河南省中原名校高三数学5月仿真模拟联考试题 理(扫描版)

河南省中原名校2016届高三数学5月仿真模拟联考试题理（扫描版）
中原名校2016年高考全真模拟统一考试
数学（理）试题参考答案
1．答案：D 解析：由M N M =I 得N M ⊆，当0=a 时，01=-ax 无解，此时φ=M 显然适
合题意。

故选D 。

2．答案：A 解析：由题意得1)2123(
)(=-⋅-i i z ，所以i i z 2123+=-，所以i
z 23
23+=，
故A 正确。

3．答案：C 解析：因为n y x =（n 为正整数）是增函数，又1123>所以，
x ∀∈N *, 1123x
x
⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成
立，p 正确；1122
22222x
x
x x
--+≥⨯=，当且仅当122x x -=，即1*
2x N =∉，
所以，q 假命题， 所以
()
p q ∧⌝为真命题。

4．答案：B 解析：因为等比数列{}n a 中，6442=a a ，14
3=S ，由题意得1≠q ，所以
⎪⎩⎪⎨⎧=--=⋅⋅⋅141)
1(6431311q q a q a q a 解得⎩⎨⎧==221q a ，所以42=a ，所以等差数列{}n b 的通项22+=n b n ，
所以4034
2016=b ，故选B 。

5．答案：D 解析：
列举6i =，6a = 5i = 4i = 2i =
166a =+
16166a =+
+
16161
66a =+
+
+
…….a =6+
16＋
1
6＋
16＋
16＋16
5i = 4i = 3i = 1i = 1i =退出循环，故①1i >；②6a -
6．答案：D 解析：设A 表示甲乙相邻，B 表示甲丙相邻 则
42
42
A n A A =
32
32
AB n A A =
1
(/)4
AB A n P B A n =
=
7．答案：A 解析：
n
k x )1(+的展开式的通项为r r n r r
r n r x
C k k x C T 1)(1==+
由图可知，4,3,1210===a a a ∴41,31221==n n C k C k
∴42)1(,32
=-=k n n k n ∴3=k
328
|33133
12
12
===---⎰⎰x dx x dx x k
，故选A 。

8．答案：D 解析：
1cos(2)
112sin 2222x y x π
-+=
=+
11sin(22)22y x a =-+
为偶函数
则
4a π
=
，()2cos()4f x x m π
=+-，
[]0,x π∈ 令
5,444t x π
ππ⎡⎤=+
∈⎢⎥⎣⎦则2cos m t =，5,44t ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
如右图可知22m -<≤-
9．答案：B 解析：如右图OM 垂直平分PF 2，则
12
PF PF ⊥
设
1
2
(1)PF PF λλ=>解
2222222()(2)
2PF PF c PF PF a λλ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
则
,得22
22
215(1)c e a λλ+===-，解得2λ=
10．答案：B 解析：如右图，过O 作OD AB ⊥于D OE AC ⊥于
E
则()AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()AE EO AC AD DO AB =+⋅-+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
221110
22AC AB =-=u u u
r u u u r
11．答案：C 解析：如右图，边长为1的正方体中，
三视图所示几何体即为三菱锥C 1—ABD
11111
111326C V V ABD =-=⋅⋅⋅⋅=
32433()322V ππ
=⋅= 则2133V V π=
12．答案：A 解析：由题意知()f x 关于（0,0）中心对称，令()()F x xf x =解()F x 为偶函数
当(,0)x ∈-∞时，'()()'()0F x f x xf x =+<即()F x 在(,0)-∞上为（减函数） 则()F x 在(0,)+∞上为（增函数），
则
0.3
(3)a F = (log 3)b F π= (2)c F = 又
03log 332
π.<<Q ，故c a b >>
13．答案：180
解析：
()1
(120)12(100110)0.152P x P x >=
-≤≤=
故12000.15180⨯=
14．答案：
3410≥
≤<a a 或
解析：当x y a +=过B 时，1a =
当x y a +=过22(,)
33A 时，
4
3a = 故01a <≤或
43a ≥
15．答案：
]
23
0，（ 解析：设00(,)P x y 解22
0022
1y x a b -=- 即
222
0220y a a x b -=-
又
12
222000220004
PA PA y a y a y a a K K x x x b +--⋅=⋅==-≥-
2214b a ∴-≤-，223
14b a -≤
22312b e a ∴=-≤即302e <≤
16．答案：2046解析：由
121
2
++++=n n n n a a a a 得，1112+++++=
n n n n n a a a a a ∴两边取倒数得
11
21+=+++n n n n a a
a a ∴数列}{1+n n a a 是以221=a a 为首项，以1为公差的等差数列
∴11+=+n a a n n
∴由累乖法可得
!1n a n =
所以11+-+n i n i a a a =i
n C i n i n 1
)!1(!)!1(+=-++
图中第10行所有数的和为11101a a a +1192a a a +1183a a a +…+1138a a a +1129a a a +111
10a a a =1011911811311211111C C C C C C ++++++Λ=20462211=-
（或分别求出
11
109321,,,,,a a a a a a ，Λ代入式子中，找出规律求和）
17．（1）因为332sin
=∠ABC ，所以3
1
3121=⨯-=∠ABC cos ……………………2分 在ABC ∆中，设b AC a BC 3,==，
则由余弦定理可得a a b 3
4
4922-+= ①………………………………4分
在ABD ∆和DBC ∆中，由余弦定理可得b b ADB 3
3
1643164cos 2-+
=
∠， b a b BDC 3
3
8316cos 22-+
=
∠． 因为BDC ADB ∠-=∠cos cos ， 所以有b a b b b 3
3
8316331643164222-+-=-+
，所以6322-=-a b ② 由①②可得1,3==b a ，即3=BC ．……………………………………9分
（2）由（1）得ABC ∆的面积为223223221=⨯⨯⨯，所以DBC ∆的面积为3
22．……12分
18．解：
（1）E 为1BC 中点．
证法一：取BC 中点F ，连接EF OF ,． 所以可得1//,//BB EF AB OF ，
所以面//OEF 面1A AB ．
所以//OE 平面1A AB ．………………… 6分
1
A B C O
1
B 1
C x
y
z
证法二：因为11A A AC =，且Ｏ为AC 的中点，所以1AO AC ⊥．又由题意可知， 平面11AAC C ⊥平面ABC ，交线为AC ， 且1A O ⊂平面11AA C C ，所以1A O ⊥平面ABC ． 以Ｏ为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别
为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．…………1分
由题意可知，112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥1
,1,2
OB AC ∴== 所以
11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B -
则有：11(0,1,(1,1,0)A C AA AB ===u u u u r u u u u u r
．………………………………2分
设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有
10000
AA y x y AB ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u r u u u r
n n ，令1y =
，得1,x z =-=
所以(1,1,=-n ．…………………………………………………………4分 设0001(,,),,E x y z BE BC λ==u u u r u u u u r
即000(1,,)(x y z λ-=-
，得00012x y z λ
λ⎧=-⎪
=⎨⎪
⎩
所以(1,2),E λλ=-
得(1,2),OE λλ=-u u u r
由已知//OE 平面1A AB ， 得=0OE ⋅u u u r n ， 即120,λλλ-++-=得12
λ=．
即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点．………………………………………………6分
（2）由法二，已知)0,2,0(),3,0,1(111=-=C A A ，设面11BC A 的法向量为
),,(c b a m =，则001
11==⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅C A m B A m ⎩⎨⎧
==-⇔020
3b c a ， 令3=c ，所以)3,0,3(=m ．………………………………………… 8分
所以cos ＜m ,n ＞＝
m
m n m ⋅＝3
71213⋅
--＝-772．…………………………12分
19.解：（1）检查次数为4次包含两类情况：
①前3次检查中有一个次品，第4次检查出次品，其概率为
12324314
615C C A P A ==………………2分
②前4次检查全部是合格品，余下两件必是次品，其概率为
15146442=
=A A P ，………………4分
所以所求概率为
154
1515121=
+=+P P ,………………………………5分 (2) X 的可能取值为2,3,4,5………………………………6分
151)2(2622===C C X p ，152
)3(3
6
122214===A C A C X p
154)4(4633241244=+==A A C C A X p ，158
)5(4
6
441234===A A C C X p (一个1
分)…………10分 X 2 3
4 5 P
115
215 415 815
所以124864
23451515151515E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= (12)
分
20.解：（1）设
),(00y x P (0y ＞0)，由已知得F )0,1(，则|PF|=4,5100==+x x ，
∴0y =4，∴点P 的坐标是(4,4)……………………2分
（2）①设直线PA 的方程为
),,(),0)(4(411y x M k x k y ≠-=-
由⎩⎨⎧=-=-,4),4(42x y x k y 得
,0161642=-+-k y ky ∴
44
,4411-==
+k y k y ，∴)44,)1(4(2
2
--k k k M 。

由已知PA=PB ，∴直线PB 的斜率为k -，∴)44,)1(4(2
2--+k k k N ，
∴
21)1(4)1(44
44422
22-=+--++-=k k k k k k k MN
………………………………7分
②设E(t,0)，∵|EM|=31|NE|，∴EN
EM 31
=，
∴,)1(4(31)44,)1(4(2
222t k k k t k k -+=--- )44--k ，则),44
(3144--=-k k ∴
2=k …………………………8分
∴直线PA 的方程为42-=x y ，则)0,2(A ，同理)0,6(B
∴53
2cos cos 222=
⋅-+=∠=∠PB PA AB PB PA APB MPN ………………………………12分
21.解：（1）因为
x b ax x x f ln 2)(2
++=，所以x b
a x x f +
+='22)(………………1分
O
A
B P
x
y
M
N
E
所以()()⎩⎨⎧=='2111f f ，即⎩⎨⎧=+=++221122a b a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-==221b a
所以
x x x x f ln 2)(2-+=………………………………3分 （2）∵
()()22]ln 3[x x x x f m x g ++-=)ln (2x x m x ++=
①当0=m 时，()2x x g =，因为0>x ，()02>=x x g 满足题意；………………4分
②当0>m 时，)1,0(∈x 时，)0,(ln -∞∈x ，)0,(ln -∞∈x m
从而“,0>∀x 0)ln ()(2>++=x x m x x g ”不成立………………………………5分
③当0<m 时，由0)ln ()(2
>++=x x m x x g ，得)ln 1(12x x x m +-< 设
)ln 1()(2x x x x h +-=，则33ln 21)(x x x x x h +-='，当1=x 时，0)(='x h ∴当10<<x 时，0)(<'x h ，)(x h 在)1,0(上递减 当1>x 时，0)(>'x h ，)(x h 在),1(+∞上递增，
所以1)1()(-=≥h x h ，即11-<m ，所以01<<-m 综上所述，实数m 的取值范围是01≤<-m 。

…………………………8分
（3）由（2）知，当1-=m 时，
0)ln ()(2≥++=x x m x x g 在),0(+∞上恒成立，即x x x ln 2
≥- 在),0(+∞上恒成立，即1ln -≤x x x 当且仅当1=x 时等号成立. 所以有1ln ,344ln ,233ln ,122ln -<<<<n n n Λ， 叠加得2)1()1(321ln 44ln 33ln 22ln -=-++++<++++n n n n n ΛΛ， ∴2)1(ln 44ln 33ln 22ln -<++++n n n n Λ ∴2)1()5432ln(543-<⋅⋅⋅n n n n Λ
所以2)1(5435432-<⋅⋅⋅n n n e n Λ得证.（或利用数学归纳法证明）。

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
证明：
（1）过点P 作两圆公切线PN 交AB 于N ，由切线长定
理得 NB NA NP ==， ∴△PAB 为直角三角形． ……… 4分
（2）∵AE AP AC AB ⋅=⋅， ∴AC AE AP AB =，又EAC PAB ∠=∠， ∴PAB ∆∽CAE ∆，
∴,900=∠=∠APB ECA 即EC AC ⊥． ………… 7分 由切割线定理，AD AP AB ⋅=2
∴,3,5==PB AB AC EC PA PB :4:3:==， ∴4
3=AC EC ． ………… 10分 23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解：
（1）由
)
3cos(4πθρ-=得，
θθπθπθρsin 32cos 23sin sin 43cos cos 4+=+=…………………2分
所以曲线C 的直角坐标方程为032222=--+y x y x ，即
4)3()1(22=-+-y x ………3分
∵直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 332 ∴直线l 的普通方程为013=+-y x ∴直线l 的极坐标方程为01sin 3cos =+-θρθρ ……………………5分
（2）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 332化为标准参数方程322132x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入032222=--+y x y x 得，2330t t +-=
设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，
则12||||||3
PA PB t t ⋅=⋅=（其他方法酌情给分）………10分
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 解：原式等价于|212-+-≥-++|x ||x |a|b||a b||a ，设t a
b =， 则原式变为|2||1||12||1|-+-≥-++x x t t 对任意t 恒成立． ····· 2分
因为⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+-≥=-++1
32112213121t ,t t ,t t ,t |t ||t |，最小值为21=t 时取到为23． · 6分 所以有23≥=-+-21x x ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-1
232＜＜112
32x,x ,x ,,x x 解得]49,43[x ∈． ········ 10分。