
根据以上数据可得回归直线方程y bx a =+，其中9.4b =，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则a ，m 的值为（ ） A ．9.4a =，52m = B ．9.2a =，54m = C ．9.1a =，54m =
D ．9.1a =，53m =
5．从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有（ ） A ．12种
B ．24种
C ．48种
D ．60种
6．定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列
做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列{}
n a 是以()11,3a =为首项，公差()1,0d =的等差向量列.若向量n a 与非零向量()(
)
*
1,n n n b x x n +=∈N ）垂直，则10
1
=x x （ ） A ．
44800
729
B ．
4480
243
C ．44800
729
-
D ．4480
243
-
7．已知函数，若函数
与函数
有相同的值域，则实数的取值范
围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8．一个正方形花圃，被分为5份A 、B 、C 、D 、E ，种植红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花,则不同的种植方法有（ ）．
A ．24 种
B ．48 种
C ．84 种
D ．96种
9．若423401234(23)x a a x a x a x a x =++++，则22
02413()()a a a a a ++-+的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．0
D ．2
10．已知x 与y 之间的一组数据，则y 与x 的线性回归方程y bx a =+必过点（ ）
x
1 2 3
y
1
3
5
7
A ．()2,2
B ．()1,2
C ．()1.5,4
D ．()1.5,0
11．已知函数f(x)是定义在R 上的增函数,f(x)+2>f ' (x),f(0)=1,则不等式ln[f(x)+2]>ln3+x 的解集为（ ） A ．(一∞,0)
B ．(0,+∞)
C ．(一∞,1)
D ．(1,+∞)
12．已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ）
A ．命题p q ∨是假命题
B ．命题p q ∧是真命题
C ．命题()p q ∧⌝是真命题
D ．命题()p q ∨⌝是假命题
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．设α和β是关于x 的方程220x x m ++=的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m =_______________.
14．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称7ICME -）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把图乙中的直角三角形继续
作下去，记12,,
,n OA OA OA ⋅的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a =_____．
15．已知P 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上任意一点，点M ，N 分别在直线11:3l y x =与21:3l y x =-上，
且2//PM l ，1//PN l ，若22PM PN +为定值，则椭圆的离心率为______. 16．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程ˆ35y
x =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^
^
^
y b x a =+所在直线必过()
,x y ； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；
⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090. 其中错误的是________．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥．2CD DA AF FE ====，4AB =．
（1）求证：//DF 平面BCE ； （2）求二面角C BF A --的余弦值；
（3）线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？不需说明理由．
18．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，如将年人流量在以上三段的频率作
为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（30.90.729=，40.90.6561=） （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行最多，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系： 年流入量
4080X <<
80120X ≤≤
120X >
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为4000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损600万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 19．（6分）（1）求函数()ln x
f x x
=
的最大值； （2）若函数()x
g x e ax =-有两个零点，求实数a 的取值范围． 20．（6分）函数()x m
f x e +=，()2x x
g x e
=
，实数m 为常数. （I ）求()g x 的最大值； （II ）讨论方程()()
2
0x f x e g x +
=的实数根的个数.
21．（6分）如图，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC PA ===，3AD =，E 是
PB 的中点.
（1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值.
22．（8分）设()()1122,,,A x y B x y 是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>上的两点，已知向量11,x y m b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
22,x y n b a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，若0m n ⋅=且椭圆的离心率3e =2，O 为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB 过椭圆的焦点(0,)F c （c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； （3）试问：AOB ∆的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】
根据正态分布曲线的对称性可知，ξ在区间(,0)-∞上的取值概率是0.2，可得ξ在区间(0,4)上的取值概率是0.6，从而可得ξ在区间02（，）上的取值概率。

【详解】
解：据题设分析知，因为随机变量ξ服从正态分布(
)2
2,N σ
且(4)0.2P ξ>=，
根据对称性可得(0)0.2P ξ<=， 所求概率12(4)
(02)0.32
P P ξξ-><<==，
故选A . 【点睛】
本题考查了正态分布的应用，解题的关键是熟知正态曲线是关于x μ=对称，在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1等正态密度曲线图象的特征. 2．D 【解析】 【分析】
写出n k =时，左边最后一项，1n k =+时，左边最后一项，由此即可得到结论 【详解】
解：∵n k =时，左边最后一项为(1)
1232
k k k ++++⋯⋯+=， 1n k =+时，左边最后一项为(1)(2)
123..(k 1)2
k k +++++⋯++=
， ∴从n k =到1n k =+，等式左边需要添加的项为一项为(1)(2)
2
k k ++
故选：D ． 【点睛】
本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】
根据选项中的等高条形图看出共享与不共享时对企业经济活跃度差异大小，从而得出结论． 【详解】
根据四个等高条形图可知：
图形A 中共享与不共享时对企业经济活跃度的差异最大 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查条形统计图的应用，考查学生理解分析能力和提取信息的能力，属于基础题. 4．C 【解析】
分析：根据回归直线过样本中心和条件中给出的预测值得到关于ˆa
，m 的方程组，解方程组可得所求． 详解：由题意得()()()1711
4235,5026381144244
x y m m =
+++==+++=+， 又回归方程为9.4ˆˆy
x a =+， 由题意得()171149.442
65.59.46ˆˆm a
a ⎧+=⨯+⎪⎨⎪=⨯+⎩
，解得5ˆ9.14a m =⎧⎨=⎩． 故选C ．
点睛：线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数．根据回归方程进行预测时，得到的数值只是一个估计值，解题时要注意这一点． 5．D 【解析】 【分析】
直接根据乘法原理得到答案. 【详解】
根据乘法原理，一共有54360⨯⨯=种选法. 故选：D . 【点睛】
本题考查了乘法原理，属于简单题. 6．D
【分析】
先根据等差数列通项公式得向量n a ，再根据向量垂直得递推关系，最后根据累乘法求结果. 【详解】
由题意得1(1)(1,3)(1)(1,0)(,3)n a a n d n n =+-=+-=， 因为向量n a 与非零向量()()*
1,n n n b x x n +=∈N ）垂直，
所以1103
3n n n n n
x nx x x ++=∴
=-+ 因此
10109
2198
198
14480
=()()()33
3243
x x x x x x x x =⋅⋅⋅
--⋅⋅-=-
故选：D 【点睛】
本题考查等差数列通项公式、向量垂直坐标表示以及累乘法，考查综合分析求解能力，属中档题. 7．B 【解析】 【分析】
由题意首先确定函数的单调性和值域，然后结合题意确定实数的取值范围即可.
【详解】
由函数的解析式可得：， 在区间上，单调递减， 在区间上，单调递增， 易知当时，，且，
故函数的值域为，
函数与函数有相同的值域， 则函数
在区间
上的值域为
， 结合函数的定义域和函数的单调性可得：
，解得：
.
故实数的取值范围是.
本题选择B 选项.
本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的值域，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．D 【解析】 【分析】
区域A 、C 、D 两两相邻，共有3
4A 24=种不同的种植方法，讨论区域E 与区域A 种植的花的颜色相同与不
同，即可得到结果. 【详解】
区域A 、C 、D 两两相邻，共有3
4A 24=种不同的种植方法，
当区域E 与区域A 种植相同颜色的花时，种植B 、E 有122⨯=种不同的种植方法， 当区域E 与区域A 种植不同颜色的花时，种植B 、E 有212⨯=种不同的种植方法， ∴不同的种植方法有()3
4A 2296⨯+=种，
故选D 【点睛】
本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与分析、运算及求解能力，属于中档题． 9．A 【解析】
(a 0+a 2+a 4)2－(a 1+a 3)2444014014()()(23)(2(43)1a a a a a a =+++-+
+=+-=-+=
选A 10．C 【解析】 【分析】
计算出x 和y ，即可得出回归直线必过的点()
,x y 的坐标. 【详解】 由题意可得0123 1.54x +++=
=，1357
44
y +++==，
因此，回归直线y bx a =+必过点()1.5,4，故选：C. 【点睛】
本题考查回归直线必过的点的坐标，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点()
,x y ”这一结论的应用，考查结论的应用，属于基础题. 11．A
分析：先令()[()+2]x
g x f x e
-= ，则()[()()2]0(0)3x g x f x f x e g -''=--<=，且原不等式转化为
ln ()ln (0)g x g > ，再根据单调性得结果.
详解：令()[()+2]x
g x f x e
-= ，则()[()()+2]0(0)3x g x f x f x e g -=->''=，
因为原不等式转化为ln ()ln (0)g x g > ，所以()(0)0g x g x >∴< 因此选A.
点睛：解函数不等式,首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内. 12．C 【解析】
试题分析：先判断出命题p 与q 的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论． 解：由于x=10时，x ﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p 为真命题， 令x=0，则x 2=0，故命题q 为假命题， 依据复合命题真假性的判断法则，
得到命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，￢q 是真命题， 进而得到命题p ∧（￢q ）是真命题，命题p ∨（￢q ）是真命题． 故答案为C ．
考点：全称命题；复合命题的真假．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2 【解析】 【分析】
由题意，可设α＝a+bi ，(),a b ∈R 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi ，且m 与n 为实数，b ≠1．由根与系数的关系得到a ，b 的关系，由α，β，1对应点构成直角三角形，求得到实数m 的值 【详解】
设α＝a+bi ，(),a b ∈R 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi ，且m 与n 为实数，n ≠1． 由根与系数的关系可得α+β＝2a ＝﹣2，α•β＝a 2+b 2＝m ． ∴m ＞1．
∴a ＝﹣1，m ＝b 2+1，
∵复平面上α，β，1对应点构成直角三角形，
∴α，β在复平面对应的点分别为A ，B ，则OA ⊥OB ，所以b 2＝1，所以m ＝1+1＝2；，
故答案为：2 【点睛】
本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理、根与系数的关系，三角形是直角三角形是解题的关键，属于基础题． 14
【解析】 【分析】
由图可知1122378...1OA A A A A A A =====，由勾股定理可得22
11n n a a -=+,利用等差数列的通项公式求
解即可. 【详解】
根据图形1122378...1OA A A A A A A =====， 因为122378...OA A OA A OA A ∆∆∆、都是直角三角形，
2211n n a a -∴=+,
2n a ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，
()2111n a n n ∴=+-⨯=，
n a ∴=
.
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题. 15
．
3
【解析】 【分析】
设00(,)P x y ，求出M ，N 的坐标，得出22PM PN +关于00,x y 的式子，根据P 在椭圆上得到,a b 的关系，进而求出离心率. 【详解】
设00(,)P x y ，则直线PM 的方程为00133x y x y =-
++，直线PN 的方程为001
33
x y x y =-+，联立方程组0013313x y x y y x
⎧
=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得00003(,)2262x x y M y ++，
联立方程组00133
13x y x y y x
⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，解得00003(,)2262x x y N y --+，则
22222222
0000000000335()()()()5226222629
x y x y x x y PM PN y x y +=-
++-++++=+ 又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为2200559x y +为定值，则225
1959b a ==，222
289
a b e a -==
，3
e =
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度. 16．②④⑤ 【解析】
分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假. 详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；
回归方程ˆ35y
x =-中若变量x 增加一个单位时，则y 平均减少5个单位； 曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；
在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．
点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）详见解析（2
（3）不存在 【解析】 【分析】
（1）根据平行四边形求得//DF CE ，再利用线面平行的判定定理得证；
（2）建立空间直角坐标系A xyz -，求出平面BCF 的法向量和平面ABF 的法向量，再利用夹角公式求得余弦值；
（3）求得平面ACE 的法向量m ，证明0m n ⋅≠得出平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，得出不存在点G. 【详解】
解：（1）因为//CD EF ，且CD EF =，所以四边形CDFE 为平行四边形，所以//DF CE ．
因为DF BCE ⊄平面， 所以//DF 平面BCE ．
（2）在平面ABEF 内，过A 作AZ AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，
ABEF ABEF AB ⋂=平面平面，AZ ABEF ⊂平面，所以ABCD AZ 平面⊥，
所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．
由题意得，()0,0,0A ，()0,4,0B ，()2,2,0C
，(E
，(F ．
所以()
2,2,0BC →
=-
，(0,BF →
=-．
设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = 则00
n BC n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即220,
30.x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
令1y =，则1x =
，z =
平面ABF 的一个法向量为(1,1,0)v = 则5cos ,n v n v n v ⋅=
= ．所以二面角C BF A --
（3）线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： 解法一：设平面ACE 的法向量为m ()111,,x y z =，
则00m
AC m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即1111220,
30.
x y y +=⎧⎪⎨
=⎪⎩
令11y =，则11x
=-，1z =m (1,1,=-．因为0m n ⋅≠ ， 所以平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，
从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ．
解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： 假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，设
CG CE
λ→→
=，其中[]
0,1λ∈．
设()222,,G x y z ，则有()()
2222,2,2,x y z λλ--=-，
所以222x λ=-，22y
λ=+，2z ，从而(
)
22,2,G λλ-+，
所以()
22,2AG λλ→
=-+．
因为AG
⊥平面BCF ，所以//AG n ．所以有
22211λλ-+==
，
因为上述方程组无解，所以假设不成立．
所以线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． 【点睛】
本题目主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量求二面角和线面垂直的方法，解题的关键是在于平面的法向量的求法，运算量较大，属于中档题. 18．（1）0.9477；（2）2台. 【解析】 【分析】
（1）求出1(4080)0.2p P X =<<=，2(80120)0.7p p x ==，2(120)0.1p p x =>=，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）记水电站的总利润为Y （单位，万元），求出安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机时
Y 的分布列和数学期望，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机的台数．
【详解】
解：（1）依题意，()110
40800.250
p P X =<<=
=， ()235
801200.750
p p x =≤≤==， ()25
1200.150
p p x =>=
=， 由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为：
()()
4
4
3
01
4343399111430.9477101010p C p C p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-=+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
（2）记水电站的总利润为Y （单位，万元） 安装1台发电机的情形：
由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润4000Y =，
()400014000E Y =⨯=，
安装2台发电机的情形：
依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时40006003400Y =-=， 因此()()1340040800.2P Y P X p =<<==＝，
当80X ≥时，两台发电机运行，此时400028000Y =⨯=，因此，
()()2310000800.8P Y P X P P =≥=+=＝，
由此得Y 的分布列如下
所以()34000.280000.87080E Y =⨯+⨯=． 安装3台发电机的情形：
依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时400012002800Y =-=， 因此()()1280040800.2P Y P X p ==<<==，
当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时400026007400Y =⨯-=，因此，
()()27400801200.7P Y P X p =≤≤==＝，
当120X >时，三台发电机运行，此时4000312000Y =⨯=，因此，
()()3120001200.1P Y P X p =>==＝，
由此得Y 的分布列如下
所以()28000.274000.7120000.16940E Y =⨯+⨯+⨯=． 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查运算求解能力，是中档题． 19． (1) 1
e
(2) a e > 【解析】 【分析】 （1）求出()2
1ln 'x
f x x
-=
．利用导函数的符号判断函数的单调性然后求解最大值；（2）分情况：①在0a =时，②在0a <时，③在0a >时，判断函数的单调性，求解函数的极值与0的关系，然后求解零点个数． 【详解】 （1）对()ln x f x x =
求导数，()2
1ln 'x
f x x -=． 在0x e <<时，()f x 为增函数，在x e >时()f x 为减函数， ∴()()1f x f e e ≤=
，从而()f x 的最大值为1e
． （2）①在0a =时，()x
g x e =在R 上为增函数，且()0g x >，故()g x 无零点．
②在0a <时，()x
g x e ax =-在R 上单增，又()010g =>，1
110a g e a ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
，故()g x 在R 上只有
一个零点．
③在0a >时，由()'0x
g x e a =-=可知()g x 在ln x a =时有唯一极小值，()()ln 1ln g a a a =-．
若0a e <<，()()1ln 0g x a a =->极小，()g x 无零点， 若a e =，()0g x 极小=，()g x 只有一个零点， 若a e >，()()1ln 0g x a a =-<极小，而()010g =>． 由（1）可知，()ln x
f x x
=
在x e >时为减函数， ∴在a e >时，2a e e a a >>，从而()2
0a
g a e a =->． ∴()g x 在()0,ln a 与()ln ,a +∞上各有一个零点． 综上讨论可知：a e >时，()f x 有两个零点． 【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点个数的判断，是难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数，另一个是含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些． 20．（Ⅰ）2
e
（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
（1）直接对函数()g x 进行求导，研究函数的单调性，求最大值；
（2）对方程根的个数转化为函数零点个数，通过对参数m 进行分类讨论，利用函数的单调性、最值、零点存在定理等，判断函数图象与x 轴的交点个数. 【详解】 （Ⅰ）()2x x
g x e =
的导数为()()21x
x g x e
-'=. 在区间(),1-∞，()0g x '>，()g x 是增函数；在区间()1,+∞上，()0g x '<，()g x 是减函数. 所以()g x 的最大值是()2
1g e
=
. （Ⅱ）()()211x m x m
x
xe f x e e g x x x
++++=+=，方程()()20x f x e g x +=的实数根个数，等价于函数()1x m h x xe +=+的零点个数. ()()1x m h x x e +'=+.
在区间(),1-∞-上，()0h x '<，()h x 是减函数； 在区间()1,-+∞上，()0h x '>，()h x 是增函数.
()h x 在1x =-处取得最小值()111m h e --=-.
①当1m <时，()()10h x h ≥->，()h x 没有零点； ②当1m =时，()h x 有唯一的零点；
③当1m 时，在区间()1,-+∞上，()h x 是增函数，并且()1
110m h e
--=-<.
()010h =>，所以在区间()1,-+∞上有唯一零点；
在区间(),1-∞-上，()h x 是减函数，并且()1
110m h e
--=-<，
()22
221110m m m h m m e e
--=-+=-
>->，所以在区间(),1-∞-上有唯一零点. 综上所述，当1m <时，原方程没有实数根；当1m =时，原方程有唯一的实数根；当1m 时，原方程有两个不等的实数根. 【点睛】
在使用零点存在定理时，证明在某个区间只有唯一的零点，一定要证明函数在该区间是单调的，且两个端点处的函数值相乘小于0；本题对数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等进行综合考查，对解决问题的综合能力要求较高.
21．（1）证明见解析；（2）14
-. 【解析】 【分析】
可以以AB 为x 轴、AD 为Y 轴、AP 为Z 轴构建空间直角坐标系，写出AE BC BP
→→→、、的空间坐标，通过证明AE BC AE BP ⊥⊥，得证AE ⊥平面PBC ．
通过求平面PBC 和平面PCD 的法向量得证二面角B PC D --的余弦值． 【详解】
（1）根据题意，建立以AB 为x 轴、AD 为Y 轴、AP 为Z 轴的空间直角坐标系，
则()()()A 000B 100C 110，
，，，，，，，， ()()11D 030P 001E 022⎛⎫
⎪⎝⎭，，，，，，，，，
()()11001010122AE
BC
BP
⎛⎫→=→=→=- ⎪⎝⎭
，
，，，，，，，，
因为00AE BC AE BP
→→=→→=，， 所以AE BC AE BP ⊥⊥，．
因为BC BP ⊂、平面PBC ，且BC BP B ⋂＝， 所以AE ⊥平面PBC ．
（2）设平面PCD 的法向量为()n x y z ＝，，，则00CD PD
n n →=→=， 因为()()120031CD PD
→=-→=-，，，，，，所以x 2y 03y z 0－＋＝，－＝． 令x 2＝，则y 1z 3＝，
＝． 所以()n 213＝，，是平面PCD 的一个法向量．
因为AE ⊥平面PBC ，所以AE 是平面PBC 的法向量． 所以AE
AE
AE
57
cos 14n
n n
→→=
=
→
，
由此可知，AE 与n
根据图形可知，二面角B PC D －－的余弦值为． 【点睛】
在计算空间几何以及二面角的时候，可以借助空间直角坐标系．
22．（Ⅰ
）2
214
y x +=；
（Ⅱ）k =
（Ⅲ）三角形的面积为定值1． 【解析】
试题分析：（1）根据条件可得
21a b c ===，，，再设直线AB 的方程为：y kx =立方程组，利用韦达定理和已知条件m n ⊥，即可求出k 的值；（2）先考虑直线AB 斜率不存在的情况，即12x x =，12y y =，根据m n ⊥，求得1x 和1y 的关系式，代入椭圆的方程求得A 点的横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB 的面积的值；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示出12x x +和12x x ⋅，再利用m n ⊥，弦长公式及三角形面积公式求得答案.
试题解析：（1）由题可得：2a =，1b =
，所以，椭圆的方程为2214y x +=
设AB 的方程为：y kx =+
2214
y x +=得：()22
410k x ++-=
∴122
4
x x k -+=
+，12214x x k -=+，0∆> ∵m n ⊥，∴0m n ⋅=，即：212
1212144y y k x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
)12304x x ++=
即22413
04444
k k +⎛⎫-= ⎪
+⎝⎭，解得：2k =± （2）①直线AB 斜率不存在时，即12x x =，12y y = ∵m n ⊥
∴0m n ⋅=，即2
211
04
y x -=
又∵A 点在椭圆上
∴22
11
14
y x +=，即2
112x =
∴12
x =
，1y = ∴1121111
=
2122
S x y y x y -=⋅=，故AOB ∆的面积为定值1 ②当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y kx m =+，
联立22
14y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222
4240k x kmx m +++-= ∴12224km x x k -+=+，21224
4
m x x k -=+，0∆>
∴121122
AOB
S m x x m ∆=-=
=
所以三角形的面积为定值1.
点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；②直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值.。