福建省福州市八县协作校2025届高考仿真模拟数学试卷含解析

福建省福州市八县协作校2025届高考仿真模拟数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．12
π
B ．
32
π C ．2π D ．3π
2．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8
B ．12
C ．14
D ．10
3．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．
π
3
B ．
π6
C ．
π2
D ．
π4
4．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()
1
1f x f x +=-
()()0≠f x ，且在区间()20172018,
上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf f
D ．以上情况均有可能
5．设集合{}
2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为
A ．()0,2
B ．(]2,4
C ．[
)4,+∞
D ．(),0-∞
6．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则3z x y =-+的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．32
-
D ．2-
7．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线
的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）． A ．
103
B ．
62
C ．
23
3
D ．3
8．已知双曲线22
22:1(0)x y E a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.
若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )
A ．1
3
y x =±
B ．12
y x =±
C ．2y x =±
D ．3y x =±
9．设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩
，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式22
2
x y +≤的概率为 A ．
π8
B ．
π4
C ．12π
+
D ．12π
+
10．为得到
的图象，只需要将
的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位 11．给出下列三个命题：
①“2
000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；
②在ABC 中，“30B ︒>”是“3
cos B <
的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移
6π
个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象．
其中假命题的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x
f x m =-，则()2019f =（ ） A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，为C 的实轴长的2倍，
则双曲线C 的离心率为 .
14．已知双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为_______．
15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos 320B B +-=；且1b =，则ABC 周长的范围为__________.
16．已知函数229,1,()4
,1,
x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪
=⎨++>⎪⎩
，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的取值范围是_________ 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数2
()x f x ae x =-.
（1）若曲线()f x 存在与y 轴垂直的切线，求a 的取值范围. （2）当1a ≥时，证明：2
3()12
f x x x +-
. 18．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3423x t
y t
=+⎧⎨
=-+⎩，（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
2cos 80ρρθ+-=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若点p 是直线l 的一点，过点p 作曲线C 的切线，切点为Q ，求PQ 的最小值.
19．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()23sin 4sin 2
C
A B +=. （1）求cos C ；
（2）若b ＝7，D 是BC 边上的点，且△ACD 的面积为3sin ∠ADB .
20．（12分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内
从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):
（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;
（3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.
21．（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
221(15)x y a a
+=<<上，该椭圆的左顶点A 到直线50
x y -+=
的距离为
2
. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆C 外一点N 满足，MN 平行于y 轴，(2)=0ON OM MN -⋅，动点P 在直线x =满足2ON NP ⋅=.设过点N 且垂直OP 的直线l ，试问直线l 是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由. 22．（10分）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。

中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金（单位：元）如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.
（1）根据上述样本数据，将22⨯列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关？
（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为ξ，求随机变量ξ的期望和方差；
（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为
1
2
，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算？ 附：
20()P K k ≥ 0.050
0.010 0.001
0k
3.841 6.635 10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积. 【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体， 把该几何体补成如下图所示的圆柱，
其体积为213π⨯⨯，故原几何体的体积为32
π. 故选：B. 【点睛】
本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题. 2、C 【解析】
将2a ，4a 分别用1a 和d 的形式表示，然后求解出1a 和d 的值即可表示7a . 【详解】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
则由24a =，48a =，得114,
38,
a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =，
所以71614a a d =+=．故选C ．
【点睛】
本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建1a 和d 的方程组求通项公式. 3、A 【解析】
由正弦定理化简已知等式可得sin tan 2sin sin A B B A =，结合sin 0A >，可得tan 2sin B B =，结合范围()0,B π∈，可得sin 0B >，可得1
cos 2
B =，即可得解B 的值． 【详解】
解：∵()tan 2sin 2sin a B b B C b A =+=， ∴由正弦定理可得：sin tan 2sin sin A B B A =， ∵sin 0A >， ∴tan 2sin B B =， ∵()0,B π∈，sin 0B >， ∴1cos 2
B =， ∴3
B π
=
．
故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 4、B 【解析】
由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求()f x 在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较． 【详解】 由1
(1)()f x f x +=-
可得
1(2)[(1)1]()(1)
f x f x f x f x +=++=-=+，即函数的周期2T =， 因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(1,0)-上单调递减， 根据偶函数的对称性可知，()f x 在(0,1)上单调递增， 因为α，β是锐角三角形的两个内角， 所以1,(0,)2αβπ∈且12αβπ+>
即1
2
απβ>-，
所以1cos cos()2
απβ<-即0cos sin 1αβ<<<，
(cos )(sin )f f αβ<．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键． 5、B 【解析】
由题意知{}02A ⊆，
且4A ∉，结合数轴即可求得a 的取值范围. 【详解】 由题意知，{}=02A
B ，，则{}02A ⊆，，故2a >，
又4A ∉，则4a ≤，所以24a <≤， 所以本题答案为B. 【点睛】
本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定A B 中的元素是解题的关键，属于基础
题. 6、A 【解析】
画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案． 【详解】
画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
所表示平面区域，如图所示，
由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时， 此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，
又由210
0x y y -+=⎧⎨
=⎩
，解得(1,0)A -，
所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 7、A 【解析】
直线l 的方程为b
x y c a
=-，令1a =和双曲线方程联立，再由2AF FB =得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可. 【详解】
由题意可知直线l 的方程为b
x y c a
=-,不妨设1a =. 则x by c =-，且221b c =-
将x by c =-代入双曲线方程22
21y x b
-=中，得到()
4234
120b y b cy b +--=
设()()1122,,,A x y B x y
则34
121244
2,11
b c b y y y y b b +=⋅=-- 由2AF FB =，可得122y y =-，故3244
22
421
21b c
y b b
y b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩
则22481b c b =-，解得2
19
=b 则21013
c b =+=
所以双曲线离心率10
3
c e a =
=
故选：A 【点睛】
此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目. 8、C 【解析】
由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是
12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率. 【详解】
根据题意，点P 一定在左支上.
由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，
又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.
在2OMF △中222
24cos 2a c a
MOF ac
+-∠=
.——① 由2tan b MOF a ∠=
，得2cos a
MOF c
∠=. ——② 由①②，解得2
25c a
=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.
故选：C. 【点睛】
本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题. 9、A 【解析】
画出不等式组表示的区域Ω，求出其面积，再得到2
2
2x y +≤在区域Ω内的面积，根据几何概型的公式，得到答案. 【详解】
画出20
00x x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≥⎩
所表示的区域Ω，易知()()2,2,2,2A B -，
所以AOB 的面积为4，
满足不等式22
2x y +≤的点，在区域Ω内是一个以原点为圆心，2为半径的14圆面，其面积为2
π， 由几何概型的公式可得其概率为2==
48
P π
π，
故选A 项.
【点睛】
本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题. 10、D 【解析】
试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平
移个单位；故选D ． 考点：三角函数的图像变换． 11、C 【解析】
结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】
对于命题①,因为()2
2
0002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命
题;
对于命题②,充分性:ABC 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即
31cos 2
B -<<
,即可得到3cos B <即充分性成立;必要性:ABC 中,0180B ︒︒<<,若3
cos B <结合余弦函数
的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;
对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛
⎥⎫+ ⎪⎝⎝
⎣⎦⎭⎭的图象,即命
题③是假命题． 故假命题有①③. 故选:C 【点睛】
本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 12、B 【解析】
根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x +1）=f （1-x ），便可推出f （x +4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m =0，从而求得m =1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1． 【详解】
∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-； ∴(2)()()f x f x f x +=-=-； ∴(4)()f x f x +=； ∴()f x 的周期为4；
∵[0,1]x ∈时，()2x f x m =-； ∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=； ∴1m =；
∴[0,1]x ∈时，()21x f x =-；
∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-. 故选：B . 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13 【解析】
不妨设双曲线2222:1x y C a b -=，焦点(),0F c -，令222
221,x y b x c y a b a
-==⇒=±，由AB 的长为实轴的二倍能够推
导出C 的离心率. 【详解】
不妨设双曲线22
22:1x y C a b
-=，
焦点(),0F c -，对称轴0y =，
由题设知222
221,x y b x c y a b a
-==⇒=±，
因为AB 的长为实轴的二倍，
2
2224,2b a b a a ∴==，
222222,3c a a c a -==，
c
e a
∴=
=【点睛】
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.
14 【解析】
根据题意，由双曲线的渐近线方程可得1
2
b a =，即a ＝2b ，进而由双曲线的几何性质可得
c ==，由双曲线的离心率公式计算可得答案． 【详解】
根据题意，双曲线()22
22100x y a b a b
-=＞，＞的渐近线方程为y ＝±b a x ，
又由该双曲线的一条渐近线方程为x ﹣2y ＝0，即y 12
=x ， 则有
1
2
b a =，即a ＝2b ，
则c ==，
则该双曲线的离心率e 22
c a b =
==
；
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，关键是分析a 、b 之间的关系，属于基础题． 15、(]
2,3 【解析】
先求B 角，再用余弦定理找到边a c 、的关系，再用基本不等式求a c +的范围即可. 【详解】
解：cos 20B B -=
2sin 2,sin 1,663B B B πππ⎛⎫⎛
⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2222cos
3
=+-b a c ac π
22212cos
3
a c ac π
=+-
()2
2
1332a c a c ac +⎛⎫
+-=≤⋅ ⎪⎝⎭
12a c <+≤
所以三角形周长(2,3]a c b ++∈ 故答案为：(]2,3 【点睛】
考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题. 16、2a ≥ 【解析】
1x >，可得()f x 在2x =时，最小值为4a +，
1x ≤时，要使得最小值为()1f ，则()f x 对称轴x a =在1的右边，
且()14f a ≤+，求解出a 即满足()f x 最小值为()1f . 【详解】
当1x >，()4
4f x x a a x
=+
+≥+，当且仅当2x =时，等号成立. 当1x ≤时，()2
29f x x ax =-+为二次函数，要想在1x =处取最小，则对称轴要满足
1x a =≥
并且()14+f a ≤，即1294a a -+≤+，解得2a ≥. 【点睛】
本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比较，得到结果，题目较综合，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2
a e
（2）证明见解析 【解析】
（1）()20x
f x ae x '=-=在x ∈R 上有解，2x x a e =
，设2()x
x
g x e =，求导根据函数的单调性得到最值，得到答案.
（2）证明23()12f x x x +-
，只需证223
12
x e x x x -+-，记21()12x h x e x x =+--，求导得到函数的单调性，得
到函数的最小值，得到证明. 【详解】
（1）由题可得，()20x
f x ae x '=-=在x ∈R 上有解，
则2x x a e =
，令2()x x g x e =，22()x
x
g x e
-'=， 当1x <时，()0,()'>g x g x 单调递增；当1x >时，()0,()g x g x '<单调递减. 所以1x =是()g x 的最大值点，所以2
a
e
.
（2）由1,x x a ae e ∴，所以2()x f x e x -， 要证明23()12f x x x +-
，只需证22312x e x x x -+-，即证21
102
x e x x +--. 记2
1()1,()1,()2
x
x h x e x x h x e x h x ''=+
--=+-在R 上单调递增，且(0)0h '=， 当0x <时，()0,()h x h x '
<单调递减；当0x >时，()0,()h x h x '
>单调递增.
所以0x =是()h x 的最小值点，()(0)0h x h =，则2
1102
x
e x x +
--， 故23()12
f x x x +-. 【点睛】
本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和转化能力. 18、（1）34170x y --=，2
2
(1)9x y ++=；（2）见解析 【解析】
（1）消去t,得直线l 的普通方程，利用极坐标与普通方程互化公式得曲线C 的直角坐标方程；（2）判断l 与圆A 相离，连接,AQ AP ，在Rt APQ ∆中，2
2
2
2
2
||||437PQ PA AQ =-≥-=，即可求解 【详解】
（1）将l 的参数方程3423x t y t
=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）消去参数，得34170x y --=.
因为x cos y sin ρθρθ
=⎧⎨
=⎩，2
2cos 80ρρθ+-=，
所以曲线C 的直角坐标方程为()2
219x y ++=.
（2）由（1）知曲线C 是以()1,0-为圆心，3为半径的圆，设圆心为A ， 则圆心A 到直线l 的距离317435
d --=
=>，
所以l 与圆A 相离，且4PA ≥.
连接,AQ AP ，在Rt APQ ∆中，2
2
2
2
2
||||437PQ PA AQ =-≥-=，
所以，PQ ≥
PQ .
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程，极坐标与普通方程互化，直线与圆的位置关系，是中档题 19、（1）17；（2
）
13
【解析】
（1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角
2
C
关系式，求出tan 2C ，再由二倍角余弦公式，即可求解；
（2）在ACD 中，根据面积公式求出CD 长，根据余弦定理求出AD ，由正弦定理求出
sin ADC ∠，即可求出结论.
【详解】
（1
(
)224sin cos 4sin 2222C C C
C A B +==，
0,sin 0,tan 22222
C C C π<
<∴>∴=
， 2
22
22222cos sin 1tan 1222cos cos sin 227
cos sin 1tan 222
C C C
C C C C C C --=-===++
； （2）在ACD 中，由（1
）得sin
C =
17327
ACD
S
CD CD =⨯⨯⨯==， 由余弦定理得
2221
2cos 499273527
AD b CD b CD C =+-
⋅⋅=+-⨯⨯⨯
=，
AD ∴=ACD
中，
7,sin sin sin AD AC ADC
C ADC =∴∠==∠， sin sin ADB ADC ∴∠=∠=
. 【点睛】
本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.
20、（1）2950
（2）分布列见解析，数学期望2
5（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.见解析
【解析】
（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；
（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是
151
755
=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，即()2211155k
k
k P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即可求出X 的分布列和数学期望；
（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 【详解】
（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929
()10050
P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，
因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人
为老年人概率是
151
755
=， 所以022
116(0)C (1)525
P X ==⨯-=， 12
118
(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， 222
11
(2)C ()525
P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为：
1
2
16
25
8
25
125
故16812()0122525255
E X =⨯
+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可． 如可以从满意度的均值来分析问题，
参考答案如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：5210125110116
52121115
⨯+⨯+⨯=
++ 乘坐飞机的人满意度均值为：
4101457022
41475
⨯+⨯+⨯=++ 因为
11622
155
>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市． 【点睛】
本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．
21、（1）2
214
x y +=；
（2）见解析 【解析】
（1）根据点到直线的距离公式可求出a 的值，即可得椭圆方程；
（2）由题意M （x 0，y 0），N （x 0，y 1），P （23，t ），根据()
20ON OM MN -⋅=，可得y 1＝2y 0，由2ON NP ⋅=，可得23x 0+2y 0t ＝6，再根据向量的运算可得•0NF OP =，即可证明． 【详解】
（1）左顶点A 的坐标为（﹣a ，0），∵＝
，∴|a ﹣5|＝3，解得a ＝2或a ＝8（舍去），∴椭圆C 的标准
方程为
+y 2＝1，
（2）由题意M （x 0，y 0），N （x 0，y 1），P （2
，t ），则依题意可知y 1≠y 0，()ON 2OM MN 0-⋅=得（x 0
﹣2 x 0
，
y 1﹣2y 0）• （0，y 1﹣y 0）=0，整理可得y 1＝2y 0，或y 1＝y 0 （舍），ON NP 2⋅=，得（x 0，2y 0）（2﹣x 0，t ﹣2y 0）＝2，整理可得2x 0+2y 0t ＝x 02+4y 02+2＝6，由（1）可得F （，0），∴
＝（
﹣x 0，﹣2y 0），∴
•
＝（
﹣x 0，﹣2y 0）（2，t ）＝6﹣2
x 0﹣2y 0t ＝0，∴NF ⊥OP ，故过点N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F ．
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题. 22、（1）列联表见解析，99%；（2）95，18
25
；（3）第二种优惠方案更划算. 【解析】
（1）根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为3
5P =
，知ξ服从二项分布，即3
(3,)5
B ξ，可求得其期望和方差；
（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元，若选方案二，设实际付款X 元，，则X 的取值为1200，1080，1020，求出实际付款的期望，再比较两个方案中的付款的金额的大小，可得出选择的方案. 【详解】
（1）由已知得出联列表：
，所以2
2
60(1081230)7.033 6.63522384020
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
∴ 有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为123
205P =
=，3
()5
B ξ∴3, ，
()()393318
=3,31555525
E D ξξ⎛⎫∴⨯==⨯⨯-= ⎪⎝⎭；
（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元
若选方案二，设实际付款X 元，，则X 的取值为1200，1080，1020，
()0
2
2
1111200=224P X C ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1
1
121111080==222P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2
221111020=224P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， ()111
1200108010201095424
E X ∴=⨯+⨯+⨯=
11001095>∴，选择第二种优惠方案更划算
【点睛】
本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题.。