人教版高中数学课件-一元二次不等式及其解法
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高考总复习 数学
第三章 不等式
高考总复习 数学
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第三章 不等式
②當a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－2≤a≤1，由a≥－1，∴－1≤a≤1 綜上所述，所求a的取值範圍為－3≤a≤1
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第三章 不等式
某摩托車廠上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛， 出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛，本年度為了適應市 場需求，計畫提高產品品質，適度增加投入成本，若每輛的比 例為x(0＜x＜1)，則出廠價相應地提高比例為0.75x，同年預計 年銷售量增加比例為0.6x，已知年利潤＝(出廠價－投入成本)× 年銷售量
第三章 不等式
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第三章 不等式
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第三章 不等式 x∈∅
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第三章 不等式
2．一元二次不等式與二次函數、一元二次方程的關係
二次函數
Δ的情況
一元二次方 程
一元二次不等式
y＝ax2＋ Δ＝b2－ ax2＋bx＋c ax2＋bx＋ ax2＋bx＋
bx＋c(a>0) 4ac
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第三章 不等式
[答案] A
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第三章 不等式
3．(2009·山東卷文)在R上定義運算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b， 則滿足x⊙(x－2)＜0的實數x的取值範圍為( )
A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
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第三章 不等式 [解析] 依題意得 x⊙(x－2) ＝x(x－2)＋2x＋(x－2) ＝x2＋x－2 ∴x⊙(x－2) ＝x2＋x－2＜0， 解得－2＜x＜1 [答案] B
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第三章 不等式 2．對於解含有參數的二次不等式，一般討論的順序是： (1)討論二次項係數是否為0，這決定此不等式是否為二次 不等式； (2)當二次項係數不為0時，討論判別式是否大於0； (3)當判別式大於0時，討論二次項係數是否大於0，這決定 所求不等式的不等號的方向； (4)判斷二次不等式兩根的大小．
(1)寫出本年度預計利潤y與投入成本增加的比例x的關係式； (2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增 加比例x應在什麼範圍內？
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第三章 不等式
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第三章 不等式
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第三章 不等式
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第三章 不等式
1．解一元二次不等式的一般步驟 (1)對不等式變形，使一端為0且二次項係數大於0，即ax2＋ bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； (2)計算相應的判別式； (3)當Δ≥0時，求出相應的一元二次方程的根； (4)根據對應二次函數的圖象，寫出不等式的解集．
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第三章 不等式
例題中加上條件：在x∈[－1，＋∞)上，f(x)≥a恒成立， 那麼a的取值範圍又是什麼呢？
[解] f(x)＝(x－a)2＋2－a2， 此二次函數圖象的對稱軸為x＝a， ①當a∈(－∞，－1)時，結合圖象知，f(x)在[－1，＋∞)上 單 調 遞 增 ， f(x)min ＝ f( － 1) ＝ 2a ＋ 3 ， 要 使 f(x)≥a 恒 成 立 ， 只 需 f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得a≥－3，又a＜－1， ∴－3≤a＜－1
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第三章 不等式 例題中的去掉條件m＞－1，那麼不等式x(x＋m－1)≥m
的解又如何？並設計框圖求解該不等式 [解] 原不等式可化為(x－1)(x＋m)≥0，則方程(x－1)(x＋m)
＝0根1，－m，討論兩根大小，作函數圖象如圖：
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第三章 不等式
若－m<1即m>－1時，x≤－m或x≥1. 若－m＝1即m＝－1時，原不等式的解集為R. 若－m>1，即m<－1時，則x≤1或x≥－m. 利用框圖求解： 先 整 理 不 等 式 ： x2 ＋ (m － 1)x － m≥0 ， 再 設 計 框 圖 ， 如 下 圖．
2．對於分式不等式，可考慮化為與之等價的整式不等式 來求解．
3．對分段函數，分段解決，再綜合下結論．
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第三章 不等式
若m＞－1，解關於x的不等式x(x＋m－1)≥m [解] 原不等式可以化為(x－1)(x＋m)≥0，則方程(x－1)(x ＋m)＝0的根為1和－m，由於m＞－1，所以－m＜1，所以不等 式x(x＋m－1)≥m的解集為{x|x≤－m或x≥1}
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第三章 不等式
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第三章 不等式
已知f(x)＝x2－2ax＋2，f(x)≥a恒成立，求a的取值範圍． [解] 由f(x)＝x2－2ax＋2 得f(x)≥a為x2－2ax＋2≥a， ∴f(x)≥a恒成立，即x2－2ax＋2－a≥0恒成立 要使得x2－2ax＋2－a≥0恒成立， 只需Δ＝4a2－4(2－a)≤0，解得－2≤a≤1 ∴所求a的取值範圍為－2≤a≤1
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第三章 不等式
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第三章 不等式
[點評與警示] 1.利用函數圖象法解不等式．步驟是：①化 ax2＋bx＋c≥0(≤0)(a>0)；②判定對應方程ax2＋bx＋c＝0根的存 在；③根據y＝ax2＋bx＋c圖象，寫出解集．
＝0(a>0) c>0(a>0) c<0(a>0)
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第三章 不等式
{x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2}
{x|x≠x0，x∈R}
∅
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第三章 不等式
二次函數
Δ的 一元二次 情況 方程
一元二次不等式
圖
象 與
Δ<0 方程無解 解集為 R 解集為∅
解
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第三章 不等式 3.用程式框圖來描述一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0) 的求解的演算法過程為：
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第三章 不等式
1．(2010·廣州一模)不等式x2－3x＋2＜0的解集為( ) A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1,2) [答案] D
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第三章 不等式
②當a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－2≤a≤1，由a≥－1，∴－1≤a≤1 綜上所述，所求a的取值範圍為－3≤a≤1
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第三章 不等式
某摩托車廠上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛， 出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛，本年度為了適應市 場需求，計畫提高產品品質，適度增加投入成本，若每輛的比 例為x(0＜x＜1)，則出廠價相應地提高比例為0.75x，同年預計 年銷售量增加比例為0.6x，已知年利潤＝(出廠價－投入成本)× 年銷售量
第三章 不等式
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第三章 不等式
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第三章 不等式 x∈∅
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第三章 不等式
2．一元二次不等式與二次函數、一元二次方程的關係
二次函數
Δ的情況
一元二次方 程
一元二次不等式
y＝ax2＋ Δ＝b2－ ax2＋bx＋c ax2＋bx＋ ax2＋bx＋
bx＋c(a>0) 4ac
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第三章 不等式
[答案] A
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第三章 不等式
3．(2009·山東卷文)在R上定義運算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b， 則滿足x⊙(x－2)＜0的實數x的取值範圍為( )
A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
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第三章 不等式 [解析] 依題意得 x⊙(x－2) ＝x(x－2)＋2x＋(x－2) ＝x2＋x－2 ∴x⊙(x－2) ＝x2＋x－2＜0， 解得－2＜x＜1 [答案] B
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第三章 不等式 2．對於解含有參數的二次不等式，一般討論的順序是： (1)討論二次項係數是否為0，這決定此不等式是否為二次 不等式； (2)當二次項係數不為0時，討論判別式是否大於0； (3)當判別式大於0時，討論二次項係數是否大於0，這決定 所求不等式的不等號的方向； (4)判斷二次不等式兩根的大小．
(1)寫出本年度預計利潤y與投入成本增加的比例x的關係式； (2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增 加比例x應在什麼範圍內？
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第三章 不等式
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第三章 不等式
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第三章 不等式
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1．解一元二次不等式的一般步驟 (1)對不等式變形，使一端為0且二次項係數大於0，即ax2＋ bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； (2)計算相應的判別式； (3)當Δ≥0時，求出相應的一元二次方程的根； (4)根據對應二次函數的圖象，寫出不等式的解集．
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第三章 不等式
例題中加上條件：在x∈[－1，＋∞)上，f(x)≥a恒成立， 那麼a的取值範圍又是什麼呢？
[解] f(x)＝(x－a)2＋2－a2， 此二次函數圖象的對稱軸為x＝a， ①當a∈(－∞，－1)時，結合圖象知，f(x)在[－1，＋∞)上 單 調 遞 增 ， f(x)min ＝ f( － 1) ＝ 2a ＋ 3 ， 要 使 f(x)≥a 恒 成 立 ， 只 需 f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得a≥－3，又a＜－1， ∴－3≤a＜－1
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第三章 不等式 例題中的去掉條件m＞－1，那麼不等式x(x＋m－1)≥m
的解又如何？並設計框圖求解該不等式 [解] 原不等式可化為(x－1)(x＋m)≥0，則方程(x－1)(x＋m)
＝0根1，－m，討論兩根大小，作函數圖象如圖：
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第三章 不等式
若－m<1即m>－1時，x≤－m或x≥1. 若－m＝1即m＝－1時，原不等式的解集為R. 若－m>1，即m<－1時，則x≤1或x≥－m. 利用框圖求解： 先 整 理 不 等 式 ： x2 ＋ (m － 1)x － m≥0 ， 再 設 計 框 圖 ， 如 下 圖．
2．對於分式不等式，可考慮化為與之等價的整式不等式 來求解．
3．對分段函數，分段解決，再綜合下結論．
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第三章 不等式
若m＞－1，解關於x的不等式x(x＋m－1)≥m [解] 原不等式可以化為(x－1)(x＋m)≥0，則方程(x－1)(x ＋m)＝0的根為1和－m，由於m＞－1，所以－m＜1，所以不等 式x(x＋m－1)≥m的解集為{x|x≤－m或x≥1}
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第三章 不等式
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第三章 不等式
已知f(x)＝x2－2ax＋2，f(x)≥a恒成立，求a的取值範圍． [解] 由f(x)＝x2－2ax＋2 得f(x)≥a為x2－2ax＋2≥a， ∴f(x)≥a恒成立，即x2－2ax＋2－a≥0恒成立 要使得x2－2ax＋2－a≥0恒成立， 只需Δ＝4a2－4(2－a)≤0，解得－2≤a≤1 ∴所求a的取值範圍為－2≤a≤1
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第三章 不等式
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第三章 不等式
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第三章 不等式
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第三章 不等式
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第三章 不等式
[點評與警示] 1.利用函數圖象法解不等式．步驟是：①化 ax2＋bx＋c≥0(≤0)(a>0)；②判定對應方程ax2＋bx＋c＝0根的存 在；③根據y＝ax2＋bx＋c圖象，寫出解集．
＝0(a>0) c>0(a>0) c<0(a>0)
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第三章 不等式
{x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2}
{x|x≠x0，x∈R}
∅
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第三章 不等式
二次函數
Δ的 一元二次 情況 方程
一元二次不等式
圖
象 與
Δ<0 方程無解 解集為 R 解集為∅
解
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第三章 不等式 3.用程式框圖來描述一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0) 的求解的演算法過程為：
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第三章 不等式
1．(2010·廣州一模)不等式x2－3x＋2＜0的解集為( ) A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1,2) [答案] D