精品解析：湖南省湘潭市第一中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题(原卷版)

湘潭市一中 2020 年上学期期中考试
高二数学
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题（本题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的）
1. 已知集合{}1,2,4,5A =，{}1,3,4B =，则A B 等于（ ）
A. {1，2，3，4，5}
B. {1，3，4}
C. {2，5}
D. {1，4}
2. 求函数2log (4)y x =-的定义域为（ ）
A. ()4+∞，
B. [)4+∞，
C. (),4-∞
D. (]
,4-∞ 3. 一商店为了研究气温对某冷饮销售的影响，对出售的冷饮杯数y （杯）和当天最高气温x （℃）的数据进
行了统计，得到了回归直线方程ˆ 1.0412y
x =+.据此预测:最高气温为30℃时，当天出售的冷饮杯数大约是（ ） A. 33
B. 43
C. 53
D. 63
4. 已知向量()1,3a =，向量(),1b x =-，若a b ⊥，则实数x 的值为（ ） A. 3-
B. 3
C. 1-
D. 1
5. cos75cos15sin75sin15︒⋅︒+︒⋅︒的值是（ ）
A. 0
B.
1
2
C.
2
D. 1
6. 一盒中装有除颜色外大小相同的红球5个和黑球4个，从中任意取出一个球，那么取出的球是红球的概率是（ ） A.
19
B.
59
C.
49
D.
45
7. 在等比数列{}n a 中，121,2a a ==，则其前5项和为（ ） A. 32
B. 31
C. 64
D. 63
8. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ）
A.
3π2
B. 2π
C. 3π
D. 4π
9. 要得到函数sin 6y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象，只需要将函数sin y x =的图象上的所有横坐标（ ） A. 向左平移6
π
个单位 B. 向右平移6
π
个单位 C. 向左平移
3
π
个单位 D. 向右平移
3
π
个单位 10. 函数()2-=x
f x 在区间[-2,-1]上的
最大值是( ) A. 1
B. 2
C. 4
D.
12
11. 对于不同直线,,a b l 以及平面α，下列说法中正确的是（ ） A. 如果,a b a α，则b α B. 如果,a l b l ⊥⊥，则a b ∥ C. 如果,a b a α⊥,则b α⊥
D. 如果,a b αα⊥⊥,则a b ∥
12. 函数()f x 满足：()()4f x f x +-=，已知函数21
()x g x x
+=
与()f x 的图象共有4个交点，交点坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,33(,)x y ,44(,)x y ，则：1234y y y y +++=（ ） A. 0
B. 4
C. 8
D. 16
二、填空题（本题共4小题.每小题5分，共20分）
13. 求经过点（2，0）
，且与直线y=2x 平行直线方程________ 14. 函数1
(0)y x x x
=+>的最小值为__________.
15. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为52,5,4
==
c A π
，则b =_____
16. 三棱锥P ABC -中，ABC 为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -外
接球的表面积为________．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知函数()2sin cos f x x x =
（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （2）求函数()
f x 的
单调递减区间.
18. 等差数列{}n a 中，132,4a a == （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
n n
b na =
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19. 如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，PAB △是等边三角形，AC BC ⊥，且
2AC BC ==，O 、D 分别是AB ，PB 的中点.
（1
）求证：//PA 平面COD ； （2）求三棱锥P ABC -的体积.
20. 某商场在“五一”促销活动中，为了了解消费额在5千元以下（含5千元）的顾客的消费分布情况，从这些顾客中随机抽取了100位顾客的消费数据（单位：千元），按(0,1)，[)[)[)1,2,2,3,3,4,[4,5]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）消费在4千元以上为高消费，求高消费的人数；
（2）现采用分层抽样的方法从(0,1)和[2,3)两组顾客中抽取4人进行满意度调查，再从这4人中随机抽取2人作为幸运顾客，求所抽取的2位幸运顾客都来自[2,3)组的概率.
21. 已知圆C 的圆心C 在直线y x =上，且与x 轴正半轴相切，点C 与坐标原点O
. （1）求圆C 的标准方程； （2）直线l 过点 11,
2M ⎛⎫
⎪⎝⎭
且与圆C 相交于A ，B 两点，求弦长AB 的最小值及此时直线l 的方程. 22. 已知函数
2
12
()log (1)f x x =+，26()g x x ax =-+.
（1）若()g x 为偶函数，求a 的值并写出()g x 的增区间；
（2）若关于x 的不等式()0<g x 的解集为{}
23x x <<，当1x >时，求
()
1
g x x -的最小值； （3）对任意的1[1,)x ∈+∞，2[2,4]x ∈-，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.。