精选最新版2020高考数学《立体几何初步》专题模拟题(含标准答案)

2019年高中数学单元测试卷
立体几何初步
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( D )
（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条(2008四川理)
2．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为l 其中真命题的个数为
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个(2008江西理)
3．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．
是（ B ） Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上(2006江西文)
4．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的面积与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成图形可能是：（ ）(2004重庆理)
5．已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 A ．1 B C ．2 D ．3(2010全国II
理
【答案解析】C
6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）
（A ）75° （B ）60° （C ）45° （D ）30°（2004全国2文6） 7．高为
4
的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为(2011年高考重庆卷理科9) （A （B （C ）1 （D
二、填空题
8．设,αβ是互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则
②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则
④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中真命题的序号为 ．
9．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是 ． ①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；
③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ；
④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．
10． 正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线AC 与1BC 所成的角为 _____ 11． 三条直线两两平行，则过其中任意两条直线最多可确定________个平面. 12．已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥； ②存在一个平面γ，,γαγβ⊥⊥；
③存在两条平行直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α； ④存在两条异面直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α。

其中是平面α∥平面β的充分条件的为= ▲ ．（填上所有符合要求的序号）
13．如图所示，已知E 、F 分别为正四面体ABCD 所在棱的中点，则 异面直线AC 与EF 所成的角为________．
解析：取BC 中点G ，连结EG ，FG ，则∠GEF 为异面直线所成 角，
∵EG ＝12AC ＝1
2BD ＝GF ，又可证AC ⊥BD ，∴∠EGF ＝90°，则
∠GEF ＝45°.
14．设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则下列4组条件中所有 能推得a b ⊥的条件是 ▲ ．（填序号）
①,a b αβαβ⊂⊥‖,
；②,,a b αβαβ⊥⊥⊥； ③,,a b αβαβ⊂⊥‖；④,a b αβαβ⊥‖,
‖．
15．如图，在直三棱柱11ABC A B C -
中，012,90AB BC BB ABC ===∠=，E 、F 分
别为111AA C B 、的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 。

16．在正三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个结论： ① AC ⊥PB ； ② AC ∥平面PDE ； ③ AB ⊥平面PDE 。

则所有正确结论的序号是 。

17．如图，已知边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，M 在A 1B 1上，A 1M 1
3
=
，点P 在底面A 1B 1C 1D 1上，点P 到AD 的距离与点P 到M 的距离的平方差为定值a （a 为常数），则点P 的轨迹为 抛物线
提示：以A 1B 1为X 轴，以A 1D 1为Y 轴建立坐标系来解决问题
18．给出下列四个命题：
·
A
C
B
A
B C
（第19题
⑴ 过平面外一点，作与该平面成θ00
(090θ<≤）角的直线一定有无穷多条； ⑵ 一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；
⑶ 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；
⑷ 对两条异面的直线,a b ，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确命题的序号为_____________（请把所有正确命题的序号都填上）．
三、解答题
19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1CD 与1DC 相交于点O ，求证：
1AO A B ⊥．（本小题满分10分）
20．四棱锥A B C D P -中，底面ABCD 是边长为8的菱形，3
π
=
∠BAD ，若
5==PD PA ，
平面PAD ⊥平面ABCD .
（1）求四棱锥ABCD P -的体积； （2）求证：AD ⊥PB ；
（3）若点E 为BC 的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面 DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论? (本小题16分)
21．在如图所示的多面体中，11//AA BB ，11CC AC CC BC ⊥⊥，． （1）求证：1CC AB ⊥；（2）求证：11//CC AA ．
O D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
A
C1
B B1
（第17题图）
22．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90
底面
ABCD ，且1
2
PA AD DC ===
，1AB =，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；
（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。

（本题满分15分）
23．已知菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置，点E 、F 、M 分别是AB 、1DC 、1BC 的中点. (1) 证明：BD //平面EMF . (2) 证明：1AC BD ⊥.
(3)
当EF AB ⊥时，求线段1AC 的长。

24．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面
ABCD ，1===BC DC PD ，2=AB ，DC AB //，︒=∠90BCD 。

（1）求证：BC PC ⊥；
（2）在线段PB （不包括端点）上能否找到一点M ，使
//AM 平面PDC ；
（3）求点A 到平面PBC 的距离；
25．如图，四面体P ABC -中，AB BC ⊥,PA ⊥底面ABC ,且PA AB =,点E 是棱BC 的中点，点F 是棱PB 的中点． （1）求证：//EF 面PAC ； （2）求证：PE AF ⊥．
26．在正三棱柱111ABC A B C -中，若12,1,AB AA ==则三棱锥1A A BC -的体积为 27．平行四边形ABCD 中，CD =1，∠BCD =60°，且BD ⊥CD ，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点。

(1)求证：BD ⊥平面CDE ； (2)求证：GH ∥平面CDE ； (3)求三棱锥D-CEF 的体积。

28．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1
求证：EF ∥平面BB 1D 1D
B
A D
P
C
F
E
P
C
B
A
（第16题图）
29．长方体1111ABCD A B C D -中，点1P BB ∈，且P 与B 点不重合，若1PA BA M =，
1PC
BC N =。

求证：MN ∥平面ABCD 。

30．如图，已知在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC=BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、
BB 1、AB 、B 1C 1的中点．
（1）求证：面PCC 1⊥面MNQ ； （2）求证：PC 1∥面MNQ ．
证明：（1）因为 AC=BC ，且P 是AB 的中点， 所以PC AB ⊥，又1CC AB ⊥ 所以AB ⊥面PCC 1
又因为MN ∥AB ，因此MN ⊥面PCC 1，
所以面PCC 1⊥面MNQ ； …………7分 （2）连接P B 1交MN
于点K ，连接KQ ，易证QK ∥PC 1
所以PC 1∥面MNQ ． ………14分
C
B 1
A 1 C 1
D 1
A
B
D
A 1
A
B
C
P
M
N
Q
B 1
C 1。